2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座三函数及图像与.doc

2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座三函数及图像与几何问题【知识纵横】 函数（本节主要指一次函数、反比例函数）及图像与几何问题，是以函数为背景探求几何性质，这类题很重要点是利用函数的性质，解决几个主要点的坐标问题，使几何知识和函数知识有机而自然结合起来，这样，才能突破难点。但在解这类题目时，要注意方程的解与坐标关系，及坐标值与线段长度关系。【典型例题】【例1】（山东济宁）如图，第一象限内半径为2的C与轴相切于点A，作直径AD，过点D作C的切线l交轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：=k+3。(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式。(2)设C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有AMNABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；(3)是否存在使AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。【思路点拨】（1）将P的坐标代入=k+3即可。（2）要证AMNABP，只要证ABDAMN即可。（3）根据（2）的结论，由相似三角形AMN和ABP的面积比，分点P在B点上下方两种情况求解。【例2】（湖南怀化）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E（1）求证：AEAO=BFBO；（2）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；（3）是否存在这样的点F，使得将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF的长：若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）根据反比例函数的性质得出，即可得出AEAO=BFBO。（2）利用E点坐标首先求出BF= ，再利用待定系数法求二次函数解析式即可。【例3】（湖南娄底）在等腰梯形ABCD中，ADBC，且AD=2，以CD为直径作O1，交BC于点E，过点E作EFAB于F，建立如图所示的平面直角坐标系，已知A，B两点的坐标分别为A（0，2），B（2，0）（1）求C，D两点的坐标（2）求证：EF为O1的切线（3）探究：如图，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到轴的距离相等？如果存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由【思路点拨】（1）连接DE。（2）连接O1E，可证O1EAB，再由EFAB，证明O1EEF即可。（3）过P作PM轴于M，作PN轴于N，再利用锐角三角函数定义求解。【例4】（浙江金华、丽水）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作轴垂线，分别交轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF（1）当AOB=30时，求弧AB的长度；（2）当DE=8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）连接BC。（2）连接OD，证明OEFDEA，再利用相似比求EF。（3）当以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似时，分为当交点E在O，C之间时，当交点E在点C的右侧时，当交点E在点O的左侧时三种情况，分别求出E点坐标。【学力训练】1、（福建泉州）如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两点（1）当点A的坐标为（，p）时，填空：p=_ ，m= _，AOE= _如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形； （2）在图1中，连接EQ并延长交Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化请说明理由。2、（浙江湖州）已知：在矩形中，分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点（1）求证：与的面积相等；（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由3、（浙江嘉兴）如图，直角坐标系中，已知两点，点在第一象限且为正三角形，的外接圆交轴的正半轴于点，过点的圆的切线交轴于点（1）求两点的坐标；（2）求直线的函数解析式；（3）设分别是线段上的两个动点，且平分四边形的周长试探究：的最大面积？4、（08杭州市） 在直角梯形中，高（如图1）。动点同时从点出发，点沿运动到点停止，点沿运动到点停止，两点运动时的速度都是。而当点到达点时，点正好到达点。设同时从点出发，经过的时间为时，的面积为（如图2）。分别以为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点在边上从到运动时，与的函数图象是图3中的线段。（1）分别求出梯形中的长度；（2）写出图3中两点的坐标；（3）分别写出点在边上和边上运动时，与的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中关于的函数关系的大致图象。（图3）（图2）（图1）函数及图像与几何问题的参考答案【典型例题】【例1】（山东济宁）解：（1）y轴和直线l都是C的切线，OAAD BDAD 。 又 OAOB，AOB=OAD=ADB=90。四边形OADB是矩形。C的半径为2，AD=OB=4。点P在直线l上，点P的坐标为（4，p）。又点P也在直线AP上，p=4k+3。（2）连接DN。AD是C的直径， AND=90。 AND=90DAN，ABD=90DAN， AND=ABD 。 又ADN=AMN，ABD=AMN。MAN=BAP AMNABP 。（3）存在。理由如下：把=0代入=k+3，得y=3，即OA=BD=3。AB=。 SABD= ABDN=ADDB，DN=。 AN2=AD2DN2=。AMNABP ， 即 。当点P在B点上方时，AP2=AD2PD2 = AD2(PBBD)2 =42(4k33)2 =16(k21)，或AP2=AD2PD2 = AD2(BDPB)2 =42(34k3)2 =16(k21)，SABP= PBAD= (4k3)4=2(4k3)，。整理得k24k2=0 ， 解得k1 =2 ， k2=2 。当点P在B 点下方时，AP2=AD2PD2 =42(34k3)2 =16(k21) ，SABP= PBAD= (4k3)4=2(4k3)，。 整理得k2+1=（4k3）， 解得k=2。 综合以上所得，当k=2或k=2时，AMN的面积等于。【例2】（湖南怀化）解：（1）证明：E，F点都在反比例函数图象上，根据反比例函数的性质得出，AEAO=BFBO。（2）设经过O、E、F三点的抛物线的解析式为，点E的坐标为（2，4），AEAO=BFBO=8。BO=6，BF=，F（6，），把O、E、F三点的坐标分别代入二次函数解析式得：，解得：。经过O、E、F三点的抛物线的解析式为。（3）如果设折叠之后C点在OB上的对称点为C，连接CE、CF，过E作EG垂直于OB于点G，则根据折叠性质、相似三角形、勾股定理有：设BC=，BF=，则CF=CF=点的坐标F（6，），E（1.5，4）。EC=EC=，在RtCBF中， 。RtEGCRtCBF，（）：（）=4：=（）： 。解得：，F点的坐标为（6，）。OF= 。【例3】（湖南娄底）解：（1）连接DE，CD是O1的直径，DEBC。四边形ADEO为矩形OE=AD=2，DE=AO=2。在等腰梯形ABCD中，DC=AB，CE=BO=2，CO=4。C（4，0），D（2，2）。（2）连接O1E，在O1中，O1E=O1C，O1EC=O1CE。在等腰梯形ABCD中，ABC=DCB，O1EAB。又EFAB，O1EEF。E在AB上，EF为O1的切线。（3）存在满足条件的点P如图，过P作PM轴于M，作PN轴于N，依题意得PC=PM，在矩形OMPN中，ON=PM，设ON=，则PM=PC=，CN=4，在RtABO中，tanABO=，ABO=60，PCN=ABO=60。在RtPCN中，cosPCN=，即，。PN=CNtanPCN=。满足条件的P点的坐标为（）。【例4】（浙江金华、丽水）解：（1）连接BC，A（10，0），OA=10，CA=5。AOB=30，ACB=2AOB=60。弧AB的长=。（2）连接OD，OA是C直径，OBA=90。又AB=BD，OB是AD的垂直平分线。OD=OA=10。在RtODE中，OE=。AE=AOOE=106=4，由AOB=ADE=90OAB，OEF=DEA，得OEFDEA。，即，EF=3。（3）设OE=，当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，有ECF=BOA或ECF=OAB。当ECF=BOA时，此时OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，E1（，0）。当ECF=OAB时，有CE=5，AE=10，CFAB，有CF=AB。ECFEAD，即，解得，。E2（，0）。当交点E在点C的右侧时，ECFBOA，要使ECF与BAO相似，只能使ECF=BAO。连接BE，BE为RtADE斜边上的中线，BE=AB=BD，BEA=BAO。BEA=ECF。CFBE。ECF=BAO，FEC=DEA=900，CEFAED，而AD=2BE，。即，解得0，舍去，E3（，0）。当交点E在点O的左侧时，BOA=EOFECF要使ECF与BAO相似，只能使ECF=BAO。连接BE，得BE=AD =AB，BEA=BAO，ECF=BEA。CFBE。又ECF=BAO，FEC=DEA=90，CEFAED，而AD=2BE，。即，解得0，舍去， 又点E在轴负半轴上，E4（，0）。综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，此时点E坐标为：E1（，0）、E2（，0）、E3（，0）、E4（，0）。【学力训练】1、（福建泉州）解：（1） 1，60。（2）如图，连接TM，ME，EN，QN，QM ，OE和OP是Q的切线，QEx轴，QTOT，即QTA=90。而lx轴，QEMN。MF=NF。又r=2，EF=1，QF=21=1。四边形QNEM为平行四边形，即QNME。EN=MQ=EQ=QN，即QEN为等边三角 形。NQE=60，QNF=30。在四边形OEQT中，QTO=QEO=90，TOE=60，TQE=360-909060=120。TQE+NQE=120+60=180。T、Q、N三点共线，即TN为直径。TMN=90。TNME，MTN=60=TNE。以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形。（3）对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值不会变化。理由如下：如图，连DM，ME，DM为直径，DME=90。而DM垂直平分MN，RtMFDRtEFM。MF2=EFFD。设D（h，k），（h0，k=2r），则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：y=a（x-h）2+k。又M、N的纵坐标都为1，当y=1时，a（x-h）2+k=1，解得x1=，x2=。MN=2。MF=MN=。 。a=1。对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化，a=1。2、（浙江湖州）（1）证明：设，与的面积分别为，由题意得，即与的面积相等（2）由题意知：两点坐标分别为，当时，有最大值（3）解：设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，