程序设计教案VB版第九章.doc

第九章 解析交会定点程序设计原理9-1 概述 在地形测量及普通工程测量中，当用三角锁（网）或导线的方法布设的平面控制点密度不足时，还可用解析交会定点的方法进行加密。所谓解析交会定点的测量方法，就是根据几个平面已知点，测定一个或少量的几个未知点的平面坐标的测量方法。首先，在实地布设一个较为简单的图形，然后，用经纬仪测量水平角，或另外再用测距仪（或全站仪）测定某条（或某些）边，经过计算求得未知点的坐标。本章简要介绍交会定点的外业，重点介绍内业。 一、解析交会测量的外业概述 解析交会的图形很多，下面先介绍一些基本图形，较为复杂的图形将在本章后面介绍。 1、单三角形：如图9-1所示。已知点为A、B，未知点为P。分别在A、B、P三点上设站，观测水平角。2、前方交会：如图9-2所示。已知点为A、B、C，未知点为P。分别在A、B、C三点上设站，观测水平角。3、侧方交会：如图9-3所示。已知点为A、B、C，未知点为P。分别在A、P两点上设站，观测水平角。4、后方交会：如图9-4所示。已知点为，未知点为P。只在P点上设站，观测各方向之间的水平夹角。图9-1 单三角形 图9-2 测角前方交会 图9-3 侧方交会 图9-4 后方交会 二、解析交会测量的内业概述 根据坐标计算原理可知，为了求得一点的坐标，必须知道从已知点到该点的边长及坐标方位角。对于解析交会定点的有些图形来说，只测定了角度，而没有测定边长，所需边长要通过解算三角形才能获得。坐标方位角则有的可以直接计算，有的也要解算三角形才能求得。 在实际工作中，为确保计算结果可靠，首先需要对外业观测资料进行认真、仔细地检查。在确认外业观测成果无误、且符合规范要求时，再抄录已知数据，然后，即可开始正式计算。 交会点的坐标，通常是按某种交会图形所对应的公式进行计算。一般说来，所有的计算公式，都是按照一定图形上点、角的代号和排列顺序推导出来的。因此，在计算之前，应根据所采用的公式的要求，对实测图形的点、角进行编号，否则，将导致错误的计算结果。 下面分别介绍各种交会图形的计算公式。 9-2 单三角形 单三角形如图9-1所示，只有一种图形。其未知点P的坐标一般按余切公式进行计算。 一、三角形点及内角编号规则 为使下面的计算具有规律性，应首先对三角形点及内角按照一定的规则进行编号。 1、三角形点编号规则 先编已知点，后编未知点，将三个点按逆时针方向依次编为A、B、P。 2、三角形内角编号规则 按逆时针方向将三角形的内角依次编为、。 角号与点号的对应关系是： 二、角度平差 1、三角形闭合差的计算 2、角度改正数的计算 检核： 改正数均取位至。因取位可能使得改正数产生凑整误差。 该凑整误差调整的原则是：在正弦变化较慢的大角上调整。 3、平差角的计算 4、角度平差检核 图9-5 单三角形 角度平差之后，应采用平差角按余切公式进行P点坐标计算。在下面推导余切公式的过程中，为了方便起见，一律将写成，请予以注意。 三、P点坐标计算（余切公式） 如图9-5所示，按坐标正算公式可写出： 以上式中的第一个式子为例，推证的计算公式。的计算公式同理可证。 因为： 所以： 由于： 所以： 根据正弦定理可写出： 即： 则： 将上式代入前式，经整理得： 这是计算点纵坐标的余切公式。同理可证计算点横坐标的余切公式为： 因此，计算点坐标的余切公式为： （9-1） 四、计算检核 点的坐标计算完后，应将B点当作A点，将P点当作B点，将A点当作P点，用余切公式检核上述计算过程的正确性，即： （9-2） 必须指出，公式（9-2）只能作为计算中有无错误的检核，并不能发现角度测错、用错或已知数据抄错、用错等情况，也不能提高计算结果的精度。因此，观测者、计算者应保证外业、内业数据的精度与正确性。单三角形的计算示例见表9-1、表9-2。9-3 前方交会 本节所要介绍的前方交会，是采用余切公式计算交会点的坐标的典型图形，如图9-2所示。关于利用其它公式计算交会点的坐标的一些前方交会图形，将在本章后面介绍。 一、前方交会点的坐标计算 如图9-2所示，首先，应用第一个三角形（已知点为A、B，观测角为）、采用单 三 角 形 之 计 算一、坐标计算 表9-1计算者：谢建平 检查者：方 勇点名点号角号观测角值 改正数改正后角值 坐 标67 19 47+167 19 481260.408 760.49846 08 22+1 46 08 23 1348.740 1474.32466 31 48+1 66 31 49 1804.930 912.693179 59 57+3 180 00 00辅助计算 二、检核计算 表9-2计算者：谢建平 检查者：方 勇点名点号角号改正后角值 坐 标46 08 23 1348.740 1474.324 66 31 49 1804.930 912.693 67 19 48 1260.408 760.498余切公式可计算出点的第一组坐标；然后，应用第二个三角形（已知点为B、C，观测角为）、采用余切公式可计算出点的第二组坐标；最后，取其平均值作为点坐标的最或然值。即： （9-3） 二、限差要求 （9-4） （9-5）式中：测图比例尺分母 公式（9-5），是根据比例尺精度的定义导出的。即一般测量规范规定，两组坐标的较差不得超过两倍比例尺精度。前方交会的计算示例见表9-3。 属于这种类型的测角前方交会图形还有一些，如图9-6、图9-7、图9-8所示。它们均利用两组三角形采用余切公式计算交会点的坐标。 图9-6 前方交会图9-7 前方交会 图9-8 前方交会前 方 交 会 之 计 算 表9-3计算者：谢建平 检查者：方 勇观测略图辅助计算点名点号角号观 测 角 值 坐 标72 06 12302845.150486244.67069 01 00302874.730485918.350302396.761486053.63655 51 45302874.730485918.35072 36 57302562.830485656.110302396.758486053.656中 数302396.760486053.6469-4 侧方交会 如图9-3所示，为侧方交会的一种图形。它的计算方法是， 1、计算角 2、按余切公式计算点坐标 3、检核计算及限差 外业已观测了角，记为；内业还要计算这个角，记为。然后，进行比较，这样便达到了对点观测、计算的正确性进行检核的目的。具体如下： 按坐标反算求的坐标方位角： （9-6） （9-7） 可以看作是测角误差的综合反映。由于测角误差的存在，将使已知点产生一个横向位移值，记为： （9-8） 不同的测量规范对该图形的限差要求不完全一样。水利水电工程测量规范P33规定： 对于1：500至1：2000比例尺测图，按公式（9-8）所算得的不应超过图上。 对于1：5000、1：10000比例尺测图，按公式（9-8）所算得的不应超过图上。 侧方交会的图形还有两种，如图9-9、图9-10所示。图9-9的计算方法与上面所介绍的侧方交会的计算方法类似；图9-10的计算方法是：先根据三角形内角和为的条件,分别求两组三角形的内角，然后，按前方交会的方法进行计算及限差比较。图9-9侧方交会 图9-10侧方交会9-5 后方交会 这里介绍的后方交会，是指仅在一个待定点上设站的单点后方交会图形，注意与后面将要介绍的双点后方交会图形区别开来。在点上设站照准四个已知点，测得四个水平角，如图9-4所示。其中三个已知点是计算点坐标时必需的，另一个已知点用于检核。 解算后方交会点的坐标的方法较多，这里仅介绍一种方法重心公式计算方法。关于其它方法，请参见有关测量参考书，例如文献41、文献42、南京地质学校李金如编地形测量学（1984年版）、吉林省地质科学研究所1977年3月编地质测绘新技术新方法的应用简介等。 一、重心公式的推证为推导重心公式，首先复习有关知识（参见文献39P434）： 按力学上的规定，质量为的质点对于某一轴的静力矩等于质量与此点到轴的距离的乘积。如果平面上有个质点，它们的质量分别为，它们的位置分别为，则此质点系对于轴及轴的静力矩及分别为：，。 设有一个质点，它的质量等于上述质点系各质点质量之和。如果把这个质点放在平面上位置的时候，它对于轴、轴的静力矩分别与、 相等，就把点位置称为上述质点系的重心。按照这个定义，重心的坐标应该适合下式： 即： 式中：质点系的总质量，所以： （9-9）下面开始推导后方交会的重心公式。 如图9-11所示，为后方交会的基本图形（此图形仅用于推导公式，外业实际应用时，应至少观测四个已知点，以便进行检核），为三个已知点，其坐标分别为、，为待定点，其坐标设为。在三个已知点上均未设站，只在点上设站观测了水平角、。过已知点、和待定点作圆（称为“柯林斯”圆），过已知点和待定点作直线交圆周于；分别过、作的垂线、，垂足分别为、。设在三个已知点、上分别放置了质量为、的重物，且以为轴受力平衡； 图9-11 后方交会推导重心公式原理图则： 即： （9-10） （平角） （平角） （同弧所对的圆周角） （在中） （在中）在中，由正弦定理得： 即： （9-11） 将（9-11）式代入（9-10）式中，得： （9-12）将（9-12）式整理得： （9-13） 也可以写成下面形式： （9-14） 以上是在“柯林斯”圆中作直线的情况所得到的结论。若再在“柯林斯”圆中作直线、，同理可得到与（9-14）式类似的结论。因此，会有： （9-15）从（9-14）式、（9-15）式可以看出： 这样，根据（9-14）式、（9-15）式，兼顾上式，可得： （9-16）设： （9-17）将（9-16）式代入（9-9）式，经整理后，兼顾（9-17）式，得： （9-18） （9-18）式即为重心公式，又称为安谢麦特公式。由于其最后形式类似于不等精度直接平差计算中的加权平均值公式，因而，有的测量书上也称为仿权公式。 关于（9-17）式中，有多种计算方法。比如，可以通过查阅所在等级控制网平差计算成果，抄录的平差后角值；还可以根据三点的已知坐标按坐标反算求得；也可以按下面的公式直接求解： （9-19）式中： 应用重心公式计算后方交会待定点的坐标时，三个已知点的计算编号应按顺时针方向编排，如图9-11、图9-12、图9-13所示。否则，将与公式不符。点号编定之后，随之编定的观测角号必须分别与已知点构成的固定角相对应。即在三个已知点构成的中，所对的边对应于点处的观测角，编为；所对的边对应于点处的观测角，编为；所对的边对应于点处的观测角，编为。三个观测角具有如下关系式： （9-20）公式（9-19）推证如下： 方法一：如图9-12所示，过A点作坐标纵线，、可按坐标反算求得，则： 同理，可证。图9-12 后方交会重心公式计算编号示意图 图9-13 后方交会重心公式计算编号示意图方法二：如图9-12所示，根据坐标方位角推算公式可得： （根据三角函数变换得） 同理，可证。公式（9-17）中的还可按下面方法直接推求： 如图9-14所示： （9-20） 图9-14 重心公式中推证示意图 图9-15重心公式中推证示意图如图9-15所示，此时按式（9-20）算得的将是其外角，且为负；由于的角值范围应为，所以，正确的应为。 同理，可求得的角值。当求得了、后，即可直接计算的值。二、后方交会的危险圆 用后方交会法求未知点时，一个需要特别注意的问题是危险圆。在后方交会图形中，过三个已知点构成的圆，称为危险圆，如图9-16所示。凡位于危险圆上的点，无论采用何种计算公式，其结果均无解。 在测量实践中，后方交会点绝对地位于危险圆上的情况是极为罕见的。但是，在距离危险圆不远的范围内的情况又是很容易出现的。此时计算出的点坐标将有较大误差，因而，在野外选点和内业组成计算图形时，应特别注意使点尽可能远离危险圆。 不同的测量规范对危险圆的范围的具体规定不一样，水利水电工程测量规范P32规定：在距离危险圆半径至的范围内禁止布设后方交会点。据此可知，危险圆的范围是： 图9-16 后方交会危险圆示意图 （为危险圆的半径） （9-21）如图9-16所示，两个虚线圆之间的范围即是危险圆区域。实际工作中，测算后方交会待定点是否位于危险圆区域内的方法是： 1、根据后方交会图形中的三个已知点的坐标，计算危险圆的圆心的坐标（）。设危险圆的半径为。 要保证三点共圆，则必须满足下列三个方程： （9-22）展开（9-22）式，则成为： 用式减去式、用式减去式，整理得： （9-24）将上式的两端均乘以，整理得： （9-25）上式中，除之外，均为已知数。所以，只要约掉其中之一，即可求得另外一个的解。把上面两式中项的系数交叉相乘两式，得：从上两式中约去含的项，即用上式减去下式；然后求解，则为：同理，解得：即： （9-26） 2、根据危险圆圆心的坐标（）及三个已知点其中任一个已知点的坐标，计算危险圆的半径。例如用点坐标进行计算： （9-27） 3、按重心公式（9-18）式计算待定点的坐标（）。 4、根据危险圆的圆心的坐标（）和点的坐标（），计算距离： （9-28） 5、根据（9-21）式，可导出危险圆区域的最小半径和最大半径的计算公式： （9-29） 6、用距离与及进行比较，若，说明后方交会点位于危险圆区域内；否则，说明后方交会点不位于危险圆区域内。 三、后方交会点的最后成果计算及检核 实际工作中，在后方交会点上设站共照准四个已知方向点。这样，便可分别由不同的三个已知点组成两组计算图形，按重心公式分别计算得点的两组坐标、，按照（9-30）式、（9-31）式、（9-32）式进行后方交会点的最后成果计算及检核；当按重心公式计算点坐标的两组图形中只有一组图形使点不位于危险圆上时，这时点坐标可采用这组图形按重心公式计算，检核计算应采用侧方交会的检核方法，按（9-6）式、（9-7）式、（9-8）式计算角、和供检核用的已知点的位移值，最后再与规范的限差进行比较。 （9-30） （9-31） （9-32）式中：测图比例尺分母9-6 测边交会（参见文献41P229） 为了求算未知点的平面坐标，除了测角交会法外，目前随着电磁波测距仪的广泛应用，已出现了大量的测边前方交会、边角同测（或混测）交会图形。这些图形统称为测边交会。实际工作中，不同测边交会图形，解算点坐标的具体方法不尽一致。但可以通过计算，将其转化成测角交会的图形，然后，按前面所介绍的余切公式计算点的坐标。 注意，测边交会与测角交会一样，也必须有检核条件，其原理和限差要求同前。如图9-18所示，为几种形式的测边交会及边角同测交会图形，其观测数据标在了图上。图9-18 测边交会及边角同测交会示意图对于图9-18中的第一个图而言，若按式用计算器的反余弦函数功能求时，应注意，即求得的可能位于第一象限，也可能位于第二象限。当的函数值为正时，位于第一象限，此时用计算器的反余弦函数功能计算所显示的结果就是的值，而且；当的函数值为负时，位于第二象限，此时用计算器的反余弦函数功能计算所显示的结果也是的值，而且。若已知的函数值为负，但用计算器的反余弦函数功能按其正值计算所显示的结果不是的值，此时的值应为：。同理，可按上述方法求得、。然后，按余切公式用两组图形计算点坐标。 9-7 折线式前方交会（正切公式） 如图9-19所示，如果已知点A、B、C之间不通视，则可另外选择与A、B、C通视的已知点M、N、Q作为测角时的已知方向。将这种图形称为折线式前方交会。它多用于通视条件不好的隐蔽测区，例如城市、林区等。 这种图形解算待定点的坐标的方法，也要用两组图形分别推算点的两组坐标，然后，用公式（9-30）、（9-31）、（9-32）来计算点的最后成果及进行检核计算。 一、编号规则1、点的编号 待定点编号为。自远离点的某一个已知点开始，将其编号为M，与M、在同一条折线上的另一个已知点编号为A；依顺时针方向，同理将其它四个已知点编号为N、B、Q、C。 2、角的编号 从M点开始，向A、P方向前进推算AP边的坐标方位角时，所经过的左折角编号为；同理，将另外两条折线上的左折角编号为、。 图9-19 折线式测角前方交会 3、计算点坐标的第一组图形 折线M、A、P与折线N、B、P。 4、计算点坐标的第二组图形折线N、B、P与折线Q、C、P。 二、折线式测角前方交会公式（正切公式）的推导 下面，用第一组图形来推算点的第一组坐标。所推得的公式可用于第二组图形来推算点的第二组坐标。 根据坐标方位角推算公式，可知： （9-33） 根据坐标反算公式，可知： （9-34） 用（9-34)式的上式减去下式，得： 解上式，得： （9-35）将（9-35）式代入（9-34）式，得： （9-36）即： （9-37） 因为上式中除了用到已知点的坐标外，还使用了坐标方位角的正切，因此，在测量书上通常将（9-37）式称为正切公式。 三、折线式前方交会的其它图形 实际工作中，折线式前方交会的图形可能布设的形式多种多样，例如图9-20、图9-21两种形式。它们用来交会待定点P的折线虽然只有两条，但另外观测了一条边长，因而，可以先用（9-37）式计算出P点的第一组坐标；再采用坐标正算的方法，用观测了边长的那条折线算出P点的第二组坐标。这样，也可以算出P点的两组坐标，达到对P点的观测精度及计算的正确性进行检核的目的。 图9-20 折线式边角同测前方交会 图9-21 折线式边角同测前方交会 9-8 其它交会形式（旁点交会、双点后方交会） 在测量实践中，经常会遇到各种各样的困难，例如测区中已知的高等级控制点稀少或地物密集，以致不能充分利用已知的高等级控制点；有时在狭长的山沟中工作，沟的两侧是悬崖陡壁。在这些困难地区布设控制点，若应用前面所述及的几种方法可能较为困难。下面介绍两种比较实用的方法。 一、旁点交会法（参见文献41P226，文献42P339） 有时会遇到这种地形：一条狭长、坡度较大、不便于直接用钢尺量距（又无电磁波测距仪）的山沟，沟的两侧是耸立的、难以攀登的山岭，而且在一侧的山上布满了茂密的森林；在山沟一端两侧有A、B两个已知点，今要求在山沟中增设一个新的控制点。为此，可布设一个过度的控制点C，并选择几个从B、A、C、等点中至少有三个点都能够观测的明显地物点（如独立树、独立石、岩石角等）D、E、F，如图9-22所示，然后，从B、A、C、等点向D、E、F点作前方交会观测（只观测水平角）。 图9-22 旁点交会 图9-23 旁点交会 怎样计算点的坐标呢？首先，从已知边AB开始，通过求AD边长，再通过求AC边长；同时，通过求AE边长，再通过求AC边长。这样，AC的边长便求得两个值，可以计算其较差，与规范的规定限差相比较，若不超限，应取平均值作为AC边长的最后成果；若超限，应寻找原因，直至重测。 同理，边长也可以求得两个：一个是通过和算出来，另一个是通过和算出来。同样也应计算其较差，与规范的规定限差相比较，若不超限，应取平均值作为边长的最后成果；若超限，应寻找原因，直至重测。 下面，根据A和C点观测的水平角，就可以从已知边的坐标方位角开始，推算出AC边和边的坐标方位角和；然后，再根据A点的坐标，以及上面算得的AC边和边的边长、，坐标方位角和，按坐标正算的方法（或者说是支导线的计算方法）计算点的坐标。 若在本节开始所述的山沟的一端有两个已知点A、B，在山沟的另一端也有两个已知点C、D，则可布设成如图9-23所示的旁点交会图形。这种情况下，首先，可按前面所述的前方交会方法计算得B1、12、23、3C边的边长及其坐标方位角；然后，对附合导线AB123CD进行近似平差计算；最后，可得各待定点1、2、3的坐标。二、双点后方交会法（参见文献41P227 ，文献42P331） 有时可以用布设双点后方交会的办法解决测区中已知点不足的困难。图9-24中，A、B是两个用于计算后方交会点