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二次函数辅优试题一填空题1将抛物线y=（x3）2+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为_2如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分其对称轴为x=1，且过点（3，0）下列说法：（1）abc0；（2）2ab=0；（3）4a+2b+c=0；（4）若（5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1y2其中说法正确的是_（填序号）3如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（1，0），（1，2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为_4如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1=x2（x0）与y2=（x0）的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DEAC，交y2的图象于点E，则=_5如图，已知点A1，A2，A2011在函数y=x2位于第二象限的图象上，点B1，B2，B2011在函数y=x2位于第一象限的图象上，点C1，C2，C2011在y轴的正半轴上，若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2，C2010A2011C2011B2011都是正方形，则正方形C2010A2011C2011B2011的边长为_6如图，抛物线y=ax23与x轴交于点A（3，0）和点B，与y轴交于点C，过点A作APCB交抛物线于点P，在抛物线位于第一象限部分上取一点M，作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似，则M点的坐标为_7如图，P是抛物线y=x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为_8如图，线段AB=8，点C是AB上一点，点D、E是线段AC的三等分点，分别以AD、DE、EC、CB为边作正方形，则AC=_时四个正方形的面积之和最小9正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN当BM=_时，四边形ABCN的面积最大10已知：在面积为7的梯形ABCD中，ADBC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ交DQ于F，则PEF面积最大值是_二解答题11如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（1，0）（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标；（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值12如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，D=90，ACBC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0t5）（1）求证：ACDBAC；（2）求DC的长；（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值13已知矩形ABCD中，AB=4，对角线BD=2AB，且BE平分ABD，点P从点D以每秒2个单位沿DB方向向点B运动，点Q从点B以每秒1个单位沿BA方向向点A运动，设运动时间为t秒，BPQ的面积为S（1）若t=2时，求证：DBAPBQ；（2）求S关于t的函数关系式及S的最大值；（3）在运动的过程中，BQM能否成为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由14已知：函数y=ax2（3a+1）x+2a+1（a为常数）（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴相交于点C，且x2x1=2求抛物线的解析式；作点A关于y轴的对称点D，连结BC，DC，求sinDCB的值15在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx22x与x轴正半轴交于点A，顶点为B（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）已知点C（0，2），直线AC与BO相交于点D，与该抛物线对称轴交于点E，且OCDBED，求m的值；（3）在由（2）确定的抛物线上有一点N（n，），N在对称轴的左侧，点F，G在对称轴上，F在G上方，且FG=1，当四边形ONGF的周长最小时：求点F的坐标；设点P在抛物线上，在y轴上是否存在点H，使以N，F，H，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由16如图，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长17在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+x+2的图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C过动点H（0，m）作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y=x2+x+2的图象相交于点D，E（1）写出点A，点B的坐标；（2）若m0，以DE为直径作Q，当Q与x轴相切时，求m的值；（3）直线l上是否存在一点F，使得ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由118如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由（3）当P，Q运动到t秒时，APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标19在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2（m+n）x+mn（mn）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，1），求ACB的大小；（3）若m=2，ABC是等腰三角形，求n的值20如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，1），与x轴交于A、B两点（1）求抛物线的解析式；（2）判断MAB的形状，并说明理由；（3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC，MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由21如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由22如图，已知抛物线经过点A（2，0）、B（4，0）、C（0，8）（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=EF，请求出点P的坐标；（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度23如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx3（a0）与x轴交于点A（2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当PBQ存在时，求运动多少秒使PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使SCBK：SPBQ=5：2，求K点坐标24如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CBx轴，且AB平分CAO（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由25如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x22x3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）（1）求OBC的度数；（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且SOCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；（3）过点P作PFx轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值26二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，4），且与直线y=x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BCx轴，垂足为点C（3，0）（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NPx轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标27如图，抛物线y=ax2+bx3a（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），连接BC（1）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段BC的中点坐标；（2）将线段BC先向左平移2个单位长度，在向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，求此时点C1的坐标和m的值；（3）若点P是该抛物线上的动点，点Q是该抛物线对称轴上的动点，当以P，Q，B，C四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点P的坐标28如图，已知直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线l：x=1，该抛物线与x轴的另一个交点为B（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在直线l上，求出使PAC的周长最小的点P的坐标；（3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由2014年12月21日1105107430的初中数学组卷参考答案与试题解析一填空题（共10小题）1（2014抚顺）将抛物线y=（x3）2+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为y（x2）2+3考点：二次函数图象与几何变换菁优网版权所有专题：几何变换分析：根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式解答：解：抛物线y=（x3）2+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为y=（x3+1）2+1+2=（x2）2+3，即：y=（x2）2+3故答案为：y=（x2）2+3点评：此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减2（2014天水一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分其对称轴为x=1，且过点（3，0）下列说法：（1）abc0；（2）2ab=0；（3）4a+2b+c=0；（4）若（5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1y2其中说法正确的是（1）（2）（4）（填序号）考点：二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有分析：根据图象分别求出a、b、c的符号，即可判断（1），根据对称轴求出b=2a，代入2ab即可判断（2），把x=2代入二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可判断（3），求出点（5，y1）关于直线x=1的对称点的坐标，根据对称轴判断y1和y2的大小，即可判断（4）解答：解：二次函数的图象开口向上，a0，二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，c0，对称轴是直线x=1，=1，b=2a0，abc0，故（1）正确；b=2a，2ab=0，故（2）正确；抛物线的对称轴为x=1，且过点（3，0），抛物线与x轴另一交点为（1，0）当x1时，y随x的增大而增大，当x=2时y0，即4a+2b+c0，故（3）错误；（5，y1）关于直线x=1的对称点的坐标是（3，y1），又当x1时，y随x的增大而增大，3，y1y2，故（4）正确；故答案为（1）（2）（4）点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右侧（简称：左同右异）抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数：=b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b24ac0时，抛物线与x轴没有交点3（2013鹤壁二模）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（1，0），（1，2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为3考点：待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点；两点间的距离菁优网版权所有专题：计算题分析：先把点（1，0），（1，2）代入y=x2+bx+c，求得b，c，再令y=0，点C的坐标，再得出答案即可解答：解：二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（1，0），（1，2），解得，抛物线的解析式为y=x2x2，令y=0，得x2x2=0，解得x1=1，x2=2，C（2，0）AC=2（1）=3故答案为3点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、抛物线与x轴的交点问题以及两点间距离的求法，是基础知识要熟练掌握4（2014菏泽）如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1=x2（x0）与y2=（x0）的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DEAC，交y2的图象于点E，则=3考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：代数几何综合题分析：设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长度，再根据CDy轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解解答：解：设A点坐标为（0，a），（a0），则x2=a，解得x=，点B（，a），=a，则x=，点C（，a），CDy轴，点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，y1=2=3a，点D的坐标为（，3a），DEAC，点E的纵坐标为3a，=3a，x=3，点E的坐标为（3，3a），DE=3，=3故答案为：3点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键5（2014东营一模）如图，已知点A1，A2，A2011在函数y=x2位于第二象限的图象上，点B1，B2，B2011在函数y=x2位于第一象限的图象上，点C1，C2，C2011在y轴的正半轴上，若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2，C2010A2011C2011B2011都是正方形，则正方形C2010A2011C2011B2011的边长为2011考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：根据正方形对角线平分一组对角可得OB1与y轴的夹角为45，然后表示出OB1的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B1的坐标，然后求出OB1的长，再根据正方形的性质求出OC1，表示出C1B2的解析式，与抛物线联立求出B2的坐标，然后求出C1B2的长，再求出C1C2的长，然后表示出C2B3的解析式，与抛物线联立求出B3的坐标，然后求出C2B3的长，从而根据边长的变化规律解答即可解答：解：OA1C1B1是正方形，OB1与y轴的夹角为45，OB1的解析式为y=x联立，解得或，点B1（1，1），OB1=，OA1C1B1是正方形，OC1=OB1=2，C1A2C2B2是正方形，C1B2的解析式为y=x+2，联立，解得，或，点B2（2，4），C1B2=2，C1A2C2B2是正方形，C1C2=C1B2=2=4，C2B3的解析式为y=x+（4+2）=x+6，联立，解得，或，点B3（3，9），C2B3=3，依此类推，正方形C2010A2011C2011B2011的边长C2010B2011=2011故答案为：2011点评：本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键6（2014吴江市模拟）如图，抛物线y=ax23与x轴交于点A（3，0）和点B，与y轴交于点C，过点A作APCB交抛物线于点P，在抛物线位于第一象限部分上取一点M，作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似，则M点的坐标为（4，）或（12，45）考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：先将点A（3，0）代入y=ax23，求出a的值，得到抛物线的解析式，根据解析式求出B，C两点的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，再利用平移的性质求出直线AP的解析式，与抛物线的解析式联立，求出P点坐标，根据勾股定理的逆定理判断PCA为直角三角形再假设存在与PCA相似的三角形，分AMGPCA，MAGPCA两种情况进行讨论，根据相似三角形对应边成比例列式即可求解解答：解：抛物线y=ax23与x轴交于点A（3，0），9a3=0，a=，y=x23当y=0时，x23=0，解得x=3，当x=0时，y=3，B（3，0），C（0，3）设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得，直线BC的解析式为y=x3设直线AP的解析式为y=x+n，将A（3，0）代入，得3+n=0，解得n=3，直线AP的解析式为y=x+3由，解得，P点坐标为（6，9）A（3，0），C（0，3），P（6，9），AC2=（0+3）2+（30）2=18，AP2=（6+3）2+（90）2=162，PC2=（60）2+（9+3）2=180，AC2+AP2=PC2，PCA是直角三角形，且PAC=90在抛物线位于第一象限部分上取一点M，作MGx轴于点G，假设以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似，设M点的横坐标为m，则M （m，m23），m3分两种情况：（） 当AMGPCA时，有=，AG=m+3，MG=m23，=，解得m1=3（舍去） m2=4，M（4，）；（） 当MAGPCA时，有=，即=，解得：m1=3（舍去），m2=12，M（12，45）综上所述，存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似，此时M点的坐标为（4，）或（12，45）故答案为（4，）或（12，45）点评：此题是二次函数的综合题，涉及到利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，函数图象平移的规律，两函数交点坐标的求法，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性质等重要知识；要注意根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解7（2014宁德质检）如图，P是抛物线y=x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为6考点：二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征菁优网版权所有分析：设P（x，y）（2x0，y0），根据矩形的周长公式得到C=2（x1）2+6根据二次函数的性质来求最值即可解答：解：y=x2+x+2，当y=0时，x2+x+2=0即（x2）（x+1）=0，解得 x=2或x=1故设P（x，y）（2x0，y0），C=2（x+y）=2（xx2+x+2）=2（x1）2+6当x=1时，C最大值=6，即：四边形OAPB周长的最大值为6故答案是：6点评：本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法本题采用了配方法8（2013雨花台区一模）如图，线段AB=8，点C是AB上一点，点D、E是线段AC的三等分点，分别以AD、DE、EC、CB为边作正方形，则AC=6时，四个正方形的面积之和最小考点：二次函数的最值菁优网版权所有分析：设AC为未知数，用二次函数表示出三个正方形的面积和，根据二次函数的最值问题的求法可得AC的值解答：解：设AC为x，四个正方形的面积和为y则BC=8x，AD=DE=EC=，y=3（）2+（8x）2=x216x+64=，x=6时，四个正方形的面积之和最小故答案为6点评：本题考查了二次函数的最值求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法9（2011日照）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN当BM=2时，四边形ABCN的面积最大考点：二次函数的最值；正方形的性质；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：应用题；压轴题分析：设BM=x，则MC=4x，当AMMN时，利用互余关系可证ABMMCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值解答：解：设BM=x，则MC=4x，AMN=90，AMB+NMC=90，NMC+MNC=90，AMB=90NMC=MNC，ABMMCN，则=，即=，解得CN=，S四边形ABCN=44+=x2+2x+8，0，当x=2时，S四边形ABCN最大故答案为：2点评：本题考查了二次函数的性质的运用关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式10（2010江津区）已知：在面积为7的梯形ABCD中，ADBC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ交DQ于F，则PEF面积最大值是考点：二次函数的最值；三角形的面积；梯形；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：压轴题；动点型分析：设PD=x，SPEF=y根据平行线的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定，证明PEFQFE、AEPAQD、PDFADQ，相似三角形的面积比是相似比的平方，再由三角形AQD与梯形ABCD的面积公式求得梯形的高，代入SPEF=（SAQDSDPFSAPE）2，得出关于x的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则PEF面积最大值解答：解：设PD=x，SPEF=y，SAQD=z，梯形ABCD的高为h，AD=3，BC=4，梯形ABCD面积为7，解得PEDQ，PEF=QFE，EPF=PFD，又PFAQ，PFD=EQF，EPF=EQF，EF=FE，PEFQFE（AAS），PEDQ，AEPAQD，同理，DPFDAQ，=，=（）2，SAQD=3，SDPF=x2，SAPE=（3x）2，SPEF=（SAQDSDPFSAPE）2，y=3x2（3x）2=x2+x，y最大值=，即y最大值=PEF面积最大值是点评：本题综合考查了二次函数的最值、三角形的面积、梯形的面积以及相似三角形的判定与性质二解答题（共18小题）11（2014镇江一模）如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（1，0）（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标；（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值考点：抛物线与x轴的交点；轴对称-最短路线问题菁优网版权所有分析：（1）把A的坐标代入抛物线的解析式可求出b的值，进而得到抛物线的解析式，利用配方法即可求出顶点D的坐标；（2）首先求出C，A，B的坐标，根据抛物线的对称性可知AM=BM所以AM+CM=BM+CMBC=2解答：解：（1）点A（1，0）在抛物线y=x2+bx2上，b=，抛物线解析式y=x2x2，抛物线y=x2x2=（x）2，顶点D的坐标（，）；（2）当x=0时，y=2，C（0，2）OC=2，当y=0时，0=x2x2，解得：x=4或1，B（4，0），OB=4，由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，AM=BM，AM+CM=BM+CMBC=2CM+AM的最小值是2点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及抛物线和抛物线的交点问题，利用抛物线的对称性得到AM+CM=BM+CMBC=2是解题的关键12（2010湘潭）如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，D=90，ACBC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0t5）（1）求证：ACDBAC；（2）求DC的长；（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值考点：二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：代数几何综合题；压轴题分析：（1）由CDAB，得DCA=CAB，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似（2）在RtABC中，由勾股定理可求得AC的长，根据（1）题所得相似三角形的比例线段，即可求出DC的长（3）分析图象可知：四边形AFEC的面积可由ABC、BEF的面积差求得，分别求出两者的面积，即可得到y、t的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最小值解答：解：（1）CDAB，BAC=DCA又ACBC，ACB=90，D=ACB=90，ACDBAC（2）RtABC中，AC=8cm，ACDBAC，=，即，解得：DC=6.4cm（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，ACB=EGB=90，B公共，ACBEGB，即，故；y=SABCSBEF=；故当t=时，y的最小值为19点评：此题考查了梯形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数最值的应用等知识，能够将面积问题转换为二次函数的最值问题是解答（3）题的关键13已知矩形ABCD中，AB=4，对角线BD=2AB，且BE平分ABD，点P从点D以每秒2个单位沿DB方向向点B运动，点Q从点B以每秒1个单位沿BA方向向点A运动，设运动时间为t秒，BPQ的面积为S（1）若t=2时，求证：DBAPBQ；（2）求S关于t的函数关系式及S的最大值；（3）在运动的过程中，BQM能否成为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由考点：二次函数的最值；等腰三角形的判定；相似三角形的判定菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；分类讨论分析：（1）当t=2时，根据P，Q的速度，我们可得出BP=2，BQ=1那么BP：BQ=2：1，而一直了BD=2AB，因此BP，BQ与BD，BA对应相等，BPQ与BDA又共用了这两组对应边的夹角，因此两三角形相似；（2）求三角形的面积就要知道三角形的底边和高的长，根据P，Q的速度，我们可以用t表示出BP，BQ的长，如果过Q作BP边的高，那么根据BQ和ABD的正弦值即可得出BP边上的高是多少，然后可根据三角形的面积公式得出S与t的函数关系式；（3）要按底角的不同来分类讨论：当QBM，BMQ为等腰三角形的底角时，根据AE平分ABD，那么这两个角就都应该是30，此时QBM的外角AQM=60，就与ABD相等，显然这种情况是不成立的；当QBM，BQM为等腰三角形的底角时，由于这两个角都是30，那么QPB就是个直角，那么我们可在直角QPB中，我们可根据ABD的余弦函数得出BQ，BP的比例关系，然后我们可用t表示出BQ，BP即可得出t的值；当BQM，BMQ为等腰三角形的底角时，那么这两个角就都应该是75，我们可通过构建直角三角形来求t的值，过Q作QF垂直BD于F，那么我们可将三角形BQP分成两个含特殊角的直角三角形，一个是含30，60角的直角三角形，一个是等腰直角三角形那么我们可根据这些特殊角得出BQ，QF，BF，PF之间的关系，然后分别用t表示出来，根据BP=BF+PF，将等值的线段替换后即可得出t的值解答：解：（1）t=2，BQ=2，PB=4，PBQ=PBQ，PBQDBA；（2）过点Q作PBQ的高h，则SPBQ=PBh=t2+2t=（t2）2+2，当t=2时，Smax=2；（3）分三种情况讨论：当QBM=BMQ=30时，有：AQM=60=ABD，PQBD，与题意矛盾，不存在；当QBM=BQM=30时，如图，则BQ=2PB即2（82t）=t，得t=4；当BQM=BMQ=75时，如图，作QFBP，则：PB=BF+PF=BF+QF=t+t=82t，得：t=4，当t=或t=时，BQM成为等腰三角形点评：本题考查的知识点较多，要注意对（3）中底角不同时等腰三角形的不同来分情况的讨论14（2014荆州）已知：函数y=ax2（3a+1）x+2a+1（a为常数）（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴相交于点C，且x2x1=2求抛物线的解析式；作点A关于y轴的对称点D，连结BC，DC，求sinDCB的值考点：二次函数综合题；等腰直角三角形菁优网版权所有专题：综合题分析：（1）根据a取值的不同，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解（2）函数与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，则x1，x2，满足y=0时，方程的根与系数关系因为x2x1=2，则可平方，用x1+x2，x1x2表示，则得关于a的方程，可求，并得抛物线解析式已知解析式则可得A，B，C，D坐标，求sinDCB，须作垂线构造直角三角形，结论易得解答：解：（1）函数y=ax2（3a+1）x+2a+1（a为常数），若a=0，则y=x+1，与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）；若a0且图象过原点时，2a+1=0，a=，有两个交点（0，0），（1，0）；若a0且图象与x轴只有一个交点时，令y=0有：=（3a+1）24a（2a+1）=0，解得a=1，有两个交点（0，1），（1，0）综上得：a=0或或1时，函数图象与坐标轴有两个交点（2）函数与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，x1，x2为ax2（3a+1）x+2a+1=0的两个根，x1+x2=，x1x2=，x2x1=2，4=（x2x1）2=（x1+x2）24x1x2=（）24，解得a=（函数开口向上，a0，舍去），或a=1，y=x24x+3函数y=x24x+3与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴相交于点C，且x1x2，A（1，0），B（3，0），C（0，3），D为A关于y轴的对称点，D（1，0）根据题意画图，如图1，过点D作DECB于E，OC=3，OB=3，OCOB，OCB为等腰直角三角形，CBO=45，EDB为等腰直角三角形，设DE=x，则EB=x，DB=4，x2+x2=42，x=2，即DE=2在RtCOD中，DO=1，CO=3，CD=，sinDCB=点评：本题考查了二次函数图象交点性质、韦达定理、特殊三角形及三角函数等知识，题目考法新颖，但内容常规基础，是一道非常值得考生练习的题目15（2014乌鲁木齐）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx22x与x轴正半轴交于点A，顶点为B（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）已知点C（0，2），直线AC与BO相交于点D，与该抛物线对称轴交于点E，且OCDBED，求m的值；（3）在由（2）确定的抛物线上有一点N（n，），N在对称轴的左侧，点F，G在对称轴上，F在G上方，且FG=1，当四边形ONGF的周长最小时：求点F的坐标；设点P在抛物线上，在y轴上是否存在点H，使以N，F，H，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）利用配方法将一般式化为顶点式，即可求出顶点B的坐标；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M先由MEy轴，得出AMEAOC，根据相似三角形对应边的比相等得出=，于是ME=OC=1再根据OCDBED，得到OC=BE=2，于是BM=BE+ME=3，即=3，进而求出m的值；（3）由（2）得抛物线的解析式为y=x22x，其对称轴是x=3，A（6，0）将N（n，）代入y=x22x，求出n的值，得到N点坐标由于四边形ONGF中，边ON与FG为定值，所以当NG+OF最小时，四边形ONGF的周长最小于是可将点N向上平移1个单位得到N（1，），连结AN，与对称轴的交点即为所求点F在对称轴上将点F向下平移1个单位得到点G，连结NG，OF，根据两点之间线段最短可知此时得到的四边形ONGF的周长最小运用待定系数法求出直线AN的解析式，将x=3代入，求出y的值，进而得到点F的坐标；N（1，），F（3，），设H（0，y）分两种情况讨论：）当NF为平行四边形的边时，如果NFHP为平行四边形，由点F向左平移3个单位横坐标为0，求得点P的横坐标为13=2，将x=2代入y=x22x，求出P点坐标（2，），那么N点先向左平移3个单位，再向上平移（）=7个单位到点P，依此求出H点纵坐标为+7=，进而得到H点坐标为（0，）；如果NFPH为平行四边形，同理求出H点坐标为（0，）；）当NF为平行四边形的对角线时，先求出NF的中点坐标，再根据H与P关于这个中点坐标对称，求出H点坐标为（0，）解答：解：（1）y=mx22x=m（x）2，顶点B的坐标为（，）；（2）点C（0，2），OC=2设抛物线的对称轴与x轴交于点MMEy轴，AMEAOC，=，ME=OC=1OCDBED，OC=BE=2，BM=BE+ME=3，=3，m=；（3）由（2）得抛物线的解析式为y=x22x，其对称轴是直线x=3，A（6，0）点N（n，）在此抛物线上，=n22n，解得n1=1，n2=5点N在对称轴的左侧，n=1，N（1，）将点N向上平移1个单位得到N（1，），连结AN，与对称轴的交点即为所求点F在对称轴上将点F向下平移1个单位得到点G，连结NG，OF，可知此时得到的四边形ONGF的周长最小（由NF+AFAN，可得NG+OFNG+OF）设直线AN的解析式为y=kx+b，把N（1，），A（6，0）代入，得，解得，y=x点F是AN与对称轴是直线x=3的交点，F（3，）；N（1，），F（3，），设H（0，y）分两种情况讨论：）当NF为平行四边形的边时，FHNP，FH=NP如果NFHP为平行四边形，点F向左平移3个单位横坐标为0，点P的横坐标为13=2，当x=2时，y=x22x=（2）22（2）=，P（2，），N点先向左平移3个单位，再向上平移（）=7个单位到点P，H点纵坐标为+7=，H点坐标为（0，）；如果NFPH为平行四边形，点N向左平移1个单位横坐标为0，点P的横坐标为31=2，当x=2时，y=x22x=2222=，P（2，），F点先向左平移1个单位，再向下平移（）=个单位到点P，H点纵坐标为=，H点坐标为（0，）；）当NF为平行四边形的对角线时，NF的中点坐标为（2，），HP的中点坐标为（2，），H（0，y），点P的横坐标为4，当x=4时，y=x22x=4224=，P（4，），H点纵坐标为2（）（）=，H点坐标为（0，）；综上所述，所求H点坐标为（0，）或（0，）或（0，）点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到抛物线的顶点坐标求法，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，轴对称的性质，运用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质等知识，综合性较强，有一定难度运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键16（2014益阳）如图，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：几何综合题分析：（1）先求出直线y=3x+3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A、B两点坐标代入y=a（x2）2+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E在RtAQF与RtBQE中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3m）2，解方程求出m=2，即可求得Q点的坐标；