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六 综合技能部分（I）折叠问题1如图1，正ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC、BC边的中点.现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB（如图2）. （）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； （）求二面角BACD的余弦值.C2.已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将PAD沿AD折起，使面PAD面ABCD（如图2）. （）证明：平面PADPCD； （）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC，把几何体分成的两部分； （）在M满足（）的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.3已知矩形ABCD中，AB2AD4，E为CD的中点，沿AE将三角形AED折起，使DB2 如图，O、H分别为AE、AB的中点(1)求证：直线OH/面BDE；(2)求证：面ADE面ABCE；(3)求二面角ODH一E的余弦值 （II）探索性问题4.如图在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，过D与PB垂直的平面分别交PB、PC于F、E。 （1）求证：DEPC； （2）当PA/平面EDB时，求二面角EBDC的正切值。5如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BECF且BECF,BCF=，AD=，EF=2.（）求证： AE平面DCF；（）设，当取何值时，二面角AEFC的大小为？6如图所示，在直三棱柱中，平面为的中点（）求证：平面；（）求证：平面；（）设是上一点，试确定的位置使平面平面，并说明理由A1AB1C1D1BCDFE7.如图所示，在正方体中，E为AB的中点(1)若为的中点，求证: 面；(2) 若为的中点,求二面角的余弦值；（3）若在上运动时（与、不重合），AEDBC求当半平面与半平面成的角时，线段的比.8.如图，已知空间四边形中，是的中点求证：（1）平面CDE；（2）平面平面 （3）若G为的重心,试在线段AE上确定一点F,使得GF/平面CDE9.如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD底面 ABCD，（第9题图）侧棱PA=PD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.（1）求证：PO平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.C1ABCDA1B110.已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形，C=90，侧棱与底面所成的角为（090），点在底面上的射影落在上（）求证：AC平面BB1C1C；(）当为何值时，AB1BC1，且使D恰为BC中点？（）若 = arccos ，且AC=BC=AA1时,求二面角C1ABC的大小（III）多面体11.如图，已知AB平面ACD，DE/AB，ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点；第12题ABCDEFMO （1）求证：AF/平面BCE； （2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小12.如图，等腰梯形中，=2，为的中点，矩形 所在的平面和平面互相垂直.（）求证：平面；（）设的中点为，求证：平面；（）求三棱锥的体积.13已知在多面体ABCDE中，AB平面ACD，DEAB，AC = AD = CD = DE = 2，F为CD的中点ADCEBF（）求证：AF平面CDE；（）求平面ABC和平面CDE所成的小于90的二面角的大小；（）求点A到平面BCD的距离的取值范围综合技能部分参考答案（I）折叠问题1解：（）在图2中，E、F分别为AC、BC中点，AB/EF 而面DEF，EF面DEF AB/面DEF （）在图2中，作易证的平面角在 （也可用向量法解）2.（I）证明：依题意知： （II）由（I）知平面ABCD 平面PAB平面ABCD. 在PB上取一点M，作MNAB，则MN平面ABCD，设MN=h则要使即M为PB的中点. （）连接BD交AC于O，因为AB/CD，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2ODO不是BD的中心 又M为PB的中点在PBD中，OM与PD不平行OM所以直线与PD所在直线相交又OM平面AMC 直线PD与平面AMC不平行.3解: (1)证明O、H分别为AE、AB的中点 OH/BE，又OH不在面BDE内 直线OH/面BDE (2)O为AE的中点ADDE，DQAEDO=，DB=2，BO232+12=10 又因为AE和BO是相交直线 所以，DO面ABCE， 又OD在面ADE内面ADE面ABCE (3)由(1)(2)知OA、OH、OD两两垂直，分别以OA、OH、OD为x、y、z轴建立空间坐标系，则A(，0，0)，H(0，0)，E(-，0，0)，D(0，0，)， 向量 设平面DHE的法向量为n=(x，y，z)，则n0 n0 即y=z,x=-z平面DHE的法向量为n(z，-z，z)，不妨没z0 又是平面DOH的法向量，由图二面角ODHE为锐角，所以，二面角ODHE的余弦值为（II）探索性问题4解：（1）证明：平面DEF又平面ABCD又 从而DE平面PBC （2）连AC交BD于O，连EO由PA/平面EDB，及平面EDB平面PAC于EO 知PA/EO是正方形ABCD的对角线AC的中点为PC的中点又 设PD=DC=a，取DC的中点H，作HG/CO交BD于G，则HGDB，EH/PD 平面CDB。由三垂线定理知EGBD 故为二面角EBDC的一个平面角。易求得 二面角EBDC的正切值为5解：（I）解法一： 四边形ABCD是矩形， ABDC 又 BECF ， ABBE=B， 平面ABE平面DCF 又AE平面ABE， AE平面DCF 解法二：过E作EGBC交FC于G，连结DG ， BECF ， 四边形BCGE是平行四边形 ， EGBCAD，且EG=BC=AD， 四边形ADGE也是平行四边形 ， AEDG 又AE平面DCF，DG平面DCF ，AE平面 DCF （II）解法一： 过E作GECF交CF于G， 由已知 EGBCAD，且EG=BC=AD，EG=AD，又EF=2， GF=1 四边形ABCD是矩形， DCBC BCF=，FCBC，又平面AC平面BF，平面AC平面BF=BC，FC平面AC ， FCCD 分别以CB、CD、CF为轴建立空间直角坐标系设BE=m，由，得AB=m A（，m，0）,E(，0，m),F(0，0，m+1)，=(0，-m ，m)，=（-,0,1） 8分设平面AEF的法向量=(x，y，z)，由=0， =0，得， ，令=，可得平面AEF的一个法向量=( ， ) 又=（0，m，0）是平面CEF的一个法向量, ,即， 解得=当的值为时，二面角AEFC的大小为 解法二：过E作GECF交CF于G，由已知EGBCAD，且EG=BC=AD，EG=，又EF=2， sinEFG= 四边形ABCD是矩形， ABBC 又平面AC平面BF，平面AC平面BF=BC，AB平面BF 过B作BMFE交EF于M，连结AM，则AMB为二面角AEFC的平面角， AMB= 由已知 ，设BE=m，则AB=m，BM= BEsinMEB =BEsinEFG= m . 在RtABM中，tan=,=, .当的值取时，二面角AEFC的大小为 . 6（）证明：如图，连接与相交于，则为的中点，连结，又为的中点， 又平面，平面（），四边形为正方形，又面，面， 又在直棱柱中，平面（）当点为的中点时，平面平面，、分别为、的中点，平面，A1AB1C1D1BCDFE平面，又平面，平面平面7.解析：(1)证明：如图，连接, 为的中点，为的中点 又 面 (2) 设二面角的大小为，设正方体的棱长为2，由（1）知四点共面，且四边形为等腰梯形， 又 ， 二面角的余弦值为。（3）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则 ， ， 取 设面的法向量为， 取，则 半平面与半平面成角 ，即 线段的比为。 注：本题的方法多样，不同的方法请酌情给分。8.证明：（1）同理，又 平面（2）由（1）有平面 又平面， 平面平面（3）连接AG并延长交CD于H，连接EH，则，在AE上取点F使得，则，易知GF平面CDE9.（）证明：在PAD中PA=PD,O为AD中点，所以POAD,又侧面PAD底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，所以PO平面ABCD. ()解 以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),A1AB1C1D1BCDFExzy所以 所以异面直线PB与CD所成的角是余弦值为， ()解 假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，由()知设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).则所以即，取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1). 设由，得解y=-或y=(舍去)， C1ABCDA1B1此时，所以存在点Q满足题意，此时。10解：（） B1D平面ABC， AC平面ABC，B1DAC, 又ACBC, BCB1D=D AC平面BB1C1C () AC平面BB1C1C ，要使AB1BC1 ，由三垂线定理可知，只须B1CBC1， 平行四边形BB1C1C为菱形， 此时，BC=BB1又 B1DBC, 要使D为BC中点，只须B1C= B1B，即BB1C为正三角形， B1BC= 60 B1D平面ABC，且D落在BC上， B1BC即为侧棱与底面所成的角故当=60时，AB1BC1，且使D为BC中点（）过C1作C1EBC于E，则C1E平面ABC过E作EFAB于F，C1F，由三垂线定理，得C1FABC1FE是所求二面角C1ABC的平面角设AC=BC=AA1=a，在RtCC1E中，由C1BE=，C1E=a在RtBEF中，EBF=45，EF=BE=aC1FE=45，故所求的二面角C1ABC为45（III）多面体11解：取CE中点P，连结FP、BP，F为CD的中点，FP/DE，且又AB/DE，且AB/FP，且AB=FP又AF/平面BCE （2）由（1），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系设AC=2则为平面BCE的法向量，则显然，为平面ACD的法向量。设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为，则，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为12证明：（）平面平面,平面平面=，平面，平面，又，且，平面，平面 （）设的中点为，则，又，则，为平行四边形，又平面，平面，平面 （）过点E作于H，则，所以，故， ADCEBFxyzO13（）证明：AB平面ACD，ABDE，DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF又AC=AD=CD，F为CD中点，AFCDDE平面CDE，CD平面CDE，CDDED，AF平面CDE （）解法一：ABDE，AB平面CDE，DE平面CDE，AB平面CDE，设平面ABC平面CDEl，则lAB 即平面ABC与平面CDE所成的二面角的棱为直线lAB平面ADC，l平面ADClAC，lDCACD为平面ABC与平面CDE所成二面角的平面角ACADCD，ACD60，平面ABC和平面CDE所成的小于90的二面角的大小为60（）解法二：如图，以F为原点，过F平行于DE的直线为x轴，FC，FA所以直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系AC2，A(0，0，)，设ABx，B(x，0，)，C(0，1，0)ADCEBFlH(x，0，0)，(0，1，)，设平面ABC的一个法向量为n(a，b，c)，则由n0，n0，得a0，bc，不妨取c1，则n(0，1)AF平面CDE，平面CDE的一个法向量为(0，0，)cosn，n，60平面ABC与平面CDE所成的小于90的二面角的