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北 京 交 通 大 学2006-2007 学年第二学期量子力学期末考试试卷（A）学院_理学院_ 专业_光信息科学与技术_ 班级_学号_ 姓名_题号一二三四五总分得分阅卷人一 完成下列填空题（共50分）：1（3分）= h/2p= 1.05x10-34 Js 。2（8分）质量为m，动量为的自由粒子的平面波函数（3分） ，相应的概率密度= （2分），概率流密度=。（3分）3. （5分）描写弹性散射问题的完整波函数的渐进形式(r)为 （2分），微分散射截面与散射振幅的关系是 （3分） 。4. (5分）算符, (a为实数) ，其中 （2分） 是厄密算符，（3分）不是厄密算符。5. （9分）在表象中，写出两个电子所有的自旋态： （3分） ，（2分） （2分）， 。（2分） 6（20）（各2分）一维谐振子，能量、动量和宇称三个量中，守恒的是： 能量和宇称，理由是 ， ；不守恒的是 动量 ，理由是 ；设谐振子处于基态，则动量的平均值是否随时间变化？不（定态下力学量的平均值不随时间改变，） ，动量的平均值为： ；让谐振子带上正电荷q，t =0处于基态|0，t 0时沿x方向加上弱恒定电场e （看作微扰），则系统可以跃迁到那些激发态？ 第一激发态（，选择定则由决定，即n=1） ，相应概率是 。参考公式：二（15分）考虑一维阶梯势，若能量为的粒子沿x正方向入射，试求该阶梯势的反射系数和透射系数。解： （7分）在x=0处，j 和 连续，有1+A = B （2分）， （2分），（2分），（2分）三（10分）设一体系未受微扰作用时只有两个能级：E01及E02,现在受到微扰的作用,微扰矩阵为，其中a和b为实数。求能量一级及二级修正值.解: 为非简并微扰。能量一级修正：，（2分）（2分）能量二级修正：（3分）（3分）四 （10分）证明：在J2，Jz共同本征态|jm下，解：法1：利用对易关系：（3分）有：（7分）法2：根据 （3分）而 ，利用|jm的正交归一性，得：，（4分）所以，（3分）五（15分）设氢原子处于状态,这里ynlm 为不计自旋的氢原子的归一化能量本征函数，已知能量本征值为E1, E2,. （1）试问氢原子不处于定态吗？（2）求初始时刻（t=0）和t时刻归一化的态函数；（3）列表给出E,L,Lz 的可能值及相应的概率;（4）计算自旋S2和Sz的平均值。解：（1）不处于定态；（2分）（2）令，取 A=1/2（2分），得初始时刻（t=0）归一化的态函数，t时刻归一化的态函数（3分）（3）（4分）ELLzSz可能值E1 E2 E30 0 概率1
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