（试题 试卷 真题）【步步高 通用（理）】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题二 第四讲

第四讲函数与方程、函数的应用1二次函数(1)求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴(2)注意三个“二次”的相互转化解题(3)二次方程实根分布问题，抓住四点：“开口方向、判别式、对称轴位置、区间端点函数值正负”2函数与方程(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数f(x)的零点(2)零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(c)0.注意以下两点：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点3函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答1 (2012全国)已知xln ，ylog52，ze，则()Axyz Bzxy Czyx Dyzln e，x1.ylog52log5，0y，z1.综上可得，yzx.2 (2013重庆)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内答案A解析由于ab0，f(b)(bc)(ba)0.因此有f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.3 (2011北京)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A75,25 B75,16 C60,25 D60,16答案D解析由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为15，故组装第4件产品所需时间为30，解得c60，将c60代入15，得A16.4 (2013天津)函数f(x)2x|log0.5 x|1的零点个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析当0x1时，f(x)2xlog0.5x12xlog2x1，令f(x)0得log2xx，由ylog2x，yx的图象知在(1，)上有一个交点，即f(x)在(1，)上有一个零点，故选B.5 (2013辽宁)已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.设H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值)记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB()A16 B16Ca22a16 Da22a16答案B解析f(x)x(a2)244a，g(x)x(a2)2124a，在同一坐标系内作f(x)与g(x)的图象(如图)依题意知，函数H1(x)的图象(实线部分)，函数H2(x)的图象(虚线部分)H1(x)的最小值Af(a2)44a，H2(x)的最大值Bg(a2)124a，因此AB(44a)(124a)16.题型一函数零点问题例1设函数f(x)xln x (x0)，则yf(x)()A在区间，(1，e)内均有零点B在区间，(1，e)内均无零点C在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点审题破题可以通过计算f，f(1)，f(e)判断，也可利用函数图象答案D解析方法一因为fln 10，f(1)ln 10，f(e)ln e10，f(1)f(e)0，所以函数f(x)2xx32在(0,1)上递增，且f(0)10210，所以有1个零点(2)在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A(，0) B(0，)C(，) D(，)答案C解析因为f(x)ex40，f0，f(0)0，f0，f0，由零点存在性定理知f(x)在上存在一零点故选C.题型二函数与方程的综合应用例2已知函数f(x)x22exm1，g(x)x (x0)(1)若g(x)m有实根，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根审题破题(1)g(x)m有实根，可以分离参数转化为求函数最值(2)利用图象，探究可能的不等关系，从而构造关于m的不等式求解解(1)g(x)x22e，等号成立的条件是xe.故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则g(x)m就有实根故m2e，)(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x (x0)的大致图象f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)反思归纳解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解变式训练2已知函数f(x)2ax22x3.如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，则实数a的取值范围为_答案解析若a0，则f(x)2x3，f(x)0x1,1，不合题意，故a0.下面就a0分两种情况讨论：(1)当f(1)f(1)0时，f(x)在1,1上至少有一个零点，即(2a5)(2a1)0，解得a.(2)当f(1)f(1)0时，f(x)在1,1上有零点的条件是解得a.综上，实数a的取值范围为.题型三函数模型及其应用例3为方便游客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)(1)求函数yf(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？审题破题f(x)为分段函数，要分x6和x6两种情况分别寻求函数关系，x应为整数解(1)当x6时，y50x115.令50x1150，解得x2.3.xN*，x3，3x6，xN*.当x6时，y503(x6)x115，令503(x6)x1150,3x268x1150.上述不等式的整数解为2x20(xN*)6x20(xN*)故y定义域为x|3x20，xN*(2)对于y50x115(3x6，xN*)，显然当x6时，ymax185(元)，对于y3x268x11532(6185，当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多反思归纳解应用题首先要正确理解题意，将实际问题化为数学问题，再利用数学知识如函数、导数、不等式解决数学问题，最后回归到实际问题的解决上变式训练3里氏震级M的计算公式为：Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的_倍答案610 000解析由Mlg Alg A0知，Mlg 1 000lg 0.0013(3)6，此次地震的震级为6级设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则lglg A1lg A2(lg A1lg A0)(lg A2lg A0)954.10410 000，9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍典例(12分)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)2a，x0,24，其中a是与气象有关的参数，且a，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)(1)令t，x0,24，求t的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？规范解答解(1)当x0时，t0；1分当0x24时，x2(当x1时取等号)，t，即t的取值范围是.4分(2)当a时，记g(t)|ta|2a，则g(t)8分g(t)在0，a上单调递减，在上单调递增，且g(0)3a，ga，g(0)g2.故M(a)即M(a)10分由得a，当且仅当a时，M(a)2.故当0a时不超标，当a时超标12分评分细则(1)第(1)步没有作答“t的取值范围是”扣1分；(2)M(a)没有写成分段函数不扣分；(3)第(2)步没有作答“超标，不超标”扣1分阅卷老师提醒(1)本题是利用基本不等式求最值的实际应用，一定要注意“一正二定三相等”；(2)对于应用题，最后的作答要牢记1 (2012北京)函数f(x)x x的零点的个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析将函数零点转化为两函数图象的交点问题来求解在同一平面直角坐标系内作出y1x 与y2x的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点因此函数f(x)x x只有1个零点2 已知函数f(x)x22x3在闭区间0，m上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为()A1，) B0,2C(，2 D1,2答案D解析f(x)(x1)22，其对称轴为x1，当x1时，f(x)min2，故m1，又f(0)3，f(2)3，m2.综上可知1m2.3 偶函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且在x0,1时，f(x)x，则关于x的方程f(x)x在x0,4上解的个数是()A1 B2 C3 D4答案D解析由f(x1)f(x1)可知T2.x0,1时，f(x)x，又f(x)是偶函数，可得图象如图f(x)x在x0,4上解的个数是4.4 设定义域为R的函数f(x)则关于x的函数y2f2(x)3f(x)1的零点的个数为_答案7解析由y2f2(x)3f(x)10得f(x)或f(x)1，如图画出f(x)的图象，由f(x)知有4个根，由f(x)1知有3个根，故共有7个零点5 已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_答案(0,1) 解析画出分段函数f(x)的图象如图所示，结合图象可以看出，若f(x)k有两个不同的实根，也即函数yf(x)的图象与yk有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1)专题限时规范训练一、选择题1 函数f(x)exx2的零点所在的区间是()A(2，1) B(1,0)C(1,2) D(0,1)答案D解析因为f(0)e021210，所以根据零点存在性定理可知函数的零点所在的区间是(0,1)，选D.2 已知函数f(x)axxb的零点x0(n，n1) (nZ)，其中常数a，b满足2a3,3b2，则n的值为()A2 B1 C0 D1答案B解析alog231，blog321，令f(x)0，得axxb.在同一平面直角坐标系中画出函数yax和yxb的图象，由图可知，两函数的图象在区间(1,0)内有交点，所以函数f(x)在区间(1,0)内有零点所以n1.3 (2012湖北)函数f(x)xcos 2x在区间0,2上的零点的个数为()A2 B3 C4 D5答案D解析分别判断yx和ycos 2x的零点yx在0,2上的零点为x0，ycos 2x在0,2上的零点为x，所以f(x)在区间0,2上的零点个数为5.4 已知函数f(x)xlog3x，若实数x0是方程f(x)0的解，且0x10时，f(x)xlog3x是减函数，又x0是方程f(x)0的根，即f(x0)0.当0x1f(x0)0.5 设函数yf(x)在R上有意义，对于给定的正数M，定义函数fM(x)，则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”若给定函数f(x)2x2，M1，则fM(0)的值为()A2 B1 C. D答案B解析由题意，当f(x)2x21，即x1或x1时，fM(x)2x2.当1x1时，fM(x)1.fM(0)1.6 已知函数f(x)，则f(2log23)的值为()A. B. C. D.答案A解析因为2log234，所以f(2log23)f(3log23)，22而3log234，所以f(2log23)()3log 3()log 3.7 已知函数f(x)满足f(x)1，当x0,1时，f(x)x，若在区间(1,1内，函数g(x)f(x)mxm有两个零点，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析当x(1,0时，x1(0,1因为当x(0,1时，f(x)x，所以f(x1)x1.因为函数f(x)1，所以f(x)11.函数g(x)f(x)mxm在区间(1,1内有两个零点等价于方程f(x)m(x1)在区间(1,1内有两个根令ym(x1)，在同一平面直角坐标系中画出函数yf(x)和ym(x1)的部分图象，可知当m时，函数g(x)f(x)mxm有两个零点8 (2012辽宁)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且当x0,1时，f(x)x3.又函数g(x)|xcos(x)|，则函数h(x)g(x)f(x)在上的零点个数为()A5 B6 C7 D8答案B解析根据题意，函数yf(x)是周期为2的偶函数且0x1时，f(x)x3，则当1x0时，f(x)x3，且g(x)|xcos(x)|，所以当x0时，f(x)g(x)当x0时，若0x，则x3xcos(x)，即x2cos x.再根据函数性质画出上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根所以总共有6个二、填空题9 若函数f(x)2|x1|m有零点，则实数m的取值范围是_答案(0,1解析令f(x)0，得m|x1|，|x1|