中学数学竞赛讲座及练习(第8讲)+不等.doc

第八讲 不等式的应用不等式与各个数学分支都有密切的联系，利用“大于”、“小于”关系，以及不等式一系列的基本性质能够解决许多有趣的问题，本讲主要结合例题介绍一下这方面的应用 例1 已知x0，-1y0，将x，xy，xy2按由小到大的顺序排列分析 用作差法比较大小，即若a-b0，则ab；若a-b0，则ab解 因为x-xy=x(1-y)，并且x0，-1y0，所以x(1-y)0，则xxy因为xy2-xy=xy(y-1)0，所以xy2xy因为x-xy2=x(1+y)(1-y)0，所以xxy2综上有xxy2xy例2 若试比较A，B的大小显然，2xy，y0，所以2x-y0，所以A-B0，AB例3 若正数a，b，c满足不等式组试确定a，b，c的大小关系解+c得+a得+b得由，得所以 ca同理，由，得bC所以a，b，c的大小关系为bca例4 当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx分别有(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解解 将原方程变形为(3+k)x=2(1)当 3+k0，即 k-3时，方程有正数解(2)当3+k0，即k-3时，方程有负数解(3)当方程解不大于1时，有所以1+k，3+k应同号，即得解为k-1或k-3注意 由于不等式是大于或等于零，所以分子1+k可以等于零，而分母是不能等于零的。例5已知求x-1-x+3的最大值和最小值 x-1-x+3 达到最大值4结合x-3时的情形，得到：在已说明 对含有绝对值符号的问题，无法统一处理一般情况下，是将实数轴分成几个区间，分别进行讨论，即可脱去绝对值符号例6 已知x，y，z为非负实数，且满足x+y+z=30，3x+y-z=50求u=5x+4y+2z的最大值和最小值解 将已知的两个等式联立成方程组所以+得4x+2y=80，y=40-2x将y=40-2x代入可解得z=x-10因为y，z均为非负实数，所以解得 10x20于是u=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10)=-x+140当x值增大时，u的值减小；当x值减小时，u的值增大故当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120例7 设a，b，c，d均为整数，且关于x的四个方程(a-2b)x=1，(b-3c)x=1，(c-4d)x=1，x+100=d的根都是正数，试求a可能取得的最小值是多少？解 由已知(a-2b)x=1，且根x0，所以a-2b0，又因为a，b均为整数，所以a-2b也为整数，所以a-2b1，即a2b+1同理可得，b3c+1，c4d+1，d101所以a2b+12(3c+1)+1=6c+36(4d+1)+3=24d+924101+9=2433，故a可能取得的最小值为2433求pq的值解 由已知所以 21q30p22q因为p，q都为自然数，所以当q分别等于1，2，3，4，5，6时，无适当的p值使21q30p22q成立当q7时，14730p154，取p=5可使该不等式成立所以q最小为7，此时p=5于是 pq=57=35例9 已知：bc，1ab+ca+1，求证： ba分析与证明 要学会充分利用不等式的基本性质，按照一定的逻辑顺序来展开推理论证因为bc，所以2bb+c，所以由b+ca+1得2ba+1，所以由1a得1+a2a，所以2b1+a2a，即ba成立分析与解 由题设可知x1，y2，z3，所以又x3时，也不成立，故x只能为2当x=2时，令y=3，则z=6当 x=2，y4时，不成立故本题只有一组解，即x=2，y=3，z=6例11 某地区举办初中数学联赛，有A，B，C，D四所中学参加，选手中， A， B两校共16名；B，C两校共 20名； C， D两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A，B，C，D中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数解 设A，B，C，D四校的选手人数分别为x，y，z，u据题意有由，可知，x+yy+z，所以xz又由于人数的多少是按A，B，C，D四校的顺序选派的，所以有xyzu由与xy得16-y=xy，所以y8由与yz得20-y=zy，所以y10于是8y10，所以y=9(因为人数是整数)将y=9代入，可知x=7，z=11，再由有u=23故A校7人，B校9人，C校11人，D校23人注意到x只能取1，2，3，4，9这九个数字，所以x=2，所以所以y=1，z=4所以x=2，y=1，z=4练习八1如果abc，并且xyz，那么在四个代数式(1) ax+by+cz；(2)ax+bz+cy；(3) ay+bx+cz；(4) az+bx+cy中哪一个的值最大？2不等式10(x+4)+x62的正整数解是方程2(a+x)-3x=a+13已知y=x+2+x-1-3