数学建模之航空订票[1].doc

题目： A B （在相应的题号上打钩）姓名年级（注1）专业联系方式邱殿銮200808材料一洁昊200808材料一凤星200808材料二空公司的费用及利润问题的模型摘要：一架客机飞行一次的总费用主要为燃料费，飞行员、机上工作人员、地勤人员等的工资，收入就来自乘客所付的机票。航空公司当然希望飞机能够满座。那么订票策略至关重要。由于不同的订票策略会对航空公司最终的利润有较大影响，所以根据题目所给的背景分析，我们首先建立了模型假设，而后根据不同的问题分别确立模型的数学的函数表达式及其计算过程，并对模型的数学的函数表达式的可行性进行了检验，确认其具备计算的可能，最后给出数学的函数表达式及其计算结果的分析与建议。当然由于我们小组对航空公司的其他服务项目的收费不清楚且无法得知航空公司运行的相关数据，所以无法做出绝对的定量结论，以下论述为符合一般情况下的结论。在函数表达式的计算过程中，我们调用了matlab函数库中的binopdf函数对问题进行计算求解，得到了比较理想的结果。关键词：订票策略，利润模型，matlab工具箱，超订,实际平均利润一 问题的提出当前金融危机冲击了航空公司，乘客数在减少。但航空公司为了保住赢利，决定扩大业务员队伍，这些业务员专跑各类企业、各种事业单位去预订飞机票，拉人坐飞机。一架客机飞行一次的总费用主要为燃料费，飞行员、机上工作人员、地勤人员等的工资，收入就来自乘客所付的机票。航空公司当然希望飞机能够满座。那么订票策略至关重要。试就下列三个问题建立数学模型：问题1：在乘客非满座的情况下，建立航空公司的利润模型，并回答什么时候将赔钱。问题2：在预订的飞机票数刚好等于座位数时就停止订票，假定持全价机票的旅客允许迟到，可以改签机票坐下一趟航班，而持打折机票的旅客不能改签，只能作废。建立航空公司的利润模型。问题3：在预订的飞机票数超过座位数时继续订票，简称超订，可能有一部分旅客由于满员而不能乘坐飞机，这时航空公司就要付出一定的赔偿费。建立航空公司的利润模型。试就飞机容量为200座，旅客未到的可能性为0.05，有百分之六十的乘客率航空公司就不赔钱，且超订的赔偿费是票价的20%时，计算什么时候航空公司期望利润最大？ 二 模型的假设与符号的约定（1）航班的飞行成本n与乘客数无关，某航空公司的利润Q只与成本及收入相关，与其他因素无关，飞机的最大容量为N.(2)在某一次飞行中，记t取消登机的人数，该事件发生的概率为Pt.(3)此问题中不考虑因机舱的分类不同而导致的票价不同的现象，票价规定为平均值s，预定乘客登机概率为p.(4)某一次航班的订票总张数为x,由于航班超定被拒绝登机的乘客的补偿费为每人d元.(5) Ns=n,其中为登机率。 三 问题的分析及解答3.1在乘客非满座的情况下，建立航空公司的利润模型，并回答什么时候将赔钱。 (1) = =1 =x（1-p） = =xs-xs+s-s+n-n =xs+(st+n-xs) -sx(1-p)-n = xs+(st+n-xs) -xs+pxs-n =pxs+(st+n-xs) -n=px+(t+N-x) -1=+(+1) -13.1.1计算模型：=px+(t+N-x) -1=+(+1) -13.1.2计算在此基础上采用matlab工具箱中的函数，在最后对求解结果进行分析验证（a） 计算过程：（注释：=0.6; N=200;P=0.95）（b） b=0; for t=0:x-200 E=binopdf(t,x,0.05); F=(t-x)/120+1； G=E*F; b=b+G; end =0.95*x/120+b-1 (具体计算过程请参照附页)作图的坐标表示： x=115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135;y=-0.0896 -0.0817 -0.0738 -0.0658 -0.0579 -0.0500 -0.0421 -0.0342 -0.0262 -0.0183 -0.0104 -0.0025 0.0054 0.0133 0.0212 0.0292 0.0371 0.0450 0.0529 0.0608 0.0688;plot(x-115,y),xlabel(x-115),ylabel(),grid on,title(售票数x与的关系图像1)得到图像： 图（1-1）3.2在预订的飞机票数刚好等于座位数时就停止订票，假定持全价机票的旅客允许迟到，可以改签机票坐下一趟航班，而持打折机票的旅客不能改签，只能作废。建立航空公司的利润模型。(2)持全票c人，未登机为 g人；持打折票 折率k(0kfor c=C1:C2 A=0.95*c+k1*c*k end (具体计算过程请参照附页)3.3在预订的飞机票数超过座位数时继续订票，简称超订，可能有一部分旅客由于满员而不能乘坐飞机，这时航空公司就要付出一定的赔偿费。建立航空公司的利润模型。(x-t)s-n x-tNNs-n-(x-t-N)d x-tN某次飞行的实际平均利润=1 =x（1-p）Q= = = = =(xs-n) -s+记=，表示未登机人数的期望值， Q=xs-n-s-(s+d) =(x-)s-n-(s+d) 一、 我们可以通过代入特殊值来验证此模型的合理性： =0 ， =1 ， t1显然，此时的=0 ，则Q=Ns-n (1)由前利润模型得 Q=Ns-n-(x-t-n)d =Ns-n-(x-N)d仅当x=N时，利润最大化 =Ns-n 这与（1）式所得结果相同二、 订票者实际登机的人数服从二项分布，因此x个订票者中有a个登机的概率为 = =x(1-p) , Q=xsp-n- (s+d) 设= , = ,记 =-1 (2) 而此时，式中N=200 ,P=1-0.05=0.95 ,d=20s3.3.1计算模型：3.3.2计算在此基础上采用matlab工具箱中的函数，在最后对求解结果进行分析验证（a）计算过程：a=0; for t=0:x-201 A=binopdf(t,x,0.05); B=x-t-200; z=A*B; a=a+z; end =(0.95*x-1.2*a)/120-1 (具体计算过程请参照附页)作图的坐标表示： x=200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230;y=0.5833 0.5912 0.5992 0.6071 0.6149 0.6226 0.6300 0.6369 0.6431 0.6483 0.6524 0.6554 0.6573 0.6582 0.6584 0.6579 0.6571 0.6559 0.6546 0.6531 0.6516 0.6501 0.6485 0.6469 0.6453 0.6437 0.6422 0.6406 0.6390 0.6374 0.6358;plot(x-200,y),xlabel(x-200),ylabel(Q/n),grid on,title(售票数x-200与Q/n的关系图像3)得到图像： （图1-3）四 航空公司的费用及利润问题的分析与建议4.1 影响航空公司的费用及利润的一般因素利润率反映企业一定时期利润水平的相对指标。利润率指标既可考核企业利润计划的完成情况，又可比较各企业之间和不同时期的经营管理水平，提高经济效益。利润率是剩余价值转化为利润，剩余价值率就转化为利润率。利润率是剩余价值与全部预付资本的比率。利润率和剩余价值率是同一个剩余价值量与不同资本数量的对比得出的不同比率。利润率表示全部预付资本的增殖程度，而且在量上总是小于剩余价值率，从而掩盖了资本主义的剥削程度。利润率是经常变动的，决定和影响利润率的主要因素有：第一，剩余价值率。在其他条件相同的情况下，剩余价值率高，利润率就高；反之，剩余价值率低，利润率也低。因此，凡是能够提高剩余价值率的方法，都会相应地提高利润率。第二，资本有机构成。资本有机构成高，利润率低；资本有机构成低，利润率高。第三，资本周转速度。资本周转速度加快，提高年剩余价值率，从而也提高年利润率。资本的年利润率与资本周转速度成同方向变化。第四，不变资本的节省。在剩余价值率、剩余价值量一定的情况下，节省不变资本，可以减少预付资本，从而提高利润率。利润总额=营业利润+营业外收入-营业外支出实际上，在上述公式右边的利润组成因素中，营业利润起着主要作用，它是企业日常生产经营活动的最终成果，其计算公式是：营业利润=营业收入-营业成本-营业税金及附加-销售费用-管理成本-财务费用-资产减值损失+公允价值变动收益+投资收益营业收入=主营业务收入+其他业务收入根据上述公式，影响公司利润变动的主要因素有：营业收入、营业成本、营业税金及附加、销售费用、管理成本、财务费用、资产减值损失、公允价值变动收益、投资收益。4.2模型数据处理方法对结果的影响 当然由于我们小组对航空公司的其他服务项目的收费不清楚且无法得知航空公司运行的相关数据，所以无法做出绝对的定量结论，以上论述为符合一般情况下而得出的结论。通过对我们小组的模型及算法设计的出结果分析：对于第一问：从图中1-1可以看出当x-11511的时候纵坐标开始转为负值即售票数x126时航空公司开始亏本。对于第二问：在不超订的情况持全票的人数愈多则获利愈多对于第三问：从图中1-3可以看出，在实际登机率0.95的情况下，对于赔付比率0.2，座位数为200个的某客机，超额预售票数约14张时，公司可以获得的利润最大。从该图中还可以得知，只要明确的乘客的实际登机率，适时的加以控制预售的票数，即便航空公司制订了较高的赔付率，对最终的利润影响是不大的。 五 关于航空公司的费用及利润问题模型的总结1.函数的设计根据“利润总额=营业利润+营业外收入-营业外支出“的原则提出，但在计算过程中忽略了部分对结果影响较小的因素，即简化了运算过程的复杂性，但由于缺乏具体的相关数据，如飞行员与乘务员的工资制定标准与乘客数的关系，油价的变化与时间的关系，航空公司是否参与其他的金融投资等等因素，最终运算的结果可以作为一种参考2.利用matlab工具箱对模型进一步求解，得到了比较理想的结果。Matlab提供了丰富的函数库，可以为我们提供很多的方便，同时精确度高，可以借鉴。通过matlab提供的函数进行求解，并对结果进行评价，是一种很好的建模方法。3.在建模活动中，可以通过很多方法相结合的方式对对象进行建模，但由于现在的能力有限并未学得其他的方法，总体说来，最好是可以通过不同模型的结果比对，这样更为科学，可以得出更为理想的结果。六、参考文献：1 谢云荪, 张志让等. 数学实验. 科学出版社,1998.2 陈恩水,王峰.数学建模与实验. 北京: 科学出版社,2007.附页：问题一计算结果：x-115: : 0 -0.0896 1 -0.0817 2 -0.0738 3 -0.0658 4 -0.0579 5 -0.0500 6 -0.0421 7 -0.0342 8 -0.0262 9 -0.0183 10 -0.0104 11 -0.0025 12 0.0054 13 0.0133 14 0.021215 0.029216 0.037117 0.045018 0.052919 0.06080.0688问题二的计算过程： for c=50:100A=0.95*c+1*c*0.85endA = 90A = 91.8000A = 93.6000A = 95.4000A = 97.2000A = 99.0000A = 100.8000A = 102.6000A = 104.4000A = 106.2000A = 108.0000A = 109.8000A = 111.6000A = 113.4000A = 115.2000A = 117.0000A = 118.8000A = 120.6000A = 122.4000A = 124.2000A = 126.0000A = 127.8000A = 129.6000A = 131.4000A = 133.2000A = 135.0000A = 136.8000A = 138.6000A = 140.4000A = 142.2000A = 1440.0000A = 145.8000A = 147.6000A = 149.4000A = 151.2000A = 153.0000A = 154.8000A = 156.6000A = 158.4000A = 160.2000A = 162.0000A = 163.8000A = 165.6000A = 167.4000A = 169.2000A = 171.0000A = 172.8000A = 174.6000A = 176.4000A = 178.2000A = 180.0000 for c=50:100A=0.95*c+0.8*c*0.85endA = 81.5000A = 83.1300A = 84.7600A = 86.3900A = 88.0200A = 89.6500A = 91.2800A = 92.9100A = 94.5400A = 96.1700A = 97.8000A = 99.4300A = 101.0600A = 102.6900A = 104.3200A = 105.9500A = 107.5800A = 109.2100A = 110.8400A = 112.4700A = 114.1000A = 115.7300A = 117.3600A = 118.9900A = 120.6200A = 122.2500A = 123.8800A = 125.5100A = 127.1400A = 128.7700A = 130.4000A = 132.0300A = 133.6600A = 135.2900A = 136.9200A = 138.5500A = 140.1800A = 141.8100A = 143.4400A = 145.0700A = 146.7000A = 148.3300A = 149.9600A = 151.5900A = 153.2200A = 154.8500A = 156.4800A = 158.1100A = 159.7400A = 161.3700A = 163 for c=50:100A=0.95*c+0.6*c*0.85endA = 73.0000A = 74.4600A = 75.9200A = 77.3800A = 78.8400A = 80.3000A = 81.7600A = 83.2200A = 84.6800A = 86.1400A = 87.6000A = 89.0600A = 90.5200A = 91.9800A = 93.4400A = 94.9000A = 96.3600A = 97.8200A = 99.2800A = 100.7400A = 102.2000A = 103.6600A = 105.1200A 106.5800A = 108.0400A = 109.5000A = 110.9600A = 112.4200A = 113.8800A = 115.3400A = 116.8000A = 118.2600A = 119.7200A = 121.1800A = 122.6400A = 124.1000A = 125.5600A = 127.0200A = 128.4800A = 129.9400A = 131.4000A = 132.8600A = 134.3200A = 135.7800A = 137.2400A = 138.7000A = 140.1600A = 141.6200A = 143.0800A = 144.5400A = 146.0000 for c=50:100A=0.95*c+0.4*c*0.85EndA = 64.5000A = 65.7900A = 67.0800A = 68.3700A = 69.6600A = 70.9500A = 72.2400A = 73.5300A = 74.8200A = 76.1100A = 77.4000A = 78.6900A = 79.9800A = 81.2700A = 82.5600A = 83.8500A = 85.1400A = 86.4300A = 87.7200A = 89.0100A = 90.3000A = 91.5900A = 92.8800A = 94.1700A = 95.4600A = 96.7500A = 98.0400A = 99.3300A = 100.6200A = 101.9100A = 103.2000A = 104.4900A = 105.7800A = 107.0700A = 108.3600A = 109.6500A = 110.9400A = 112.2300A = 113.5200A = 114.8100A = 116.1000A = 117.3900A = 118.6800A = 119.9700A = 121.2600A = 122.5500A = 123.8400A = 125.1300A 126.4200A = 127.7100A = 129.0000 for c=101:150A=0.95*c+1/3*c*0.85endA = 124.5667A = 125.8000A = 127.0333A = 128.2667A = 129.5000A = 130.7333A = 131.9667A = 133.2000A = 134.4333A = 135.6667A = 136.9000A = 138.1333A = 139.3667A = 140.6000A = 141.8333A = 143.0667A = 144.3000A = 145.5333A = 146.7667A = 148.0000A = 149.2333A = 150.4667A = 151.7000A = 152.9333A = 154.1667A = 155.4000A = 156.6333A = 157.8667A = 159.1000A = 160.3333A = 161.5667A = 162.8000A = 164.0333A = 165.2667A = 166.5000A = 167.7333A = 168.9667A = 170.2000A = 171.4333A = 172.6667A = 173.9000A = 175.1333A = 176.3667A = 177.6000A = 178.8333A = 180.0667A = 181.3000A = 182.5333A = 183.7667A = 185.0000 for c=50:100A=0.95*c+1/4*c*0.85endA = 58.1250A = 59.2875A = 60.4500A = 61.6125A = 62.7750A = 63.9375A = 65.1000A = 66.2625A = 67.4250A = 68.5875A = 69.7500A = 70.9125A = 72.0750A = 73.2375A = 74.4000A = 75.5625A = 76.7250A = 77.8875A = 79.0500A = 80.2125A = 81.3750A = 82.5375A = 83.7000A = 84.8625A = 86.0250A = 87.1875A = 88.3500A = 89.5125A = 90.6750A = 91.8375A = 93.0000A = 94.1625A = 95.3250A = 96.4875A = 97.6500A = 98.8125A = 99.9750A = 101.1375A = 102.3000A = 103.4625A = 104.6250A = 105.7875A = 106.9500A = 108.1125A = 109.2750A =