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三角形三边关系定理的巧用安徽李庆社三角形三边关系的定理“三角形两边之和大于第三边”即对于ABC，其三边为a，b，c根据定理应有a+bc，a+cb，b+ca如果我们要确定三条线段能否组成三角形，必须满足a+bc，a+cb，b+ca三者缺一不可，一定不能仅仅根据其中“任意”两边之和大于第三边就断定该三条边组成三角形，但是如果把三条线段长分别代入以上三个不等式，既显得麻烦，又比较费时间，这个定理的应用有一定技巧，今介绍给初学几何的学生，希望能有帮助怎样应用三角形三边关系定理呢？1、如果已知c是a、b、c三线段中最大的线段，那么只要满足a+bc就可以断定三线段能构成三角形，而不必再考虑a+cb和b+ca了例1下列有三组线段，判定哪组的三线段构成三角形？(1)a=3，b=8，c=4(2)a=5，b=6c=11(3)a=10，b=5，c=6解(1)因为三线段中b最大，且a+c=3+4=78=b所以该三线段a，b，c不能构成三角形(2)因为三线段c最大，且a+ b= 11=c所以这三线段ab，c不能构成三角形(3)因为三角形中a最大，且b+c=1110=a所以这三线段a，b，c能构成三角形=_分析：求值式需要先研究被开方式的底数和绝对值内的式子的正、负情况，再去掉根号和绝对值符号，就可求出结果解：a、b、c是ABC的三边，由三角形三条边的关系，有ab+c，bc+a，ca+b，即a-b-c0，b-c-a0，c-a-b0b-c-a=-(b-c-a)，c-a-b=-(c-a-b)求值式=-(a-b-c)+-(b-c-a)+-(c-a-b)=a+b+c2、在等腰三角形中，应考虑三边的特殊性，要区别腰与底的关系，在已知两边求三角形的周长时要讨论解的情况例3一个等腰三角形的两条边长分别是10cm和5cm，求这个三角形的周长分析：在给出的条件中，没有确定等腰三角形的腰和底，所以10cm长的边既可能是底，也可能是腰，于是本题有两解解(1)当腰长10cm时，则底长5cm时，等腰三角形的周长是25cm(2)当底长10cm时，则腰长5cm，然而两腰之和等于底边(5+5=10)，所以此三角形不存在答：这个三角形的周长是25cm3、若三线段能构成三角形且已知其中两线段的长求第三线段的取值范围时，要把三边关系定理与其推论(三角形两边的差小于第三边)同时运用例4已知三角形的两边长为 8cm，20cm，求第三边长x的取值范围？解：根据三角形三边关系定理及推论得：20-8x20+812x28答：第三边长x的取值范围在12cm到28cm之间(不包括12cm和28cm)例5已知如图：D、E是ABC内两点求证 AB+ACBD+DE+EC证明：把线段DE向两边延长交AB于F点，交AC于G点根据三角形两边之和大于第三边得AF+AGFG即AF+AGFD+DE+EG，又FB+FDBD，EG+GCECAF+AG+FB+FD+EG+GCFD+DE+EG+BD+EC又AF+FB=AB
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