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1.6 无穷小阶的比较1 无穷小的比较设,是自变量的同一变化过程中的两个无穷小.。(1) 如果，则称是比高阶的无穷小，记为；也说是比低阶的无穷小。(2) 如果(是不为0的常数)，则称是与同阶的无穷小。(3) 如果，则称与是等价无穷小，记作或。(4) 如果(，是不为0的常数)，则称是关于的阶无穷小。例如时，与是同阶无穷小，同时也是关于的二阶无穷小。注意并不是所有的无穷小都能进行比较，时，都是无穷小。由于和都不存在，因此，与不能进行阶的比较。例1 时，比较与的阶。解 。时，与是等价无穷小。定理1.5.1设,是自变量的同一变化过程中的两个无穷小，则。例如时，故，即，于是在的小邻域内可以用近似代替。定理1.5.2设都是自变量同一变化过程中的无穷小，且，若存在，则。证明。等价无穷小代换是计算极限的一个重要方法。例2 求。解 时，；又 时，所以。因此。例3 求极限。解 。时，所以。若分子、分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限。2 时几个常见的无穷小时，,， ()，()。例4 证明时，。证明 时，因此，故于是即时，。作业: P45 1,2.44
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