应用题部分专题讲座(2)答案.pdf

一灯燃亮千年暗 一智能灭万年愚 1 2012 年春季数学讲义 年春季数学讲义 三三 应用题部分专题讲座应用题部分专题讲座 学习目标 学习目标 1 掌握封闭与非封闭型植树问题的结构特征做到灵活运用 2 掌握空心方阵和实心方阵的特征正确求每边数 每周数及总数 3 掌握计算层数 每层个数 总个数的方法 及每层个数的变化规律 4 熟练掌握盈亏问题的本质 5 运用盈亏问题的解题方法解决生活实际问题 知识点拨 知识点拨 1 解决植树问题 首先要牢记三要素 总路线长 间距 棵距 长 棵数 只要知道这三个要 素中任意两个要素 就可以求出第三个 2 明确空心方阵和实心方阵的概念及区别 灵活运用方阵每向里一层每边数减少2 每层数 量减少 8 这个特征解决问题 习题精讲 习题精讲 1 从地 A 到 B 地每隔 40 米安装一根电线杆 加上两端共 51 根 现在改成每隔 20 米安装一根电 线杆 求还需要多少根电线杆 分析与解 该题含植树问题 相差关系两组数量关系 从 A 地到 B 地距离多少米 4 0 5 11 2 0 0 0 米 间隔距离变化后 AB 两地之间安装多少根电线杆 2 0 0 02 01 0 0 根 100 1 101 根 还需要下多少根电线杆 1 0 15 15 0 根 综合算式 40 51 1 20 1 5150 根 2 马路的一边 相隔 8 米有一棵杨树 小沙乘汽车从学校回家 从看到第一棵树到第 153 棵树共 花了 4 分钟 小沙从家到学校共坐了半小时的汽车 问 小沙的家距离学校多远 分析与解 第一棵树到第 153 棵树中间共有 153 1 152 个 间隔 每个间隔长 8 米 所以第一棵 树到第 153 棵树的距离是 152 8 1216 米 汽车经过 1216 米用了 4 分钟 1 分钟汽车经 过 1216 4 304 米 半小时汽车经过 304 30 9120 米 即小沙的家距离学校 9120 米 3 老沙以均匀的速度沿河边散步 从家门口走到第 11 棵树用了 11 分钟 老沙如果走 24 分钟 应 走到第几棵树 家门口没有树 分析与解 分析与解 从家门口走到第 11 棵树是走了 11 个间隔 走一个间隔所用时间是 11 11 1 分钟 那么 走 24 分钟应该走了 24 1 24 个 间隔 所以老沙应该走到了第 24 棵树 一灯燃亮千年暗 一智能灭万年愚 2 4 思远上楼 从第一层走到第三层需要走 36 级台阶 如果从第一层走到第六层需要走多少级台 阶 各层楼之间的台阶数相同 分析与解 分析与解 题意的实质反映的是一线段上的点数与间隔数之间的关系 每相邻两层楼之间有多少级台阶 36 3 1 18 级 从第一层走到第六层共多少级台阶 18 6 1 90 级 5 小沙和老沙两个人比赛跑楼梯 从一层开始比赛 小沙到四层时 老沙到三层 如此算来 小 沙到 16 层时 老沙跑到了几层 分析与解 分析与解 小沙实际跑了三层的距离 老沙跑了两层的距离 到 16 层需要跑 15 层的距离 所以小沙跑 了1535 个 三层的距离 老沙同时跑了 5 个两层的距离 所以老沙跑到了5 2 1 11 层 6 有一个报时钟 每敲响一下 声音可持续 3 秒 如果敲响 6 下 那么从敲响第一下到最后一下 持续声音结束 一共需要 43 秒 现在敲响 12 下 从敲响第一下到最后一下持续声音结束 一共 需要多长时间 分析与解 分析与解 每次敲完以后 声音持续 3 秒 那么从敲完第一下到敲完第 6 下 一共经历的时间是 43340 秒 而这之间只有6 15 个 间隔 所以每个间隔时间是4058 秒 现在 要敲响 12 下 所以一共经历的时间是 11 个间隔和 3 秒的持续时间 一共需要时间是 11 8391 秒 7 小明家的小狗喝水时间很规律 每隔 5 分钟喝一次水 第一次喝水的时间是 8 点整 当小狗第 20 次喝水时 时间是多少 分析与解 分析与解 第 20 次喝水与第 1 次喝水之间有20 1 19 个 间隔 因为小狗每隔 5 分钟喝一次 所以到第 20 次喝水中间间隔的时间是 19 595 分钟 也就是 1 个小时 35 分钟 所以小狗第 20 次喝水 时时间是 9 时 35 分 8 有一根 180 厘米长的绳子 从一端开始每 3 厘米作一记号 每 4 厘米也作一记号 然后将标有 记号的地方剪断 绳子共被剪成了多少段 分析与解 分析与解 每 3 厘米作一记号 共有记号 1 8 0315 9 个 每 4 厘米作一记号 共有记号 1 8 0414 4 个 其中重复的共有 180 12 1 14 个 所以记号共有 5944 1489 个 5 绳子共被剪成了 89190 段 一灯燃亮千年暗 一智能灭万年愚 3 9 甲 乙俩人对一根 3 米长的木棍涂色 首先甲从木棍端点开始涂黑 5 厘米 间隔 5 厘米不涂色 接着再涂黑 5 厘米 这样交替做到底 然后 乙从木棍同一端点开始留出 6 厘米不涂色 接着涂 黑 6 厘米 再间隔 6 厘米不涂色 交替做到底 最后 木棍上没有被涂黑部分的长度总和为 厘米 1990 年小学数学奥林匹克决赛试题 605048403630251815650 分析与解 分析与解 考虑 60 厘米长的一段木棍中 没有被涂黑的部分长度总和为 1 3 5 4 2 15 厘米 如 上图 所以 3 米长的木棍中共有 15 300 60 75 厘米 长未被涂黑 10 同学们做操 旭旭站在左起第5列 右起第3列 从前数前面有4个同学 从后数后面有6个同 学 每行每列的人数同样多 做操的同学一共有多少人 分析与解 分析与解 一共有几行 列式 4 6 1 11 行 一共有几列 列式 53 17 列 一共有多少人 列式 11 777 人 11 有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站 每隔 5 分钟有一辆电车从甲站出发开往乙 站 全程要 15 分钟 有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站 他出发的时候 恰好有一 辆电车到达乙站 在路上 他又遇到了 10 辆迎面开来的电车才到达甲站 这时候 恰好又有一 辆车从甲站开出 问 他从乙站到甲站用了多少分钟 分析与解 分析与解 这个人前后一共看见了 12 辆电车 每两辆车的间隔是 5 分钟 开出 12 辆电车共有12 1 11 个 间隔 这样可以计算出从第 1 辆电车开出到第 12 辆电车开出所用的时间 共经了5 1155 分钟 由于他出发的时候 第 1 辆电车巳到达乙站 所以这个人从乙站到甲站用了55 1540 分钟 12 某校五年级学生排成一个方阵 最外一层的人数为 60 人 问方阵外层每边有多少人 这个方 阵共有五年级学生多少人 分析分析与解 与解 根据四周人数和每边人数的关系可以知 每边人数 四周人数4 1 可以求出方阵最外层每 边人数 那么整个方阵队列的总人数就可以求了 所以方阵最外层每边人数 604 1 16 人 整个方阵共有学生人数 16 16256 人 13 果果在一个正方形的棋盘里摆棋子 他先把最外层摆满 用了40个棋子 求最外层每边有多 少棋子 如果他要把整个棋盘摆满 还需要多少棋子 分析与解 分析与解 有前一题基础 可让学生自己思考解决 首先根据 每边的个数 总数 41 求出每边的棋子数 404 1 11 个 根据 每向里一 一灯燃亮千年暗 一智能灭万年愚 4 层每边棋子数减少2 求出最外面数第二层中每边各有 112 9 个 棋子 利用求实心方阵 总个数的方法就可以求出还需 9 9 81 个 棋子 14 五一节来临之际 同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛 最外层的一层每边摆了12盆花 一共3层 一共用去多少盆花 分析与解 分析与解 方法一 不论是空心方阵还是实心方阵 每向里一层 每边的花盆就少2个 每层的花盆就 少8个 因此可以依次求出每层花盆的个数 最外层有花盆 12 1444 盆 第二层 有 44836 盆 第三层有 368 28 盆 共有 443628 108 盆 方法二 将三层花盆分成四块 形成四个相等的长方形 它们的长是123 个 宽是3个 123 327 个 即每个长方形中包括27个花盆 再将结果乘以4就得到总数是108个 于是我 们可以总结为 空心方阵中点的总个数 最外层每边的个数 层数 层数 4 方法三 也可以将这种情况看作从一个大的实心方阵中取出一个小的实心方阵 15 学校举行集体舞比赛 四年级的学生在排队形 如果排成 3 层空心的方阵则多 10 人 如果在 中间空心的部分接着增加一层又少 6 人 问一共有多少个学生参加排练呢 分析与解 分析与解 在内部增加一层 人数由多出 10 人变为反而少 6 人 所以这一层人数为10616 人 中间空心部分加一层 每边有 106 4 15 人 四层方阵有 468 10 4112 人 一共有学生1126106 人 16 刘思远观看团体操表演 他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心队列 他估 计队伍中人数大概在30至50人之间 你能告诉他到底有多少人吗 分析与解 分析与解 方阵总人数的特点 它是两个相同自然数的积 而三角形队列总人数的特点是 总数是从1开始 若干个连续自然数的和 我们只要在3050 的范围内找出同时满足这两个条件的数就可以得出总 人数 由于队伍可以排成方阵 在30至50人的范围内人数可能是6 6 36 人或77 49 人 又因为 361234849123494 所以总人数是36人 17 三年级三班少先队员参加学校劳动 如果每人搬 4 块砖 还剩 7 块 如果每人搬 5 块 则少 2 块砖 这个班少先队有几个人 要搬的砖共有多少块 分析与解 分析与解 比较两种搬砖法中各个量之间的关系 每人搬 4 块 还剩 7 块砖 每人搬 5 块 就少 2 块 这 两次搬砖 每人相差541 块 第一种余 7 块 第二种少 2 块 那么第二次与第一次总共相 差砖数 729 块 每人相差 1 块 结果总数就相差 9 块 所以有少先队员9 19 人 共 有砖 4 9743 块 18 刘思远过生日 同学们去给他买蛋糕 如果每人出 8 元 就多出了 8 元 每人出 7 元 就多出 一灯燃亮千年暗 一智能灭万年愚 5 了 4 元 那么有多少个同学去买蛋糕 这个蛋糕的价钱是多少 分析与解 分析与解 多 8 元 与 多 4 元 两者相差844 元 每个人要多出871 元 因此就知道 共 有4 14 人 蛋糕价钱是8 4824 元 19 学校新买来一批书 将它们分给几位老师 如果每人发 10 本 还差 9 本 每人发 9 本 还差 2 本 请问有多少老师 多少本书 分析与解 分析与解 差 9 本 和 差 2 本 两者相差927 本 每个人要多发1091 本 因此就知道 共 有老师7 17 人 书有7 10961 本 20 猫妈妈给小猫分鱼 每只小猫分 10 条鱼 就多出 8 条鱼 每只小猫分 11 条鱼则正好分完 那 么一共有多少只小猫 猫妈妈一共有多少条鱼 分析与解 分析与解 猫妈妈的第一种方案盈 8 条鱼 第二种方案不盈不亏 所以盈亏总和是 8 条 两次分配之差 是11 101 条 由盈亏问题公式得 有小猫 8 18 只 猫妈妈有8 10888 条 鱼 21 幼儿园大班的一部分小朋友分小玩具 如果每人分 4 个就少 9 个 如果每人分 3 个正好分 完 问 有多少位小朋友 共分多少个小玩具 分析与解 分析与解 第一种分配方案亏 9 个小玩具 第二种方案不盈不亏 所以盈亏总和是 9 个 两次分配之 差是 431 个 由盈亏问题公式得 参与分玩具的小朋友有 9 19 人 有小玩具9 327 个 22 我爱数学夏令营活动 中 华英学校安排参加活动的营员住宿 有 30 间宿舍 大宿舍每间住 6 人 小宿舍每间住 4 人 已知这些宿舍中共住了 168 人 那么其中有多少间大宿舍 分析与解 分析与解 如果 30 间都是小宿舍 那么只能住4 30120 人 而实际上住了 168 人 大宿舍比小宿 舍每间多住642 人 所以大宿舍有168 120224 间 这是一个鸡兔同笼 放在这 里做对比 23 幼儿园将一筐苹果分给小朋友 如果全部分给大班的小朋友 每人分 5 个 则余下 10 个 如 全部分给小班的小朋友 每人分到 8 个 则缺 2 个 已知大班比小班多 3 人 问 这筐苹果共有 多少个 分析与解 分析与解 先把大班人数和小班人数转化为一样 大班减少 3 人 则苹果又收回3 515 个苹果 人数 一样 根据盈亏问题公式 小班人数为 15 102 85 9 人 苹果总数是8 9270 个 24 甲 乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸 甲每封信用 2 张信纸 乙每封信用 3 张 一灯燃亮千年暗 一智能灭万年愚 6 信纸 一段时间后 甲用完了所有的信封还剩下 20 张信纸 乙用完所有信纸还剩下 10 个信封 则他们每人各买了多少张信纸 分析与解 分析与解 由题意 如果乙用完所有的信封 那么缺 30 张信纸 这是盈亏问题 盈亏总额为 20 30 张信纸 两次分配的差为 3 2 张信纸 所以有信封 20 30 3 2 50 个 有信纸 2 50 20 120 张 25 华英夏令营举办运动会 将一些羽毛球分给若干个人 每人 5 个还多余 10 个羽毛球 如果人 数增加到 3 倍 那么每人分 2 个羽毛球还缺少 8 个 问有羽毛球多少个 分析与解 分析与解 考虑人数增加 3 倍后 相当于按原人数每人给 2 3 6 个 每人给 5 个与给 6 个 总数相 差 10 8 18 个 所以原有人数 18 6 5 18 人 乒乓球总数是 5 18 10 100 个 26 学校买来一批体育用品 羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍 分给同学们 每组分乒乓球拍 5 副 余 乒乓球拍 15 副 每组分羽毛球拍 14 副 则差 30 副 问 学校买来羽毛球拍 乒乓球拍各多少 副 分析与解 分析与解 因为羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍 如果每次分羽毛球拍 5 2 10 副 最后应余下 15 2 30 副 因为 14 5 2 4 副 分到最后还差 30 副 所以比每次分 10 副总共差 30 30 60 副 所以有小组 60 4 15 组 乒乓球拍有 5 15 15 90 副 羽毛球拍 90 2 180 副 27 用一根长绳测量井的深度 如果绳子两折时 多 5 米 如果绳子 3 折时 差 4 米 求绳子长度 和井深 分析与解 分析与解 井的深度为 5 2 4 3 3 2 22 1 22 米 绳子长度为 22 5 2 27 2 54 米 或者 22 4 3 18 3 54 米 28 冻冻有一个储蓄筒 存放的都是硬币 其中 2 分币比 5 分币多 22 个 按钱数算 5 分币却比 2 分币多 4 角 另外 还有 36 个 1 分币 冻冻共存了多少钱 分析与解 分析与解 假设去掉 22 个 2 分币 那么按钱数算 5 分币比 2 分币多 8 角 4 分 一个 5 分币比一个 2 分 币多 3 分 所以 5 分币有 845228 个 2 分币有 282250 个 所以冻冻共存钱 5 282 50 1 36140 10036276 分 29 少先队员去植树 如果每人挖 5 个树坑 还有 3 个树坑没人挖 如果其中两人各挖 4 个树坑 其余每人挖 6 个树坑 就恰好挖完所有的树坑 请问 共有多少名少先队员 共挖了多少树坑 分析与解 分析与解 这是一个典型的盈亏问题 关键在于要将第二句话 如果其中两人各挖 4 个树坑 其余每人 挖 6 个树坑 就恰好挖完所有的树坑 统一一下 即 应该统一成每人挖 6 个树坑 形成统一的 一灯燃亮千年暗 一智能灭万年愚 7 标准 那么它就相当于每人挖 6 个树坑 就要差 6 4 2 4 个树坑 这样 盈亏总数就是 3 4 7 所以 有少先队员 7 6 5 7 名 共挖了 5 7 3 38 个坑 盈亏总数等于 3 6 4 2 7 少先队员有 7 6 5 7 名 共挖了 5 7 3 38 个树坑 30 思