初中数学竞赛讲座(第9讲)“设而不求”的未知数.pdf

第九讲第九讲 设而不求设而不求 的未知数的未知数 让我们先看一道简单的数学题 三角形的 面积 解解 设这个三角形的斜边长度为 c 因为斜边上的中线长是 1 所以斜边长 c 2 再设两 条直角边的长度是 a b 面积是 S 那么 a2 b2 2ab 6 把 代入 式得 4 4S 6 在这个题目中 只要求出未知数 S 的值 而我们却设了三个未知数 a b S 并且在解题过程中 我们也根本没求 a b 的值 但是由于增设了 a b 后 给我们 利用等量关系列方程及方程组求 S 的值 带来了很大的便利 像这种未知数 如 a b 就是本讲所要介绍的 设而不求 的未知数 所谓 设而不求 的未知数 又叫辅助元素 它是我们为解决问题增设的一些 参数 它能起到沟通数量关系 架起连接已知量和未知量的桥梁作用 例例 2 2 2 2 若 求 x y z 的值 分析分析 已知条件是以连比的形式出现时 往往引进一个比例参数来表示这个连 比 解解 令 则有 x k a b y k b c z k c a 所以 x y z k a b k b c k c a 0 所以 x y Z 0 说明说明 本例中所设的 k 就是 设而不求 的未知数 例例 3 3 3 3 已知 p q r 都是 5 的倍数 r q p 且 r p 10 试求 解解 不妨设 p 5k1 q 5k2 r 5k3 由题意可知 k1 k2 k3都是整数 因为 r q p 所以 k3 k2 k1 又因为 r p 10 所以 5k3 5k1 10 k3 k1 2 所以 k1 2 k2 k1 所以 k2 k1 1 将 代入所求的代数式得 说明说明 本题中 k1 k2 k3均是 设而不求 的未知数 a 1 并且设 分子 n 13 ak1 分母 5n 6 ak2 其中 k1 k2为自然数 由 得 n 13 ak1 将之代入 得 5 13 ak1 6 ak2 即71 5ak1 ak2 所以a k2 5k1 71 由于 71 是质数 且 a 1 所以 a 71 所以 n k1 71 13 故 n 最小为 84 例例 5 5 5 5 甲 乙 丙 丁四人 每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为 29 23 21 和 17 这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少 解解 设四个人的年龄分别记为 a b c d 根据题意有 由上述四式可知 比较 知 d 最大 c 最小 所以 得 所以 d c 18 即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为 18 说明说明 此题不必求出 a b c d 的值 只须比较一下 找出最大者与最小者是 谁 作差即可求解 例例 6 6 6 6 设有 n 个数 x1 x2 xn 它们的值只能是 0 1 2 三个数中的一个 如果记 试用 f1和 f2表示 解解 设在 x1 x2 xn这几个数中取值为 0 的有 s 个 取值为 1 的有 t 个 取 值为 2 的有 r 个 则 s t r n 0 t n 0 s n 0 r n 由此得 f1 t 2r f2 t 4r 所以 2k 1 f2 2k 1 2 f1 说明说明 本题借助于 s t r 找到了 fk与 f1 f2的关系表达式 整除 根据一个数能被 9 整除的特征有 6 2 4 2 7 9m m 为自然数 即 3 9m1 m1 为自然数 又由于0 9 0 9 则有 3 3 21 从而有 6 或 15 同理 按照一个数被 11 整除的特征有 2 或 9 与 相结合 并考虑 0 9 0 9 故只有 2 4 所以原自然数为 6 224 427 例例 8 8 8 8 我手中的卡片上写有一个三位数 并且个位数不为零 现将个位与百位数 字对调 取两数的差 大数减小数 将所得差的三位数与此差的个位 百位数字对 调后的三位数相加 最后的和是多少 a 100 b 10 c c 100 b 10 a 99 a 99 c 100 a 100 c 100 90 10 a c 100 a c 1 9 10 10 a c 因 k 是三位数 所以 2 a c 8 1 a c 1 7 所以2 10 a c 8 差对调后为 k 10 a c 100 9 10 a c 1 所以 k k 100 a c 1 9 10 10 a c 10 a c 100 9 10 a c 1 1089 故所求为 1089 说明说明 本例中 a b c 作为参数被引进 但运算最终又被消去了 而无须求出它 们的值 这正是 设而不求 的未知数的典型例子 在列方程解应用题中 更是经常用到增设参数的方法 下面再举几个例题 例例 9 9 9 9 从两个重量分别为 12 千克 kg 和 8 千克 且含铜的百分数不同的合金上 切下重量相等的两块 把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起 熔炼后两个 合金含铜的百分数相等 求所切下的合金的重量是多少千克 分析分析 由于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数 因此只有增设这两个合金含 铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数 才能充分利用已知 为列方程创造条件 解法解法 1 1 1 1 设所切下的合金的重量为 x 千克 重 12 千克的合金的含铜百分数为 p 重 8 千克的合金的含铜百分数为 q p q 于是有 整理得5 q p x 24 q p 因为 p q 所以 q p 0 因此 x 4 8 即所切下的合金重 4 8 千克 解法解法 2 2 2 2 设从重 12 千克的合金上切下的 x 千克中含铜 m 千克 从重 8 千克的合 金上切下的 x 千克中含铜 n 千克 m n 则这两个合金含 整理得 5x n m 24 n m 因为 m n 所以 n m 0 因此 x 4 8 即所切下的合金重 4 8 千克 说明说明 在解含参数的方程时 一般情况下可以把参数消去 转化成只含有待求未 知数的一般方程 也就是说应用题的解答与参数的数值无关 例例 10101010 某队伍长 1998 米 m 在行进中排尾的一个战士因事赶到排头 然后立 即返回 当这个战士回到排尾时 全队已前进 1998 米 如果队伍和这个战士行进 的速度都不改变 求这个战士走过的路程 解法解法 1 1 1 1 设这个战士走过的路程为 s 米 所需要的时间为 t 小时 h 消去参数 t 得 解之得 解法解法 2 2 2 2 设这个战士的行进速度为 V1 米 小时 队伍行进的速度为 因此 所以这个战士所走距离 为 说明说明 在同一个问题中 由于考虑问题的角度不同 所以增设的参数也会有所不 同 如上例中的两种解法 练习九练习九 字 又 N 是 4 的倍数 且 N 被 11 除余 5 那么 x