智轩2010考研数学第3专题讲座---导数的经济学应用(数学.pdf

智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座 导数的经济学应用 数学 3 http bbs qinjing cc 2010 数学 3 专题 导数的经济学应用 一 经济分析中常用的 5 大经济学函数 1 总成本函数 Total Cost Function C x 在经营活动中的总成本 用字母 C 表示 与产品的产量 用字母x表示 密切相关 经过抽象简化 可以看成仅是产量的函数 在不考虑产品积压 假设供求平衡的条件下 x为产品的产量 x为产品的销 售量 01 C xCCx 其中 表示固定成本 如设备维修费 企业管理费等等 0 C 1 Cx表示可变成本 如购买原材料 动力费等等 平均成本 1 0 C xCxC C x xxx 2 总收入 或称总收益 函数 R x 用字母 R 表示 Total Receipt Function RR x 当产品的单价 price 为 p x为销售量时 Rx p x R x p xR x x 即平均收益函数 3 总利润函数 L x 用字母 L 表示 Total Gain Function LL xR xC xtx tx为国家征税率 为产量 0L x 称为 收支平衡 4 需求函数 用字母表示 Demand Function d Q d Q max 0 0 0 dd d d QQp Qabpab a Qp b 在线形情况下 称为最大销售价格 5 供给函数 用字母表示 Supply Function S Q s Q 1 智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座 导数的经济学应用 数学 3 http bbs qinjing cc 0 0 0 ss s sd QQp Qcdpcd ac QQabpcdpp bd 在线性情况下 称为均衡价格 6 复利公式 设银行存款的年利率为 开始存钱为 则t年后 r 0 T 年复利公式 0 1 t T tTr 月复利公式 12 0 1 12 t r T tT 连续复利公式 即 按天 时或更少的时间 00 lim1 nt rt n r T tTT e n 如果当初的没有存入银行 则当初的相当于现在的值 0 T 0 T 0 rt T tT e 二 边际与边际分析 在经济问题中 常常会使用变化率的概念 变化率又分为平均变化率和瞬时变化率 平均变化率就 是函数增量与自变量增量之比 函数在 xfy 00 xxx 内的平均变化率为 x y 如我们常用到年 产量的平均变化率 成本的平均变化率 利润的平均变化率等 瞬时变化率就是函数对自变量的导数 即当自变量增量趋于零时平均变化率的极限 lim 0 00 0 xf x xfxxf x 在经济学中 一个经济函数的导数 xf x f 称为该函数的边际函数边际函数 在点处的导数 称为在点 xf 0 xx 0 x f xf 0 xx 处的变化率 也称为在点 xf 0 xx 处的边际函数值 它表示 xf在点 现设是一个可导的经济函数 于是当 0 xx 处的变化速度 xfy x 很小时 xxfxxxfxfxxf 由于产品的最小单位是 1 故 当或1 x1 x时 分别给出 或 1 xfxfxf 1 xfxfxf 因此边际函数值的经济意义的经济意义是 经济函数在点 0 x f xf 0 xx 处 当自变量x再增加 1 个单位时 因 变量或近似于经济函数值与y的改变量的近似值 0 xf 1 0 xf之差 但在应用问题中解释边际函数 2 智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座 导数的经济学应用 数学 3 http bbs qinjing cc 值的具体意义时 常略去 近似 两字 因为产品的最小单位为 1 不存在小数 例 1 设函数 试求 2 xy y在时的边际函数值 5 x 解解 因为 所以xy2 10 5 x y 该值表明 当5 x时 x改变一个单位 增加或减少一个单位 约改变 10 个单位 增加或减少 10 个单位 y 下面介绍经济学中常用的三个边际概念 2 1 边际成本 Cx 某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入 劳力 原料 设备等 的价格或 费用总额 它由固定成本和可变成本两部分组成 平均成本是生产一定量产品 平均每单位产品的成本 边际成本是总成本的变化率 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下 成本是产量的函数 设总成本函数 Q为产量 则平均成本函数为 QCC Q QC QCC 生产个单位产品时的边际成本函数为 Q QCC 0 QC 称为当产量为时的边际成本 西方经济学家对它的解释是 当生产个单位产品前最后 增加的那个单位产品所花费的成本或生产个单位产品后增加的那个单位产品所花费的成本 这两种理 解均算正确 我们一般使用后一种说法 例 2 已知生产某产品 Q 件的成本为 元 试求 1 边际成本函数 2 产量为 1000 件时的边际成本 并解释其经济意义 3 产量为多少件时 平均成本最小 解 解 1 边际成本函数 2 产量为 1000 件时的边际成本 0 Q 0 Q 0 Q 2 001 0409000QQC QC002 040 601000002 040 1000 C 它表示当产量为 1000 件时 再生产 1 件产品需要的成本为 60 元 3 平均成本 3 智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座 导数的经济学应用 数学 3 http bbs qinjing cc Q QQ C C001 040 9000 001 0 9000 2 Q C 令 C0 得 Q 3000 件 由于 C0 故当产量为 3000 件时平均成本最小 例 3 某工厂生产Q个单位产品的总成本为产量Q 的函数 C 2 1200 1 1100 QQCC 求 1 生产 900 个单位时的总成本和平均成本 2 生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成本的平均变化率 3 生产 900 个单位时的边际成本 解 解 1 生产 900 个单位时的总成本为 1775900 1200 1 1100 900 2 CC 平均成本为 97 1 900 1775 900 900 C 2 生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成本的平均变化率为 58 1 100 17751933 9001000 900 1000 CC Q C 3 生产 900 个单位时的边际成本为 5 1 600 1 1200 1 1100 900 900 900 2 Q Q QQC 2 2 边际收益 Rx 和边际利润 Lx 总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入 平均收益是生产者出售一定量产品 平均每单 位产品所得到的收入 即单位商品的售价p 边际收益为总收益的变化率 总收益 平均收益 边际收益均为产量的函数 设为价格 有时也用PQx表示 但要注意与完全不同 为销售量 则总收益函数为 Q ds Q Q PQQRR 若需求函数为 则总收益函数为 QPP QPQQRR 4 智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座 导数的经济学应用 数学 3 http bbs qinjing cc 故平均收益函数为 QP Q QQP Q QR QRR 即价格可视作从需求量 这里需求量即为销售量 Q上获得的平均收益 边际收益为 QP QPQPQQPQQRR 0 Q R 的经济意义为 0 Q R 表示销售量为个单位时 多销售一个单位产品或少销售一个单位产品 时收益的改变量 0 Q 由经济学知识 总利润是总收益与总成本之差 设总利润为 则总利润函数为 L QCQRQLL 其中Q为商品量 那么边际利润函数为 QCQRQLL 它的经济意义是 表示销售量为单位时 再销售一个单位商品时利润的改变量 例 4 设某产品的需求函数为 0 Q L 0 Q 5 20 Q P 其中为价格 为销售量 当销售量为 15 个单位时 求总收益 平均收益与边际收益 解 解 因为需求函数为 PQ 5 20 Q P 则总收益函数为 5 20 2 Q QQPQQRR 故销售量为 15 个单位时 有 总收益 255 5 15 1520 15 2 R 平均收益 17 15 15 1515 Q QQ QP Q QQP Q QR R 边际收益 1415 5 2 20 15 Q QRR 例 5 某工厂生产一批产品的固定成本为 2000 元 每增产一吨产品成本增加 50 元 设该产品的市场 需求规律为 Q 1100 10P P 为价格 产销平衡 试求 1 产量为 100 吨时的边际利润 2 产量为多少吨时利润最大 5 智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座 导数的经济学应用 数学 3 http bbs qinjing cc 解解 由于 10 110 Q P 故总收入为 10 110 2 Q QPQR 总成本为 QC502000 故总利润为 2000 10 60 2 Q QCRL 1 边际利润为 5 60 Q L 当产量为 100 吨时 边际利润为 40 5 100 60 100 L 元 2 令得 Q 300 吨 由于0 L0 L 故当产量为 300 吨时 利润最大 同样 还有边际需求和边际供给 d Qp s Qp 一共 5 个边际函数个边际函数 三 弹性与弹性分析 前面所谈的函数改变量与函数变化率是绝对改变量与绝对变化率 在实际问题中 有时仅知道函数 的改变量及绝对改变率是不够的 例如 设有 A 和 B 两种商品 其单价分别为 10 元 和 100 元 同时提价 1 元 显然改变量相同 但提价的百分数大不相同 分别为 10 和 1 前者是后者 的 10 倍 因此有必要研究函数的相对改变量以及相对变化率 这在经济学中称为弹性弹性 它定量地反映了 一个经济量 自变量 变动时 另一个经济量 因变量 随之变动的灵敏程度 即自变量变动百分之一时 因变量变动的百分数 xfy y xf 定义定义 设函数在点 xfy x处可导 且 0yf x 函数的相对改变量 y y 与自变量的相对改 变量 x x 之比当时的极限 0 x lim 0 xf xf x y y x xx yy x 称为函数在点处的弹性 记作 0 xx yx xfy x 即 6 智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座 导数的经济学应用 数学 3 http bbs qinjing cc xf xf x yx 由定义知 当 1 x x 时 yx y y 可见 函数 xfy 的弹性具有下述意义 函数 xfy 在点处的弹性 0 x 0 xx yx 表示在点处当 0 xx改变 1 时 函数 xfy 在的水平上近似改变 0 xf 0 xx yx 在应用问题中解释弹性的具体意义时 常略去 近似 二字 由定义还可见 函数的弹性与量纲无关 即与各有关变量的计量单位无关 这使得弹性概念在经济 中具有广泛应用 例如 显然各种商品的计量单位不尽相同 但比较不同商品的需求弹性并不受到计量 单位的限制 函数在点x的弹性 yx 反映了对 xfx的变化反映的强烈程度或灵敏度 yx 的表达式可改写为 yx dy dx y x 边际函数 平均函数 故在经济学中 弹性又可解释为边际函数与平均函数之比 3 1 需求弹性 d Q p d Q p 在经济学中常用到需求弹性 指需求弹性对价格 它也是经济类考生必考的重点内容 需 求 是指在一定价格条件下 消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量 设表示商品价格 表 示需求量函数 那么需求函数 P d Q d Qf P 定义需求弹性 d Q p 注意它与基本的弹性定义差一个符号 这仅仅是需求弹性的特点 d d Q p d dQp Qdp 一般说来 商品价格低 需求大 商品价格高 需求小 因此 一般需求函数是单调减少 函数 PfQ 0 d dQ dp 而0 d d Q p d dQp Qdp 这就是为什么加上一个负号的原符合教育部对 经济类考生的命题规范的 所以 读者切忌乱改上诉定义及其有关符号 需求弹性是刻划商品价格变动 时需求变动的强弱 因 这也是 7 智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座 导数的经济学应用 数学 3 http bbs qinjing cc 在解题时 我们要常常用到下列形式 1 2 3 1 1 d d d dd dQ pd d Q p d Q pd ddddddQ pdQ p pdQQ dp Qp Qp RQ dp d RQ pRQ pd Q pQ dppdQQ dpQ dpQ dp 3 2 弹性分析 指需求弹性 d Q p 的分析 1 1 d Q p 称为高弹性 降价或提价使总收益没有明显影响 2 1 d Q p 称为单位弹性 降价可使总收益增加 提价可使总收益减少 2 1 d Q p 称为低弹性 降价可使总收益减少 提价可使总收益增加 例 6 设某商品需求函数为 5 P eQ 求 1 需求弹性函数 2 时的需求弹性 并说明其经济意义 3 P5 P6 P 解解 1 由已知有 5 5 1 P eQ 则 5 5 1 55 P QPP PP e e 3 3 0 6 5 QP 2 5 5 1 5 QP 6 6 1 2 5 QP 5 1 QP 说明当时 价格上升 1 需求量则下降 1 可见此时价格与需求变动的幅度相 同 5 P 3 0 6 QP 说明当时 价格上涨 1 需求只减少 0 6 此时需求变动的幅度小于价格变 动的幅度 3 P 6 1 2 QP 说明当时 价格上涨 1 需求减少 1 2 此时需求变动的幅度大于价格变动 的幅度 6 P 8 智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座 导数的经济学应用 数学 3 http bbs qinjing cc 弹性的四则运算 1 加法性质 设与于 1 xf 2 xfx处的弹性为 xf1 与 xf2 则 21 xfxf 在x处的弹性为 12 12 12 f xf yx f xfx f xfx x 证明 12 y f xfx 按弹性定义有 21 21 xfxf xfxfx y x y yx 21 2 2 21 1 1 xfxf xf xf x xfxf xf x xf 21 21 21 xfxf xfxf xfxf 推论 设在 xfix处的弹性为 2 1 ni xfi 则在 n i i xfy 1 x处的弹性为 n i i n i xfiyx xfxf i 11 2 设 1 xf与于 2 xfx 则 21 xfxfy 在x处的弹性为 xf1 与 xf2 处的弹性为 xfxfyx 21 证明 按弹性定义有 21 2121 xfxf x xfxfxfxf y x y yx 2 2 1 1 xf x xf xf x xf xfxf 21 即函数的乘积的弹性等于各自弹性的和 2 乘法性质 设与于 则 2 1 xf xf y 1 xf 2 xfx在x处的弹性为 xf1 与 xf2 处的弹性为 9 智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座 导数的经济学应用 数学 3 http bbs qinjing cc xfxfyx 21 即函数的商的弹性等于分子的弹性减去分母的弹性 该公式请读者自证 例 7 某商品需求函数为 2 10 P Q 求 1 需求价格弹性函数 2 当时的需求价格弹性 3 P 3 在时 若价格上涨 其总收益是增加 还是减少 它将变化百分之几 3 P 1 解 解 1 按弹性定义有 1 22 10 2 QP PP Q P QP 0 P 2 当时的需求价格弹性为 3 P 3 3 17 QPP 0 18 3 由于总收益 2 10 2 P PPQR 于是总收益的价格弹性函数 2 2 10 10 20 10 2 RP dR PPP P PdP RP P 从而在时 总收益的价格弹性 3 P 82 0 20 10 2 3 3 P P RP P P 故在时 若价格上涨 需求仅减少3 P 1 0 0 18 0 总收益将增加 总收益约增加 82 0 10 智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座 导数的经济学应用 数学 3 http bbs qinjing cc 边际与弹性分析专题精华 13 个模拟题与解析 2010 1 某种产品每台售价 100 元 成本 60 元 商家为扩大销售量 决定凡购买量超过 100 台以上部分 按 每台降价 1 出售 例如 若销售量为 101 台 销售量比 100 台多出一台 于是多售出的一台售价为 99 元 若销售量为 102 台 多售出二台 多售出的二台 每台售价为 98 元 以此类推 但每台最 低售价为 75 元 商家最大供应量为 150 台 并且都能售完 问销售量为多少时 商家所获利润最大 解 设销售量为 x 每台售价为 P x 总成本为 C x 60 x x 取正整数 由于价格不低于 75 元 即 100 100 175P xx 当 P x 75 元时 x 125 台 总收益函数 2 1000100 100 1 100 10000 100125 75 100 10000150 1000100 100 100 100125 752500150 100 125 125 xx R xxxx xx xx xxx xx 利润函数 2 400100 40 100 100125 152500125150 400100 402200100125 15125150 xx L xR xC xxxx xx x L xxx x 于是 x 120 时 L x 取得极大值 L 120 4400 元 又 L 150 15150 2500 4750 元 令 0 得驻点 x 120 台 L x 120 20 x L x 11 智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座 导数的经济学应用 数学 3 http bbs qinjing cc 当销售量为 150 台时所获利润最大 2 设某种商品的社会需求量 Qf p p为商品的价格 其弹性 2 2 2 0 E 256 dd p E p 当 p 10 时 Q 156 一个工厂生产这种商品 其日总成本函数 C Q 4Q 2000 求该厂日产量 Q 为多少时 总利润最大 解 由 2 22 22 256256 d ppdQp EQd QpQp p 于是 2 2 2256 256 p dp p QCeCp 令 得 又由 时 10p 1561QC 故 2 256Qp 利润 22 256 4 256 200L pR QC Qppp 32 42564 2562000ppp 2 38256 L ppp 2 0382560L ppp 32 10 7 3 p 负数舍去 故 p 10 7 时 利润最大 此时 3 设 某 企 业 生 产 一 种 产 品 其 成 本 10 7 10 7 68 0 p Lp 2 256142 2 单位Qp 32 2 161001000 3 C QQQQ 平 均 收 益 1 0 240 2 R QabQab 当边际收益 MR 44 需求价格弹性 41 19 p E 时 取得最大利 润 求取得最大利润时 产品的产量及常数 a 与 b 的值 解 收益函数 2 1 2 R QQR QaQbQ 当取得最大利润时 边际收益等于边际成本 即 MRMC MRRabQ 于是 2 44 232100C QQQ 2 16280QQ 12 智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座 导数的经济学应用 数学 3 http bbs qinjing cc 得 12 2 14 QQ 又 22 22 0 432 d Rd C bQ dQdQ 22 1414 22 22 22 22 0 56322 0 832240 QQ QQ d Rd C b dQdQ d Rd C b dQdQ 40 当 Q 14 时 22 2 d Rd C dQdQ 2 企业利润取得极大值 由于 1 1 MRR QP Ep 1 44 1 82 41 19 解得PP 又由于 14于是当时R QPQ 1 8214 2 4414 ab ab 解方程组得 38 120 7 ba 当 Q 2 时得 b 38 不满足 0 b 24 条件 因而舍去 利润函数 L QR QC Q 232 23 2 192 120161001000 73 932 201000 73 186 202 7 QQQQQ QQQ L QQQ 5 0 14 7 得驻点舍去L QQQ 令 又 故产量 Q 14 时企业取得最大利润 0 lim 1000 0 Q L QL 0 lim Q L Q 13 智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座 导数的经济学应用 数学 3 http bbs qinjing cc 3 自动生产线上加工的零件的内径 X mm 服从正态分布 1 N 内径小于 10 或大于 12mm 的为不 合格品 其余为合格品 每件产品的成本为 10 元 内径小于 10mm 的可再加工成合格品 尚需加工 费 5 元 全部合格品在市场上销售 每件合格品售价 20 元 问零件的平均内径 取何值时 销售一 个零件的平均销售利润最大 解 每件产品的销售利润 L 与自动生产线加工的零件的内径 X mm 有如下关系 5 10 10 1012 10 12 若 若 若 X LL XX X 平均利润为 10 1012 5 10 10 12 10 12 10 5 10 10 1 12 20 12 5 10 10 ELPXP XP X 其中 x 是标准正态分布函数 xx 标准正态密度 因此 有 22 22 12 10 22 12 10 22 22 20 12 5 10 0 205 0 22 4 12 10 2ln4 11ln2 dEL x d ee ee 即当 0 11 ln210 31mm 时 平均利润最大 4 某企业生产一种产品 其利润通过职工的工资福利及培训费用来实现利润的大小 费用分别为 x 万 元 及 y 万元 产品的产量 3125500 49 xy Q xy 其利润是产量 Q 的 1 5 再扣除工资福利费及培训 费 1 求在企业资金充足时 x y 分别为多少时 利润最大 2 在工资福利费与培训费总和不超过 55 万元时 应如何分配这两种费用 使企业利润最大 解 1 利润函数 14 智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座 导数的经济学应用 数学 3 http bbs qinjing cc 2 2 1 3125500 549 625100 49 625 4 10 4 100 9 10 9 xy L x yxy xy xy xy xy L xx L yx 2 3 得 425 910 x y 46 21 万元 万元 x y 2 3 2 2 2 3 2 625 4 2 4 0 100 9 2 9 L x x L x y L y y 在点 46 21 处 222 464646 22 212121 0 0 0 xx yy LL ABC xx yy x y L 故 当 x 46 万元 y 21 万元 时 利润最大 2 作拉格朗日函数 2 0 0又BACA 于是当 x 46 万元 y 21 万元 时 利润 L x y 取得极大值 又 lim x y L x y 0 0 lim lim x y L x y L xy 2 2 1 3125500625100 55 55 54949 625 4 10 1 4 100 9 10 2 9 55 3 x y xyxy F x yxyxyxyxy xyxy F x y x F x y y xy 15 智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座 导数的经济学应用 数学 3 http bbs qinjing cc 由 1 式 2 625 4 1 4 x 代入 2 式得 22 100 9625 4 0 9 4 3050 3 4 5 9 94 3533 38 5 16 5 55 得 得万元 万元 yx xy yx xy xy xy 点 38 5 16 5 是唯一驻点 由实际问题得知 当工资福利费用为 38 5 万元 培训费为 16 5 万元 时 使企业利润最大 5 已知某垄断厂商生产某产品的成本为 0 其产品的需求价格弹性 2 1 P Q 其中 Q 是该产品的产 量 P 为其价格 已知当 Q 0 时 P 10 I 试求价格函数 将 P 表示成 Q 的函数 II 求厂商利润最大化时的产量和利润 解 I 设 Q Q P 由价格弹性的定义可知 2 1PdQ QdPQ 且由初始条件 P 0 10 用分离变量法求解方程并代入已知条件可得 2 2 10 Q Pe II 厂商利润可以表示为 2 2 100 Q P QP QCeQ 一阶条件得到 22 22 10100 QQ QeQ Qe 得 Q 1 Q 1 不合题义 舍去 此时其利润为 1 2 10e 评注 厂商取得最大利润时价格弹性为 1 这可以用来验证题目所得结果是否正确 其实此题 可以令1 直接解得 Q 1 6 某商品交易市场上的税收收入与交易的成交额之间的关系经统计资料分析为 税收的收入随成交额增 加的增长率等于税收收入的立方与成交额立方的2倍的差 再除以成交额与税收收入平方之积的3倍 若成交额为 x 1 万元 时 税收收入 y 2 百元 试求该商品市场的税收收入与成交额之间的函数 关系 16 智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座 导数的经济学应用 数学 3 http bbs qinjing cc 解 依题设 税收收入 y 百元 与成交额 x 万元 的函数关系满足的微分方程 33 2 2 1 2 3 且 dyyx y dxxy 此方程即为 3 2 2 3 y dy x y dx x 设 y u x 则 dy uxu dx 原方程变为 3 2 2 3 u uxu u 2 32 3 3 2ln 1 lnln 1 u dudx ux ux C 即 33 22 11 Cy u C xxx 33 1 29将代入得xyCxyC 所求函数关系为 33 9yxx 7 设某商品的价格与需求量之间具有线性关系 当价格从 2 元上升到 4 元时 产品的需求量从 1000 件 下降到 800 件 I 求需求函数 II 求当价格为 10 元时的需求弹性并说明其经济意义 解 I 设需求量为 Q 价格为 P 则需求函数为 Q a bP P 2 时 Q 1000 P 4 时 Q 800 代入得 解得 a 1200 b 100 21000 4800 ab ab Q 1200 100P II 需求弹性为 12 d dQPP dPQp 当 P 10 时 10 5 12 10 d 这说明当价格为 10 元时 价格增加 1 则需求量减少 5 价格减少 1 则需求量增加 5 8 某地区研究消费需求量时 发现在稳定条件下 需求量 y 只与消费者个人收入 x 有关 经测算 消费 需求增长率对消费者个人收入增长率之比的平均弹性为0 5 且当消费者收入x 1时 消费需求量y e I 求需求量 y 与个人收入 x 之间的函数关系 17 智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座 导数的经济学应用 数学 3 http bbs qinjing cc II 求消费者个人收入为 3 时的消费需求量 解 I 设消费者的需求量为 y 消费者的收入为 x 则消费需求量增长率对消费者个人收入增长率之比 即为 y 对 x 的弹性 dyx E x dxy 其平均弹性为 1 E xdy E x xydx 于是得 dy E x dx y 将题设条件代入得 1 0 5 dy dxye y 解此方程得 0 5x yCe 代入初始条件得 Ce 所求函数关系为 0 5x yee II 当 x 3 时的消费需求量为 0 5 32 7 4yeee 3 41 4 60f x yxy 9 设某种产品的产量是劳动力 x 和原料 y 的函数 假定每单位劳动力费用 100 元 每单位原料费用 200 元 现有资金 30000 元用于生产 为得到最多的产品 应如何安排劳动力和原料 解 本 问 题 为 求 函 数 3 41 4 60f x yxy 10020030000 xy 在 条 件100 x 200y 30000下 的 极 值 设 则 解得 x 225 y 37 5 由于 x 225 y 37 5 为函数的唯一驻点 且实际问题有最大值 故它是最大值点 即安排劳动力 225 个单位 原料为 37 5 个单位时 能得到最多的产量 10 某商场的销售成本 y 和存贮费用 s 均是时间 t 的函数 随着 t 的增长 销售成本的变化率等于存贮费 用的倒数与常数 5 之和 而存贮费用的变化率为存贮费用的 3 41 4 60 F x yxy 1 41 4 3 43 4 451000 152000 10020030000 x y Fxy Fxy xy 1 3 倍的相反数 若当 t 0 时 销售成本 y 0 存贮费用 s 10 试求销售成本与时间的函数关系及存贮费用与时间的函数关系 解 由题设 有 18 智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座 导数的经济学应用 数学 3 http bbs qinjing cc 1 5 dy dts 1 3 ds s dt 解微分方程 得 3 1 t SC e 由初始条件 得 0 1 t S 0 1 10C 3 10 t Se 将上式代入 中得 3 1 5 10 t dy e dt 解得 3 2 3 5 10 t yetC 由初始条件 0 ty 0 得 2 3 10 C 3 33 5 1010 t yet 11 某种商品的需求函数是204x 企业的平均成本P 2C x I 若向企业每单位商品征收税款 t 试求其最大利润和税收最大时的 t 值 II 求当征收 25 的销售税时 企业的最大利润 解 I 由题设条件得收入函数 2 204R xPxxx 2C xxC xx 成本函数为 征税后的利润函数为 令 得 2 18 4 18 8 L xR xC xtxt xx L xtx 0L x 18 80 8 t xL x 18 8 t x 是函数 L x 唯一驻点 同时在驻点处 L