2 质点的运动.doc

第二章 质点的运动一、基本概念1质点用来代替物体的有质量的点。（当物体的大小、形状对所研究的问题的影响可以忽略时，物体可作为质点。）2速度描述运动快慢的物理量，是位移对时间的变化率。3加速度描述速度变化快慢的物理量，是速度对时间的变化率。4变化率表示变化的快慢，不表示变化的大小。5注意匀加速直线运动、匀减速直线运动、匀变速直线运动、匀变速曲线运动的区别。二、匀变速直线运动公式1基本公式有以下四个 以上四个公式中共有五个物理量：s、t、a、v0、vt，这五个物理量中只有三个是独立的，可以任意选定。只要其中三个物理量确定之后，另外两个就唯一确定了。每个公式中只有其中的四个物理量，当已知某三个而要求另一个时，往往选定一个公式就可以了。如果两个匀变速直线运动有三个物理量对应相等，那么另外的两个物理量也一定对应相等。例如：在忽略空气阻力的条件下，竖直上抛物体上升、回落过程对照：最小速度、加速度大小、位移大小相同，因此经历时间和最大速度大小一定相同。以上五个物理量中，除时间t外，s、v0、vt、a均为矢量。一般以v0的方向为正方向，以t=0时刻的位移为零，这时s、vt和a的正负就都有了确定的物理意义。如以v0=20m/s竖直上抛小球，经历多长时间到达抛出点下方25m处？这里v0=20m/s，a=-10m/s2，h=-25m，解得t=5s。2匀变速直线运动中几个常用的推论s=aT 2，即任意相邻相等时间内的位移之差相等。可以推广到sm-sn=(m-n)aT 2，某段时间的中间时刻的即时速度等于该段时间内的平均速度。 ，某段位移的中间位置的即时速度公式（不小于该段位移内的平均速度）。3初速度为零（或末速度为零）的匀变速直线运动做匀变速直线运动的物体，如果初速度为零（或者末速度为零），那么公式都可简化为： ， ， ， 以上各式都是单项式，因此可以方便地找到各物理量间的比例关系。由这些公式可推导出初速为零的匀变速直线运动：前1秒、前2秒、前3秒内的位移之比为149第1秒、第2秒、第3秒内的位移之比为135前1米、前2米、前3米所用的时间之比为1第1米、第2米、第3米所用的时间之比为1（）对末速为零的匀变速直线运动，可以相应的运用这些规律。5一种典型的运动A B C a1、s1、t1 a2、s2、t2 vB常常会遇到这样的问题：物体由静止开始先做匀加速直线运动，紧接着又做匀减速直线运动到静止。用右图描述该过程，可以得出以下结论： t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7例1两木块自左向右运动，现用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下木块每次曝光时的位置，如图所示，连续两次曝光的时间间隔是相等的，由图可知A在时刻t2以及时刻t5两木块速度相同B在时刻t1两木块速度相同C在时刻t3和时刻t4之间某瞬间两木块速度相同D在时刻t4和时刻t5之间某瞬时两木块速度相同解：首先由图看出：上边那个物体相邻相等时间内的位移之差为恒量，可以判定其做匀变速直线运动；下边那个物体明显地是做匀速运动。由于t2及t5时刻两物体位置相同，说明这段时间内它们的位移相等，因此其中间时刻的即时速度相等，这个中间时刻显然在t3、t4之间，因此本题选C。本题可以求出各时刻两木块的速度比。例2在与x轴平行的匀强电场中，一带电量q=1.010-8C、质量m=2.510-3kg的物体在光滑水平面上沿着x轴作直线运动，其位移与时间的关系是x0.16t-0.02t2，式中x以m为单位，t以s为单位。从开始运动到5s末物体所经过的路程为_ m，克服电场力所做的功为_J。解：须注意：本题第一问求的是路程；第二问求功，W=Fs中的s是位移。将x0.16t0.02t2和对照，可知该物体的初速度v0=0.16m/s，加速度大小a=0.04m/s2，方向跟速度方向相反。由v0=at可知在4s末物体速度减小到零，然后反向做匀加速运动，末速度大小v5=0.04m/s。前4s内位移大小，第5s内位移大小，因此从开始运动到5s末物体所经过的路程为0.34m，而位移大小为0.30m，克服电场力做的功W=mas5=310-5J。例3一辆玩具小车从水平面上A点由静止开始匀加速运动，运动一段距离到达B点后小车立即开始以2.0m/s2的加速度做匀减速运动，又滑行t=2.0s停在C点。已知A、C两点间的距离s=5.0m。求小车匀加速运动的路程是多大？经历时间多长？加速度是多大？A B C a1、s1、t1 a2、s2、t2 vB解：画出示意图，将已知尽量标在图上，利用此类问题题的结论，由图上做出结论。本题a2=2.0m/s2，t2=2.0s，由此得s2=4.0m，vB=4.0m/s2，于是s1=s-s2=1.0m，t1=0.5s，a1=8.0m/s2。这类题解法很多，但作图分析是最简洁的。 A B vBvA例4物体从A点由静止开始做加速度大小为a1的匀加速直线运动，经时间t到达B点。这时突然改为做加速度大小为a2的匀减速直线运动，又经过时间t回到A点。求a1a2。解：设物体到达B点和返回A点时的速率分别为vA、vB， 利用平均速度公式可以得到vA和vB的关系。再利用加速度定义式，可以得到加速度大小之比。，得a1a2=13特别要注意速度的方向性。平均速度公式和加速度定义式中的速度都是矢量，反向的两个矢量相加要将它们的大小相减；反向的两个矢量相减要将它们的大小相加。O t O ts v三、运动图象1s-t图象。能读出s、t、v 的信息。2v-t图象。能读出s、t、v、a的信息（曲线下的面积表示位移）。v-t图象提供的信息最多，应用最广。t/sv/(ms-1)1 2 310 8 6 4 2 O 例5如图所示的直线和分别表示从同一位置出发向同一方向运动的两个物体的匀加速直线运动的速度图象。它们的初速度各是多大？哪一个的加速度大？经过多长时间它们的速度大小相同？经过多长时间两物体再次相遇？解：由图象直接看出初速度v1=2m/s，v2=4m/s；物体加速度大（a1=4m/s2，a2=2m/s2）；经过1s后速度大小相同（都是6m/s）；经过2s后两物体再次相遇。例6两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶。t=0时两车在同一计时线处，此时比赛开始。四次比赛中的v-t图如图所示。哪个图对应的比赛中，b辆赛车追上了a赛车? 510152025510Obat/sv/(ms-1)510152025510Oabt/sv/(ms-1)510152025510Oabt/sv/(ms-1)510152025510Obat/sv/(ms-1)A B C D解：只有C是b辆赛车追上了a赛车。A图是a辆赛车追上了b赛车。四、运动的合成与分解 1运动的性质和轨迹物体运动的性质由加速度决定（加速度得零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动）。v1 va1 aO v2 a2两个互成角度的匀变速直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动？决定于它们的初速度v0的合速度和合加速度a方向是否共线（如图所示情况v0和a成角度，因此合运动是曲线运动；若图中v1v1v2= a1a2，则v0和a共线，合运动是直线运动）。 常见的运动类型有：a=0：匀速直线运动或静止。a恒定：性质为匀变速运动，分为： v、a共线，匀变速直线运动；v、a成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能达到。）a变化：性质为变加速运动。如匀速圆周运动（加速度大小不变但方向时刻改变）；又如简谐运动（加速度大小、方向都随时间变化）。2过河问题v2v1如右图所示，若用v1表示水速，v2表示船速，则：过河时间仅由v2的垂直于岸的分量v决定，即，与v1无关，所以当v2岸时，过河所用时间最短，最短时间为也与v1无关。v1v2v过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当v1v2时，最短路程为d ；当v1v2时，最短路程程为（如右图，用三角形定则证明）。3连带运动问题指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。v1v1甲乙v2例7如图所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1v2解：甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cos，两者应该相等，所以有v1v2=cos1由此可以分析得出：如果甲做匀速运动，则乙做加速运动。例8两根光滑的杆互相垂直地固定竖直平面内。上面分别穿有一个小球。小球a、b间用一细直棒相连如图。释放后两球都开始滑动。求：当细直棒与竖直杆夹角为时，两小球实际速度之比vavb解：a、b沿杆的分速度分别为vacos和vbsinvavb= tan1五、平抛运动当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动。其轨迹为抛物线，性质为匀变速运动。平抛运动可分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动。广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。1212有关方程：ax=0 vx=vo x=v0 t x=v0 t 注意：y有两种不同的表达式。 ay=g vy=gt y= at2 y= vy t1方格问题ABCDE例9平抛小球的闪光照片如图。已知方格边长a和闪光照相的频闪间隔T，由这两个数据，求：平抛初速度v0、重力加速度g、小球通过C位置的瞬时速度大小vc。解：水平方向： 竖直方向：，得；先求C点的水平分速度vx和竖直分速度vy，再求合速度vC： 讨论：A是开始平抛的时刻吗？若不是，该平抛的开始时刻在A时刻前多少时间？（由和，得开始平抛到C，经历时间是2.5T，因此该平抛的开始时刻在A时刻前T/2。）hHs L v2临界问题例10已知排球场网高H，半场长L，某次扣球点高h，扣球点离网水平距离s、为了使水平扣出的球既不触网、又不出界，求运动员扣球速度v的取值范围。解：假设运动员用速度vmax扣球时，球刚好不会出界，用速度vmin扣球时，球刚好不触网，从图中数量关系可得： ；实际扣球速度应满足： v0vtvxvyhss/3一个有用的推论平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。证明：设时间t内物体的水平位移为s，竖直位移为h，则末速度的水平分量vx=v0=s/t，而竖直分量vy=2h/t， ， 所以有A O Bv0vtv0vyD C例11从倾角为=30的斜面顶端以初动能E=6J向下坡方向平抛出一个小球，求：小球落到斜面上时的动能E是多大？解：以抛出点和落地点连线为对角线画出矩形ABCD，可以证明末速度vt的反向延长线必然交AB于其中点O，由图中可知ADAO=2，由相似形可知vtv0=，因此很容易可以得出结论：E=14J。 h=vyt/2s=v0 th=gt2/2s=v0t本题也能用解析法求解。列出竖直分运动和水平分运动的方程，注意到倾角和下落高度和射程的关系，有： 或 同样可求得vtv0=，E=14Jv0ABCD例12如图所示，内壁光滑的薄壁圆钢管竖直固定在水平地面上。钢管的高为h=5.0m，横截面直径为d=2.0m。一只小球从钢管顶端的A点以初速度v0沿钢管顶面圆的直径方向抛出，运动过程中依次跟钢管内壁的B、C两点相碰（碰撞中没有动能损失，碰撞时间极短可以忽略不计），然后恰好落在底面圆的圆心D处。求：小球从由A点抛出到落在D点所经历的时间t=？初速度v0是多大? A、C两点间的距离L=？（取g=10m/s2）解：该运动相当于由A点平抛直接落地，飞行时间仅由高度决定，；水平位移是5m，因此v0=5m/s；A到C经历的时间是总时间的4/5即0.8s，自由下落3.2m 4曲线运动的一般研究方法研究曲线运动的一般方法就是正交分解。将复杂的曲线运动分解为两个互相垂直方向上的直线运动。一般以初速度或合外力的方向为坐标轴进行分解。 O y/mx/mMv0v13212 4 6 8 10 12 14 16N例 13如图所示，在竖直平面的xoy坐标系内，Oy表示竖直向上方向。该平面内存在沿x轴正向的匀强电场。一个带电小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初动能为4J，不计空气阻力。它达到的最高点位置如图中M点所示。求：小球在M点时的动能E1。在图上标出小球落回x轴时的位置N。小球到达N点时的动能E2。解：在竖直方向小球只受重力，从OM速度由v0减小到0；在水平方向小球只受电场力，速度由0增大到v1，由图知这两个分运动平均速度大小之比为23，因此v0v1=23，所以小球在M点时的动能E1=9J。由竖直分运动知，OM和MN经历的时间相同，因此水平位移大小之比为13，故N点的横坐标为12。小球到达N点时的竖直分速度为v0，水平分速度为2v1，由此可得此时动能E2=40J。六、匀速圆周运动1匀速圆周运动的特点匀速圆周运动是变速运动（v方向时刻在变），而且是变加速运动（a方向时刻在变）。2描述匀速圆周运动的物理量描述匀速圆周运动的物理量有线速度v、角速度、周期T、频率f、转速n、向心加速度a等等。转速n的单位是r/s（转每秒）或r/min