3正交编码与伪随机序列.doc

3. 正交编码与伪随机序列在数字通信中，正交编码与伪随机序列都是十分重要的技术。正交编码不仅可以用作纠错编码，还可用来实现码分多址通信。伪随机序列在误码率测量、时延测量、扩频通信、通信加密及分离多径等方面有十分广泛的应用。3.1. 正交编码一、 几个概念1、 互相关系数设长为n的编码中码元只取+1、-1，x和y是其中两个码组，其中则x、y间的互相关系数定义为如果用0表示+1、1表示-1，则，其中A是相同码元的个数，D为不同码元的个数。2、 自相关系数自相关系数定义为：，其中下标的计算按模n计算。3、 正交编码若码组，（为所有编码码组的集合）满足，则称C为正交编码。即：正交编码的任意两个码组都是正交的。例1：已知编码的4个码组如下：试计算的自相关系数、的互相关系数。4、 超正交编码若两个码组的互相关系数，则称这两个码组互相超正交。如果一种编码中任何两个码组间均超正交，则称这种编码为超正交编码。例2：例1中取后三个码组，且去掉第1位构成的编码为超正交编码。（0，1，1），（1，1，0）（1，0，1）5、 双正交编码由正交编码及其反码便组成双正交编码。例3：正交编码（1，1，1，1）（1，1，0，0）（1，0，0，1）（1，0，1，0）反码为（0，0，0，0）（0，0，1，1）（0，1，1，0）（0，1，0，1）双正交码中任意两个码组间的互相关系数为0或-1。二、 哈达玛矩阵哈达玛矩阵的行、列都构成正交码组，在正交编码的构造中具有很重要的作用。哈达玛矩阵的构成：2阶哈达玛矩阵4阶哈达玛矩阵哈达玛矩阵的所有行之间互相正交，所有列之间互相正交。哈达玛矩阵经过行列交换后得到的矩阵仍然正交，沃尔什矩阵可以通过哈达玛矩阵按交变的次数排列顺序构成。例4：3.2. 伪随机序列伪随机序列的应用：通信系统的测试、保密通信、扰码等。伪随机序列的产生：m序列、M序列、GOLD序列等。3.2.1. m序列一、 m序列的产生1、 最长线性反馈移位寄存器序列m序列是最长线性反馈移位寄存器序列的简称，它是由带线性反馈的移位寄存器产生的周期最长的序列。举例说明：图1A： 图1B初始状态： 1000 10001100 11001110 0110 1111 1011 0111 01011011 0010 0101 0001 1010 100011010110001110010100001000011000 可以看到图1A的输出的周期为15，除去全0外，图1A的输出是周期最长的的序列。我们希望尽可能少的级数产生尽可能长的序列。一般说来，一个n级反馈移存器可能产生的最长周期为。反馈电路如何连接才能输出序列最长？是本节要讨论的问题。2、 m序列的特征方程移存器的结构用特征方程表示：3、 m序列的递推方程4、 m序列的母函数5、几个有用的定理用来构造m序列定理一、，其中为次数低于的次数的多项式。证明： 得到如下关系：可以看到，的次数小于n。当电路给定后，只取决于初始状态。定理二、一n级线性反馈移位寄存器的相继状态具有周期性，周期为。证明：反馈寄存器状态取决于前一状态，因此只要产生的状态与前面某一时刻相同，则以后的状态肯定是循环的，因此具有周期性。移存器一共有n个，因此只有种组合，因此经过它的周期最大为。而在线性结构中，全0状态的下一状态为0，因此在长周期的序列中，寄存器状态不应该出现全0，因此寄存器状态周期。定理三、若序列具有最长周期，则其特征多项式应为既约多项式。证明：用反证法。若则：且有的次数满足。可以将上述序列看成2个序列的和，因此他们的周期分别为，根据定理二，不是最长序列。定理四、一个线性移位寄存器的特征多项式若为既约的，则由其产生的序列的周期等于使能整除的最小正整数p。证明：经整理后，得到因此，是的因子，即周期为p的序列的f整除能。反之，若能整除，令其商为则因为为既约的，因此序列的长度与初始状态无关，取初始状态为000.1周期为p。5、 本原多项式若一个n次多项式满足如下条件：（1）、是既约的（2）、可整除，（3）、除不尽，则称为本原多项式。由本原多项式产生的序列一定是m序列。二、 m序列的性质1、 均衡性在m序列的一个周期中，“0”“1”的数目基本相等。“1”比“0”多一个。2、 游程分布游程：序列中取值相同的那些相继的元素合称为一个“游程”。游程长度：游程中元素的个数。m序列中，长度为1的游程占总游程数的一半；长度为2的游程占总游程的1/4，长度为k的游程占总游程数的。且长度为k的游程中，连0与连1的游程数各占一半。如上例：000111101011001，000111101011001游程总数：k=4 1；k=3 1；k=2 2；k=1 4游程的分布与随机序列的分布一致。3、 移位相加特性一个m序列与其经任意延迟移位产生的另一不同序列模2相加，得到的仍是的某次延迟移位序列，即。如果将m序列的所有移位码组构成一个编码，则该编码一定是线性循环码，由于线性循环码的特性可以得到上述的性质。4、 自相关函数周期函数的自相关函数定义为：，式中是的周期。定义序列的自相关函数为 m序列的自相关函数：由m序列的性质，移位相加后还是m序列，因此0的个数比1的个数少1个。所以，当时，连续的表示见图10-4。5、 功率谱密度对上述自相关函数进行傅立叶变换，得到m序列的功率谱密度：当，可以看到m序列的噪声功率谱密度为近似白噪声功率谱。6、 伪噪声特性如果我们对一个正态的白噪声进行采样，若取样值为+，则记为1，为-记为0，则构成一个随机序列，该随机序列有如下性质：（1） 序列中0、1个数出现概率相等（2） 序列中长度为1的游程占1/2，长度为2的游程占1/4，且长度为k的游程中，0游程与1游程个数相同。（3） 该序列的噪声功率谱为常数。可见，m序列的性质与随机噪声相似，因此称为伪随机序列。真正的随机序列是不可重复的，伪随机序列可以任意地重复。三、 其他伪随机序列1、 二次剩余序列2、 M序列3.3. 伪随机序列的应用一、 误码率测量在数据通信中，经常要测试通信系统的性能。误码率是通信系统的主要质量指标，通信系统的性能往往与信源的统计特性有关。通常认为信源的0、1是等概出现的。误码率的测量框图如下所示：（结合系统的仿真）环路测试：单向测试：二、 时延测量时延测量在许多领域中都十分有用：如地底深度探测、无线测距等。时延测量的一般思路：周期脉冲测量法。产生窄周期脉冲，时延线的精度，发送功率。时延测量的m序列应用：用m序列代替周期脉冲，用相关器代替时延比较器。测量方法的精度取决于m序列的码片时间。三、 噪声产生器测量通信系统的性能时，经常需要使用噪声产生器，由它给出具有所要求的统计特性和频率特性的噪声，并且可以随意控制其强度，以便得到不同的信噪比条件下的系统性能。四、 通信加密五、 数据序列的扰乱与解扰扰码的目的是使信源的0、1分布等概。六、 扩展频谱通信仙农定理告诉我们：可以用带宽换信噪比，即在低信噪比的情况下，可以通过增加带宽的应用来进行无误的传输。可以有3种方法实现带宽的扩展：1、 直接序列调制扩频直接序列调制扩频的原理框图如下：它用比信息速率高得多的序列去调制信息序列，从而改变整个信号的带宽。在接收端通过调制序列的相关性达到解调的目的。实际上它等效于一种正交编码。2、 跳频发射机的发射频率根据一定的规则随机地在一定范围内变化。3、 Chirp调频（线性调频，连续调频）由于扩频通信采用宽频带的技术来传输信息，它具有抗窄带干扰、信号功率低隐蔽性强、抗衰落能力强的特点，因此在无线领域、军用领域得到了广泛的应用。七、 分离多径技术3.4. 直接序列扩频一、 系统组成直扩系统的框图如下：各点的频谱关系如图示。二、 处理增益和抗干扰性令伪码的速率为，的速率为。扩频系统的处理增益定义为：、分别是扩频系统解扩器的输出信噪比和输入信噪比。（一） 白噪声干扰因为白噪声的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，在接收机与本地振荡相乘后，噪声的功率谱密度分布不变，而信号经过相关解扩后变成了窄带信号。通过中频滤波器后，信号的功率不变，而噪声的功率却显著减少（带宽变小）。此时，解扩器的输入输出信噪比关系如下：称为扩频因子（扩频倍数）。（二） 单频干扰和窄带干扰单频干扰经过解扩后，相当与是进行