第08讲 一元一次方程的应用(1)w.doc

第七讲 一元一次方程的应用（1）知识方法扫描 应用题是数学竞赛题中的热门题型,它涉及的数学知识较多,综合性强,解法灵活,是开发学生智力,增强应用数学意识,培养学生分析解决问题的能力、逻辑思维能力和创造能力的好素材。解决数学应用题的关键是从实际的数学问题中抽象出数学模型，把反映实世界的实际问题转化为数学问题目来解决，不要局限于几种题型。1、直接设未知数。 应用题往往题目较长，要读懂题意，找出已知和末知，紧抓题目中的等量关系，直接设末知数，通过等量关系列出方程或方程组，从而解决问题。2、设间接未知数。 有些应用题，直接设末知数不易求解，则可以采取间接设末知数的方法。即所设的不是所求的，但与所求的末知量有一定的联系，求出些量后，便能顺利地求出题目中的末知量，这样可以使解题更加方便。3、设辅助未知数。 应用题目涉及的类型很多，有些比较复杂的问题，设直接或间接未知数都很难解决，而此时设辅助未知数，依题意就能列出方程或方程组，从而解决问题目。辅助末知数起着桥梁的作用，设了这个辅助未知数，但并不一定求它，往往是直接相约或相消，有时要经过变形才能消法，即“设而不求”。4、图形、表格分析法。有些复杂的应用题，已知量、末知量较多，而且它们之间的关系又较为复杂，通过构造图形、表格能直观地反映已知、末知及它们之间的相互关系，从而很轻松地解决问题。5、整体思想。若把几个未知量看作一个整体，从整体的角度来考虑问题，可以减少未知量的个数，能达到化繁为简和目的。经典例题解析例1. （1999年重庆市初二数学竞赛决赛）一个工程队承包甲、乙两项工程，甲工程工作量是乙工程工作量的两倍。前半个月全体工人都在甲工地工作，后半个月工人分成相等的两组，一组仍在甲工地工作，另一组到乙工地工作。一个月后，甲工程完成，而乙工程的剩余量刚好够一个工人一个月的工作量。如果每个工人的工作效率都相同，问这个工程队有多少工人？解. 设这个工程队有x个人，每个人每月的工作量为1，则甲工地工作量为，而乙工地工作量为。依题意，得 ， 解得 x=8。答：这个工程队有8个工人。例2（1990年上海初中数学竞赛试题）某人走进一家商店，进门付1角钱，然后在店里购物花掉当时他手中钱的一半，走出商店又付1角钱，之后，他走进第二家商店付1角钱，在店里花掉当时手中钱的一半，走出商店付1角钱，他又走进第三家商店付1角钱，在店里花掉当时他手中钱的一半，出店付1角钱，最后，他走进第四家商店付1角钱，在店里花掉当时他手中钱韵一半，出店付1角钱，这时他一分钱也没有了，该人原有钱的数目是 角解.设该人原有钱x角，他在进第二家商店前花掉了角，剩下角；他在进第三家商店前花掉了角，剩下角；进第四家商店前剩下角，因在第四家商店后一分钱也不剩了，故解得（角）评注：本题可以逆推出结果，因在第四家商店购物花掉当时的一半钱后，只剩一角钱，故在进第四家商店前只剩1+21=3角钱，依此逆推得结果，例3. （2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛试题）一罐咖啡甲乙两人一起喝10天喝完，甲单独喝则需12天喝完；一斤茶叶两人一起喝12天喝完，乙单独喝则需20天喝完。假设甲在有茶叶的情况下决不喝咖啡，而乙在有咖啡的情况下决不喝茶。问两人一起喝完一斤茶叶和一罐咖啡需要多少天？ ，解. 设乙单独喝咖啡要x天喝完，甲单独喝茶要y天喝完,则有，。解得x=60,y=30.故30天后，甲喝完茶叶而乙只喝掉半罐咖啡，剩下半罐咖啡两人同喝要5天喝完，故共需35天。例4. （第13届“五羊杯”初中数学竞赛试题初一试题）中学生运动会五羊赛区男女运动员比例为19：12。组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员比例变为20：13；后来又决定增加男子象棋项目，于是这个比例再变为30：19。已知男子象棋运动员比女子艺术体操运动员多30人，那么最后运动员总人数为（ ）（A）7000 （B）6860 （C） 6615 （D）6370解 男女运动员比例从 19：12=380：240变为20：13=380：247；再变为30：19=390：247，于是可设男运动员原有380x人，女运动员原有240x人；那么最后男女运动员人数变为390x人和247x人,依题意得（390x-380x）- ( 247x-240x) = 30解得 x=10,所以最后运动员总人数为（390+247）10=6370故选D。例5 （第7届“希望杯”数学邀请赛试题）在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新盐水，它的浓度为20%，又在新盐水中加入与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后，盐水浓度变为%那么原来盐水浓度为( ) (A)23% (B)25% (C)30% (D)32%解设原盐水重量为a，浓度为x，则原盐水含盐量为ax，并设“一杯水”的重量为b，原盐水加入“一杯水”后，浓度为依题意得：即第二次是在新盐水中加盐，所加盐的重量为b，这时，浓度为由得，由得代人式，例6 （“华罗庚杯”初一数学竞赛试题）10入围成一圈，每个人心里想个数，并把这个数告诉左右相邻的两个人，然后每个人把左右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来，如图所示，问亮5的人心中想的数是多少？ 分析 本题中的等量关系为：亮5的人心中想的数十亮13的人心中想的数=142解：设亮5的人心中想的数是x，那么 亮7的人心中想的数+6）= 6 则亮7的人心中想的数=62-x，即为12-x以此类推，亮9的人心中想的数是82-(12-x)，即为4+x；亮11的人心中想的数是102-(4+x)，即为16 -x;亮13的人心中想的数是122-（16-x），即为8+x，依等量关系列方程为：解得x=l0.答：亮5的人心中想着的数是10.例7 (1997年第八届“希望杯”数学邀请赛试题)有一满池水,池底有泉总能均匀地向外涌流,已知用24部A型抽水机6天可抽干池水,若用21部A型抽水机8天可抽干池水,设每部抽水机单位时间的抽水量相同,要使这一池水永抽不干,至多只能用几部抽水机抽水?解. 设满池水为v升,每天泉水产生a升,用n部A型抽水机,则,解得a=,每天每部抽水机的抽水量为升,因而 即至多只能用12部抽水机抽水。例8（2004年江苏省第十九届初中数学竞赛试题）若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同。如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕。现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的.问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？ （2）参加装卸的有多少名工人？解（1）设装卸工作需小时完成，则第一人干了小时，最后一个人干了小时，两人共干活小时，平均每人干活小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，平均每人干活的时间也是小时。 据题设，得，解得（小时）.（2）共有人参加装卸工作，由于每隔小时增加一人，因此最后一人比第一人少干小时，按题意，得，即. 解此不定方程得，即参加的人数或3或4或5或7或13.原版赛题传真The admission price per child st an amusement park is of the admission price per adult. If the admission price for 6 adults and 3 children is 276, then the admission price per adult is ( )(A) 24 (B) 32 (C) 36 (D) 40 (admission price 入场费，门票; amusement park 游乐园 )同步训练一 选择题1（2004太原市初中数学竞赛试题）有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等(如图)，则白皮的块数是().（A）22（B）20（C）18（D）161B设白皮有x块，则黑皮有32-x块，因黑皮为正五边形，故黑皮共有边数为5(32-x)条，又因每块白皮有三条边和黑皮连在一起，所以黑皮共有边数还可表为3x条，由此得方程：5(32-x)=3x，解之得白皮有x=20(块).2（2003年第8届全国中小学生数学公开赛试题）李飒的妈妈买了几瓶饮料，第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李飒招待来家中做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李飒索性又喝了第二天所剩的饮料的一半零半瓶. 这三天，正好把妈妈买的全部饮料喝光，则妈妈买的饮料一共有（ ）（A）5瓶 （B）6瓶 （C）7瓶 （D）8瓶2C 3（2005年全国初中数学联赛山东赛区预赛曁2004年山东省初中数学竞赛试题）某商店出售某种商品每件可获利m元，利润率为20%(利润率=)若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元，则提价后的利润为( )(A) 25% (B) 20% (C) 16% (D) 12.5%3. C设提价后的利润为x%, 则，x=164（2000年全国初中数学竞赛试题）甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）(A) 甲比乙大5岁 (B) 甲比乙大10岁 (C) 乙比甲大10岁 (D) 乙比甲大5岁4. B 设甲与乙的年龄差为k岁,甲年龄x岁, 乙年龄y岁,则x-y=k, y-10=k, 25-x=k,则k=55（1993年四川省初中数学联合竞赛决赛）某商店若将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价应是（ ）元。A2150B2200 C2250 D23005 C设每台彩电原价为x元，依题意，有x(1+40%)80%-x=270，解得x=2250。二 填空题6（2000年全国初中数学联赛）某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润率增加8个百分点。那么经销这种商品原来的利润率是 6 17%设原进价为x，原利润率为y。根据题意，得 （1+y）x-(1-6.4%)x=(y+8%)(1-6,4%)x.解得 x=17%所以经销这种商品原来的利润率是17%。7（2001年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题）有两部自动换币机，第一部能将一枚硬币换成二枚其他硬币；第二部能将一枚硬币换成五枚其他硬币，某人进行了14次换币，将一枚硬币换成了42枚硬币，则他在第一、第二部换币机上分别换了、次。7. 5、9设第一部换币机换了x次，则第二部换币机换了14-x次 第一部换币机换一次增加一枚硬币，第二部换币机换一次增加四枚硬币 所以 1+x+4 (14-x)=42 解得：x=5 14-x=9 所以第一部换币机换了5次，则第二部换币机换了9次8(2000年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题)在一次有1000人参加的入学考试中，录取了150人，录取者的平均成绩与未录取者的平均成绩相差38分，全体考生的平均成绩是55分，已知录取分数线比录取者的平均成绩少7.3分，那么录取分数线是 分。8. 80设录取者的平均成绩为x分，则未录取者的平均成绩为（x-38）分 ，则x=87.3. 所以录取分数线是87.3-7.3=809(1988年上海初一数学竞赛试题)已知四个数的和为64，若第一数加3，第二数减3，第三数乘以3，第四数除以3所得的结果均相同，则这相同的结果是_9. 12设相同的结果为x，则四个数分别为：解之得10（大连市“育英杯”初中数学竞赛题）一商店以每3盘16元钱的价格购进一批录音带，又从另外一处以每4盘21元钱的价格购进比前一批数量加倍的录音带，如果以每3盘k元的价格全部出售可得到所投资20%的收益，则k值是( )(A) 17 (B) 18 (C) 19 (D) 2010. C设商店第一次购进a盘录音带，则第二次购进2a盘录音带，依题意得：化简后得： k=19.三 解答题11（2003年全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）一个有弹性的小球从A点下落到地面，弹起到B点后又下落到期高为20厘米的平台上，再弹起到C点，最后落到地面，每次弹起的高度都是落下高度的80%，已知A点离地面比C点离地面高出68厘米，求C点离地面的高度。11. 设C点离地面的高度为x米，则即，解之得：x=13212（2003年重庆市初中数学决赛试题）下表是某学校参加一次数学竞赛中参赛同学做对题目的情况记录表，第一行的值表示做对的题目的题数，第二行的值表示做对相应题目的同学人数。做对的题数同学人数对此次竞赛的情况有如下统计：（）本次竞赛共有道题目；（）做对题和题以上的同学每人平均做对题；（）做对题和题以下的同学每人平均做对题；问：参加本次竞赛的同学共有多少人？12. 解：设共有x名同学参加了本次竞赛。做对3题和3题以上的人数为x-(1+3)=x-4, 那么，所有同学做对6(x-4)+11+23=6x-17题；做对10题和10题以下的人数为x-(1+1)=x-2, 那么，所有同学做对5(x-2)+111+121=5x+13题。又做对的总题数相等，所以6x-17=5x+13.解这个方程得 x=30.答：共有30名同学参加了本次竞赛。13(2002年第13届“希望杯”数学邀请赛试题) 为鼓励居民用电，某市电力公司规定了如下电费计算方法： 每月用电不超过100度，按每度电0. 50元计费； 每月用电超过100度，超出部分按每度电0. 40元计费 (1)若某用户2002年1月交电费68. 00元，那么该用户1月份用电多少度？ (2)若某用户2002年2月平均每度电费0. 48元，那么该用户2月份用电多少度？应交电费多少元？13. (1)100度电的电费为0.50100=50（元）， 又 6850, 所以该用户1月份的用电量超过了100度，超出部分为：45（度）。 因此，该用户1月份共用电100+45=145(度) (2)设该用户2月份用电x度，则应交电费0.48x元因为2月份平均每度电交0.48元电费， 所以2月份用电量超过100度， 根据题意列方程，得0. 50l00+0.40(x-100)=0. 48x， 解得 x=125(度)， 即0.48x=0.48125=6000（元）答：该用户1月份用电145度，2月份用电125度，应交电费6000元14. （2001年第 8届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛） 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水4吨以下，每吨1.80元当超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户用水量之比为5:3，共交水费26.40元问甲、乙两