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专题二 行列式专题二 行列式(Chapter 02 Determinant)教学目标:掌握行列式的定义,性质,并能熟练计算行列式的值,熟悉克莱姆法则.一.复习1.排列1由1,2,组成的一个有序数组称为一个级排列.在一个排序中,如果一个大数排在一个小数之前,则称这两个数组成一个逆序,一个排列中的逆序总数称为该排列的逆序数.排列的逆序数用表示.逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.2把一个排列的某两个数互换位置,而其余数不变,得到另一个排列,这样的变换称为对换.定理:对换改变排列的奇偶性.定理:任意一个n级排列与1,2,都可以经过一系列对换互变,并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.2.级行列式1定义:级行列式等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和,这里是1,2,的一个排列,每一项按下列规则带有符号:当是偶排列时带有正号；当是奇排列时带有负号.即.2基本性质:1)行列式和它的转置行列式相等.2)（加法定理）如果行列式的某一行(或列)的所有元素都是两个数之和,则此行列式等于两个行列式的和,这两个行列式的这一行(或列)的元素分别为对应于两个加数之一,其余行(或列)的元素与原行列式相同.3)行列式中若有两行(或列)其对应元素成比例,则这个行列式等于零.4)（对换变换）行列式的两行(或列)互换,行列式变号.5)（数乘变换）数乘行列式,等于用该数乘行列式的任意一行(或列).6)（倍加变换）将行列式某行(或列)的倍加到另行(或列),其值不变.3按行(或列)展开原则在行列式中划去元所在行和列,余下的元依原来位置构成的行列式称为元的余子式,记作.=称为元的代数余子式.4拉普拉斯定理:设在行列式中任意取定了(1-1)个行.由这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式.行列式乘法定理:设两个行列式和的乘积等于一个级行列式.其中是的第行元素分别与的第列的对应元素乘积之和:.3.克莱姆法则1定理:线性方程组当其系数行列式时有唯一解,且可表示为,其中(=1,2,)是将行列式中第列元素换成常数项,其余元不变而得到的行列式.2定理:元个方程式的线性齐次方程组有非零解的必要条件是其系数行列式等于零.二.习题1.计算.分析:该行列式有两个特点:1）每列主对角线下方的元素相同；2）各行元素之和相等.故利用性质降各列都加到第一列上,提公因子,再利用性质化为三角形.解:.2.计算().分析:该行列式的特点是:非零元素分布在第一行、列及主对角线上,成“爪”形分布.可借助于主对角线上元素利用倍加变换将第一行（或列）变为零,即可.解:.3.=?.分析:将行列式看作的多项式,按第一行展开可知是的至多二次多项式.当有两个相等时,行列式为零.不妨设互不相等,显然为此多项式的三个根,矛盾.所以=0.4.计算.分析:与范德蒙行列式类似,但缺行(),构造行列式则即是的一次项系数的相反数.解:=.的系数为,则=.5.已知4阶行列式的第4行元素分别为,第3行元素对应的余子式依次为,求的值.(武汉理工2002考研题5分)解:第3行元素对应的代数余子式应该依次为,于是,由此求得.6.设均为4阶方阵, ,均为4维列向量,计算.(武汉理工2002考研题5分)解:.7.设为3阶实方阵,是元素的代数余子式,若,求.(武汉理工2002考研题10分)解:,又,所以.又由于,有,所以.8.计算行列式(武汉大学2002考研题).解:=+=+=+=.9.设2,是关于的次数-2的多项式,为任意数,证明.举例说明条件“次数-2”必不可少.证：设,则=0.条件“次数-2”必不可少.反例如下：相不相同,但10.设都是整数,证明0.证：因为中只有一项为奇数,其余各项全为偶数,所以,从而.11.如果行列式的每行元素和为0,每列元素和也为0,证明它的所有元素的代数余子式彼此相等.证：由于.下证.各行加到第一行有：将第一行与相邻行依次交换,共交换-1次变为=.12.设是阶非零实方阵,满足,证明0.证：设,即至少有一个元素.=