Measure Theory.doc

测度论测度论是研究一般集合上的测度和积分的理论。它是勒贝格测度和勒贝格积分理论的进一步抽象和发展，又称为抽象测度论或抽象积分论，是现代分析数学中重要工具之一。 测度理论是实变函数论的基础。定义测度理论是实变函数论的基础。 测度论所谓测度，通俗的讲就是测量几何区域的尺度。 我们知道直线上的闭区间的测度就是通常的线段长度； 平面上一个闭圆盘 的测度就是它的面积。 定理形成纵观勒贝格积分和勒贝格斯蒂尔杰斯积分理论，不难发现它们都有三个基本要 素。第一，一个基本空间（即 n维欧几里得空间R）以及这个空间的某些子集构成的集类即L（勒贝格）可测集或某LS（勒贝格-斯蒂尔杰斯）可测集全体，这个集类对集的代数运算和极限运算封闭。第二,一个与这个集类有关的函数类（即L可测函数或某L-S可测函数全体）。第三,一个与上述集类有关的测度（即L测度或某L-S测度）。在三个要素的基础上，它们都是运用完全类似的定义和推理过程获得完全类似的一整套测度、可测函数、积分的定理（见勒贝格积分、贝尔函数）。测度论正是基于这些基本共同点所形成一般理论一般定义对于更一般的集合，我们能不能定义测度呢？ 比如直线上所有有理数构成的集合，它的测度怎么衡量呢？ 一个简单的办法， 就是先在每个有理点上找一个开区间覆盖它，就好比给它带个“帽子”。因为有理数集是可列集（就是可以排像自然一样排好队，一个个数出来，也叫可数集，见集合论），所以我们可以让第n个有理数上盖的开区间长度是第一个有理数（比方是1）上盖的开区间长度的2n分之一。 这样所有那些开区间的长度之和是个有限值（就是1上的开区间长度的2倍）。 现在我们让1上的开区间逐渐缩小趋向于一个点，那么所有区间的总长度也相应缩小，趋向于长度0。 这样我们就说有理数集的测度是0。 用上面这种方法定义的测度也叫外测度。 一个几何区域有了测度，我们就可以定义上面的函数的积分，这是推广的黎曼积分。 比如实数上的狄利克雷函数D(x)=1(如果x是有理数)，0（如果x是无理数）。 如果按照通常的理解，我们发现狄利克雷函数在整个数轴上的定积分不存在；但是按照上面讲的有理数的测度，我们就可以求出它的定积分是0。 实直线上的测度如下给出： 设E是实数集，考虑可数个区间(aj,bj)满足对任何xE,都有某个j,使得x(aj,bj);考虑所有情形下和(b1-a1)+(b2-a2)+.的下确界称为E的外测度 如果对任何集合F都有EF和FE的外测度之和等于F的外测度，称E可测，定义其测度等于外测度 直观含义上面的朋友已经解释过了数学定义测度的相关数学定义： 集函数：设是上的非空集合类。若对于每个一个A,都有一个实数或者之一与之对应(为确定起见，下面假定只取+)，记为(A)，且至少有一个A,使得(A)取有限值，称(A)为定义在上的集函数。 (1)若对任意的正整数n以及任意的Ai，i=1，2，n，AiAj=Ø(ij)，且(A1A2AiAn)，有 (A1A2AiAn)=(A1)(A2)(Ai)(An)， 则称在上具有有限可加性，也称是上的有限可加集函数。 (2)若对可列集的Ai，i=1，2，n，AiAj=Ø(ij)，且(A1A2AiA)，有 (A1A2AiA)=(A1)(A2)(Ai)(A)， 则称在上具有完全可加性或者-可加性，也称是上的-可加集函数或者广义测度。 (3)若对每一个A，(A)都取有限值，则称为上的有限集函数。如果对每一个A，存在一个集合序列，使得 A(A1A2AiA)，(An)，那么称为E上关于(,)的可测函数，也称为E上的)可测函数。这种可测函数是L可测函数、L-S可测函数等概念的直接推广。它有许多等价定义方式,并且具有L可测涵数所具有的代数性质及极限性质。定义在E上的复值函数，如果它的实部、虚部都是可测函数，那么就称为E上的可测函数。可测空间、可测集、以及可测函数等概念原则上并不涉及测度。测度和测度空间设是非空集,E是上的集类,定义在E上的函数称为集函数（因为自变元是属于E，它是的子集 式）。设R是上的环，是定义在R上的取非负的广义实值(可以取值+)的集函数，如果满足：()=0(是空集)；(可列可加性)对任何一列互不相交的 AnR(n=1,2,),并且：式 式，有：式=，则称为环R上的测度。设(,)是一个可测空间,是定义在上的测度,则称(,),)是测度空间。特别,(R1,L,m)及(R1,Lg,mg)分别称为（直线上的）L测度空间和L-S 测度空间。测度空间(,)中的测度 除了平移、反射不变性以及余集(因为 X可能不在S中）的性质外,具有勒贝格测度m的其他性质。由于是环,对集的极限运算封闭，所以测度空间是建立具有良好的极限性质的积分的基础。 设A是可测空间(，)中可测集。如果有一列可测集An,(An)(n=1,2,)，使得：式，则称 式A为有限集。如果)中一切集都是有限的,则称(,),)是有限的测度空间。特别，当是代数且是有限集时,称(,),)为全有限测度空间。通常分析数学中所用的具体的(,)，)大都是全有限测度空间。 设测度空间(,),)中的)是代数,如果()0，式， 式上述两种收敛的关系是和L测度的情形一样。此外,在测度空间上也成立叶戈罗夫定理:设E上可测函数列n几乎处处收敛于可测函数，并且(E)0，必存在可测集E嶅E,使得(EE),且n在E上一致收敛于。类似于L测度的情形，在测度空间上也可引入度量基本序列（或依测度基本序列），并成立相应的完备性定理。 积分和积分平均收敛同 L积分建立过程完全一样，可以建立测度空间上的积分概念,只要将那里的测度m换成现在的即可。L积分所具有的大部分性质对一般的测度空间上的积分也是成立的。在测度空间中也有积分平均收敛,平方平均收敛或更一般的p次平均收敛的概念以及相应的性质。 环上测度的延拓对积分来说，采用关于集的极限运算不封闭的环上的测度是不够的,有用的是环上的测度。然而由于环的结构比环的结构要简单得多,所以在环上给出一个测度或验证环上的某个非负集函数是否是测度往往比在 环上要简单得多。自然就产生定义在环R上的测度是否一定能延拓成包含R的最小环(R)上的测度的问题。测度论中证明了如下重要定理：任何环上的 有限测度必可惟一地延拓成包含它的最小 环上的 有限测度。测度论出版信息作者: 霍尔姆斯 出版社: 世界图书出版公司 出版年: 2007-2 页数: 304 定价: 39.00 元 装帧: 平装 ISBN: 9787506282741 英文简介My main purpose in this book is to present a unified treatment of that part of measure theory which in recent years has shown itself to be most useful for its applications in modern analysis. If I have accomplished my purpose, then the book should be found usable both as a text for students and as a source of reference for the more advanced mathematician. I have tried to keep to a minimum the amount of new and unusual terminology and notation. In the few places where my nomenclature differs from that in the existing literature of measure theory, I was motivated by an attempt to harmonize with the usage of other parts of mathematics. There are, for instance, sound alg