南京航空航天大学《高等数学》113幂级数.pdf

进一步要来研究函数项级数问题进一步要来研究函数项级数问题 对一般的函 数项级数 只介绍一些基本概念 不作详细讨 论 仅讨论一类特殊常见的最简单的函数项级 数 对一般的函 数项级数 只介绍一些基本概念 不作详细讨 论 仅讨论一类特殊常见的最简单的函数项级 数 幂级数 主要研究它的收敛问题 3 及怎样将一个 函数用幂级数表示 4 问题 幂级数 主要研究它的收敛问题 3 及怎样将一个 函数用幂级数表示 4 问题 前面我们介绍了常数项级数的概念及审敛法前面我们介绍了常数项级数的概念及审敛法 函数项级数的有关概念函数项级数的有关概念 幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性 幂级数的运算幂级数的运算 一 函数项级数的有关概念 一 函数项级数的有关概念 1 定义 1 定义 上的称为定义在区间 则 设 上的称为定义在区间 则 设 I xuxuxuxu nIxxu n n n n 1 2 1 21 1 级数无穷函数项级数无穷函数项 1 1 132 1 1 132 就是一个函数项级数 则 例如 就是一个函数项级数 则 例如 n n n n xxxxx xxxxx 2 收敛点与收敛域 2 收敛点与收敛域 如果数项级数如果数项级数 1 0 n n xu收敛 收敛 则称则称 0 x为级数为级数 1 xu n n 的的收敛点 收敛点 否则称为否则称为发散点发散点 所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域 函数项级数函数项级数 1 xu n n 的所有收敛点的全体称为的所有收敛点的全体称为收敛域收敛域 2 1 002010 xuxuxuIx n 级数取级数取 数项级数数项级数 级数发散 级数收敛 11 xx 1 1 1 x发散域收敛域发散域收敛域 1 1 n n x对于对于 lim xsxsx n n 有收敛域 有收敛域 函数项级数的部分和函数项级数的部分和 余项余项xsxsxr nn x在收敛域上在收敛域上 0 lim xrn n 3 和函数 3 和函数 21 xuxuxuxs n 在收敛域上 函数项级数的和是在收敛域上 函数项级数的和是x的函数 的函数 xs 称 称 xs为函数项级数的为函数项级数的和函数和函数 定义域是定义域是 xsn 函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题 实质上 是数项级数的收敛问题 实质上 是数项级数的收敛问题 3 和函数 3 和函数 注 1 1 1 1 1 1 x x x n n 和函数 和函数 0 0 0 1 0 1 1 lim 1 1 故级数的收敛域为 级数发散 散 级数发散 即 级数收敛 即 故级数的收敛域为 级数发散 散 级数发散 即 级数收敛 即 n x x x nx xn n nx xe xe e ne en 的收敛域求的收敛域求 1n nx ne例例1 解解 1 定义 1 定义 形如形如 n n n xxa 0 0 3 的级数称为的级数称为幂级数幂级数 4 0 0 0 n n n xax时当时当其中其中 n a为幂级数系数为幂级数系数 二 幂级数及其收敛性二 幂级数及其收敛性 4 4 3 0 即可只须研究的形式变为令即可只须研究的形式变为令 txx 是它的收敛点显然的幂级数形如是它的收敛点显然的幂级数形如0 4 x注 2 收敛性 2 收敛性 1 2 0 xxx n n 例如级数例如级数 1收敛时当收敛时当 x 1发散时当 发散时当 x 1 1 收敛域 收敛域 1 1 发散域 发散域 0 不考虑端点为中心的对称区间收敛域是以观察 幂级数都成立呢这一事实是否对一切的 幂级数都成立呢这一事实是否对一切的 定理回答是肯定的由下列阿贝尔定理回答是肯定的由下列阿贝尔Able 定理 1定理 1 Abel 定理 Abel 定理 如果级数如果级数 0n n n xa在在 0 00 xxx处收敛 则 它在满足不等式 处收敛 则 它在满足不等式 0 xx 的一切 的一切 x处发散 处发散 0lim 0 证明证明 n n n xa 1 0 0 收敛收敛 n n n xa 2 1 0 0 nMxa n n 使得使得 M n n n n n n x x xaxa 0 0 n n n x x xa 0 0 n x x M 0 1 0 时当 时当 0 0 0 1011 1 n n n n n n xa xaxxx 这与已知条件矛盾这与已知条件矛盾 x o R R发散区域发散区域发散区域发散区域 几何说明几何说明 收敛区域收敛区域 0 1 00 0 0 0 0 xxxxaxxa n n n n n n 收敛收敛若由定理 内能交错出现在同一区间即发散点与收敛点不可内能交错出现在同一区间即发散点与收敛点不可 0 00 0 0 0 0 xUxxxaxxa n n n n n n 散发发散若 敛点之间发散点不能在原点与收 敛点之间发散点不能在原点与收 发散收敛使得 分界点间一定收敛区间与发散区间之因此 发散收敛使得 分界点间一定收敛区间与发散区间之因此 RxRRRx 0 0 如果幂级数如果幂级数 0n n n xa不是仅在不是仅在0 x一点收敛 也 不是在整个数轴上都收敛 则必有一个完全确定 的正数 一点收敛 也 不是在整个数轴上都收敛 则必有一个完全确定 的正数R存在 它具有下列性质 存在 它具有下列性质 当当Rx 时时 幂级数发散幂级数发散 当当RxRx 与 与时 幂级数可能收敛也可能发散 时 幂级数可能收敛也可能发散 推论推论 定义定义 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间 0 R RR RR RR 规定规定 R 收敛区间收敛区间0 x 收敛区间收敛区间 问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径 RR 1 幂级数只在幂级数只在0 x处收敛处收敛 2 幂级数对一切 2 幂级数对一切 x都收敛 都收敛 定理 2定理 2 如果幂级数如果幂级数 0n n n xa的所有系数的所有系数0 n a 设设 n n n a a 1 lim 或或 n n n alim 1 则当则当0 时时 1 R 3 当当 时时 0 R 2 当当0 时时 R 证明证明应用达朗贝尔判别法对级数应用达朗贝尔判别法对级数 0n n n xa n n n n n xa xa 1 1 lim x a a n n n 1 lim x 1 1 1 1 1 0 1 0 0 Rxaxx xaxx n n n n n n 发散 级数 即 收敛级数 即 时 由比值判别法得当 发散 级数 即 收敛级数 即 时 由比值判别法得当 Rxxa xx n n n 收敛仅 时当 收敛仅 时当 例2例2求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间 解解 1 n n n a a 1 lim 1 lim n n n 1 1 R 1时当时当 x 1时当 时当 x 1 1 n n n 级数为级数为 1 1 n n 级数为级数为 该级数收敛该级数收敛 该级数发散该级数发散 1 1 1 n x n n n 2 1 n n nx 3 1 n n n x 故收敛区间是故收敛区间是 1 1 n n n a lim n n lim R 级数只在级数只在0 x处收敛处收敛 n n n a a 1 lim 1 1 lim n n 0 0 R 收敛区间收敛区间 2 1 n n nx 3 1 n n n x n n n a a 1 lim 1 2 lim n n n 2 2 1 R 2 1 2 1 收敛即 收敛即 x 1 0 收敛 收敛 x 0时当 时当 x 1 1 n n 级数为级数为 1时当 时当 x 1 1 n n n 级数为级数为 故收敛区间为故收敛区间为 0 1 发散发散 收敛收敛 n n n n x n 2 1 2 1 1 1 1 12 2 2 n n n x 解 1 解 1 例例3 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间 解 2 解 2 3 5 2 3 222 xxx 级数为级数为 缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项 应用达朗贝尔判别法应用达朗贝尔判别法 lim 1 xu xu n n n n n n n n x x 2 2 lim 12 1 12 2 1 2 x 级数收敛级数收敛 1 2 1 2 x当当 2时即时即 x当当 2时即 时即 x级数发散级数发散 2时当 时当 x 2 1 1 n 级数为级数为 2时当 时当 x 2 1 1 n 级数为级数为 级数发散级数发散 级数发散级数发散 原级数的收敛区间为原级数的收敛区间为 2 2 不能直接应用以上这二种情形定理不能直接应用以上这二种情形定理2 注 1代数运算代数运算 000 RRxgxf xbaxbxa n n nn n n n n n n 加减法加减法 min 2122 0 11 0 RRRRRxgxb RRxxfxa n n n n n n 设设 三 幂级数的运算三 幂级数的运算 0 022110 00 RRx xgxfxbabababa xbxa n n nnnn n n n n n n 至少 乘法 至少 乘法 0 0 0 0 2 210 0 0 0 RRR xCxCxCC xb xa bg n n n n n n n n 小得多收敛域比 则 设除法 小得多收敛域比 则 设除法 0 0110 000 2 1 0 n n nnn n n n n n n n n n i xCbCbCbxbxCxa iC的确定如下系数的确定如下系数 3 2 1 0 0110 n CbCbCba nnnn 比较系数比较系数 210 0211202 0 0 11 0 101101 0 0 0000 1 CCC CbCbCba b a ba b CCbCba b a CCba 求积分均有线性性质 求导数求极限对于有限项求积分均有线性性质 求导数求极限对于有限项 逐项求极限即 逐项求极限即 n n n xx n n n xx xaxa 00 00 limlim lim 0 0 xsxs xx 逐项求导 逐项求导 00n n n n n n xa dx d xS dx d xa dx d 2分析运算分析运算 性质呢是否也具有相应的线性对于无穷项问题性质呢是否也具有相应的线性对于无穷项问题 逐项求积分 逐项求积分 00 n b a n n b a b a n n n dxxadxxSdxxa 即内连续在 设 即内连续在 设 1 3 0 0 RRxaxS RRxxSxa n n n n n n 4 limlim lim 0 0 0 00 000 xSxaxaxaxS n n n n n n xx n n n xxxx 重要结论重要结论 成立般的函数项级数未必能 质可以成立对于幂级数分析运算性 成立般的函数项级数未必能 质可以成立对于幂级数分析运算性 1 1 00 0 2 n n n n n n n n n n n n xnaxaxaxS RRxaxS 且 内可导在 且 内可导在 0 1 0 00 0 0 0 1 3 n n n n x n n x n n n x n n n n xa dxxadxxadxxS RRxaxS 且 内可积在 且 内可积在 仍具有上述分析性质 的幂级数对于收敛半径为 仍成立等式积分后的幂级数收敛 逐项求导及逐项或处若在 有任意阶导数 内具在幂级数反复应用 仍具有上述分析性质 的幂级数对于收敛半径为 仍成立等式积分后的幂级数收敛 逐项求导及逐项或处若在 有任意阶导数 内具在幂级数反复应用 6 5 2 3 2 1 0 0 n n n xxaR RxRx RR 注 321 1 112 xSR nxnxxx n nn 及的 求 及的 求 1 1 1 1 321 1 1 1 1 1 2 12 12 x x nxxx x x xxx n n 逐项求导得逐项求导得 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 x x x dxnxdxxS n n x n n x 例例1 解法解法1 解法解法2 1 1 1 1 2 x x xS 1 3 1 1 1 的和指出定义域 并求和函数求的和指出定义域 并求和函数求 n n n n n nn x 3 3 3 1 1 1 3 1 33 1 3 3 1 1 1 1 x x x n x xS x n n n n n n 3 3 2ln 1 1 1 x n n n 3 1 3 1 3 lim 1 n n n n n 3