（轮机工程专业论文）基于小波理论的图像处理技术研究.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 小波分析是目前国际上最新的时频分析工具，在信号处理方面有着广泛地 应用，本文着重讨论基于小波变换的图像处理技术。 详细讨论了小波分析的基本理论，介绍了连续小波变换、离散小波变换和 多分辨分析，给出m a l l a t 的快速分解与重构算法，最后研究了小波基的数学特 性，分析了它们对实际应用的影响和作用。 详细介绍了小波变换去噪的原理，分析了去噪过程中几个参数的选取问题： 对小波阈值萎缩去噪方法的几个关键问题进行了详细讨论，并给出了改进的软 硬阈值去噪方法，最后通过实验，证明这些改进方案的有效性。 传统的边缘检测基于一阶导数极大值或二阶导数零交叉的定义，这种定义 对噪声非常敏感。小波分析具有多尺度特性，既有大尺度的基函数，又有小尺 度的基函数，因而在运用于边缘检测时，正好解决了这个问题。本文使用一种 基于样条小波的多尺度边缘检测算法，该算法在图像带噪的情况下，检测出较 为准确的边缘。 结合人类视觉感知机理，对小波多尺度分析纹理特征提取方法迸行了研究。 在叙述小波分析理论的基础上，把小波分解引入到纹理表示中来，讨论了提取 纹理特征值时选取窗口大小的问题。根据人类视觉中的模糊性和随机性，对模 糊聚类算法进行了研究，在模糊聚类有效性函数指导下构造了一种自适应模糊 c 均值聚类算法的纹理分割方法，并验证了该算法的有效性。 关键词：小波变换，图像去噪，边缘检测，纹理分析 茎堡堡三查兰堡圭兰垡堡塞 a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si si n t e r n a t i o n a l l yr e 弘i z c d 叩t ot h em i n u t et o o lf o ra n a l y z i n g t i m e f r e q u e n c y t h i sp a p e rd i s c u s s t h et e c h n i q u e o fi m a g ep r o c e s s i n gb a s e d o n w a v e l e tt r a n s f o r m t h ef u n d a m e n t a lt h e o r i e so fw a v e l e ta n a l y s i sa l ed i s c u s s e di nd e t a i l c o n t i n u o u s w a v e l e tt r a n s f o r m ，d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r ma ndd y a d i cw a v e l e tt r a n s f o 硼 a r e i n t r o d u c a d t h ef a s ta l g o r i t h mo fd i s c r e t ed y a d i cw a v e l e tt r a n s f o r mi sg i v e n f i n a l l y , a na n a l y s i si sm a d eo nt h e i n f l u e n c eo ft h ew a v e l e tb a s e so np r a c t i c a l a p p l i c a t i o n sb ys t u d y i n g t h e i rm a t h e m a t i c a lp r o p e r t i e s t h e p r i n c i p l e so fw a v e l e tt r a n s f o r md e - n o i s i n gm e t h o da r e i n t r o d u c e di nd e t a i l ， a na n a l y s i so ft h ec h o i c eo fs o m ep a r a m e t e r si nt h ep r o c e s so f d e - n o i s i n gi sm a d ei n d e t a i l ，a n ds o m ec h o i c eg r o u n d sa r eg i v e n s o m ek e yp r o b l e m s o nd e - n o i s i n gm e t h o d b a s e do nw a v e l e tt h r e s h o l da r ed i s c u s s e di nd e t a i l ，a n ds o m ei m p r o v e m e n ts c h e m e s a r ep r o p o s e 也a n dt h es i m u l a t i o nt e s t i n gh a sp r o v e dt h ee f f e c t i v e n e s so ft h e s c h e m e s t h et r a d i t i o n a lm e t h o d so fc d g ed e t e c t i o na r eb a s e do uo n e - o r d e rd e r i v a t i v e s m a x i m u m o r 咖训e rd e r i v a t i v e sz e r o - c r o s s i n g w i t hm u l t i s c a l ec h a r a c t e r i z a t i o n , w a v e l e t a n a l y s i sw a sw i d e l yu s e dt om u f t i s c a l ee d g ed e t e c t i o n i nt h i sp a p e r , i tw a s p r o v e dt h a t , w a v e l e t b a s e dm u f t i s c a l ee d g ed e t e c t i o nw o u l dk e e pc d g # p o s i t i o n sv e r y w e l l ，i fs y m m e t r i cb a s e sw e r eu s e di nw a v e l e tt r a n s f o r m f u r t h e r m o r e ，a na l g o r i t h m o f m u f t i - s c a l ee d g ed e t e c t i o nb a s e do nb i o r t h o g o n a ls y m m e t r i cw a v e l e tw a sp u t f o r w a r d ，w i t hw h i c h , ”g o o de d g e s ”w i l lk o b t a i n e dw h i l et h e 甜g cp o s i t i o n sw i l lb e k e p tw e l l a c c o r d i n gt oh u m a nv i s i o np e r c e p t i o nt h e o r y , w es t u d i e dt e x t u r ef e a t u r e e x t r a c t i o nb a s e do nw a v e l e tm u l t i s c a l ea n a l y s i s a f t e rr e v i e w i n gw a v e l e tt h e o r y , p y r a m i d w a v e l e td e c o m p o s i t i o nw a si n t r o d u c e dt ot e x t u r er e p r e s e n t a t i o n , w e d i s c u s s e dt h ep r o b l e mo fo p t i m a lw i n d o ws i z ef o rt e x t u r ef e a t u r ee x t r a c t i o nm e t h o d i nv i e wo ft h ef u z z ya n ds t o c h a s t i cc h a r a c t e r i s t i c so ft h eh u m a nv i s i o ns y s t e m ，w e s t u d i e df u z z yc l u s t e r i n ga l g o r i t h m ；w ed i s c u s s e dc l u s t e r i n gv a l i d i t yp r o b l e m ，a n d n 武汉理工大学硕士学位论文 a t e x t u r es e g m e n t a t i o nm e t h o db a s e do ua d a p t i v ef c mh a sb e e nc o n s t r u c t e z lb yt h e g u i d a n c eo ff u z z yc l u s t e r i n gv a l i d i t y k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m , i m a g ed e n o i s i n g , e d g e d e t e c t i o n ，t e x t u r ea n a l y s i s m 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 课题研究的目的和意义 小波分析真正作为一门理论或学科被研究仅仅是最近2 0 年的事情。与 f o u r i e r 分析和g a b o r 变换相比，小波变换是空间( 时间) 和频率的局部变换，因而 能有效地从信号中提取局部信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号 进行多尺度的细化分析，解决了f o u r i e r 分析不能解决的许多问题。数学家认为， 小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、f o u r i e r 分析、样条分析和数值 分析的完美结晶：信号和信息处理专家认为，小波分析是时间尺度分析和多分 辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数 据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了具有科学意义和 应用价值的成果。 与f o u r i e r 分析和g a b o r 变换相比，小波变换是时间( 空间) 频率的局部化分 析，它通过伸缩平移运算对信号逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细 分、低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的 任意细节，解决了f o u r i e r 变换的困难问题，成为继f o u r i e 分析以来在科学方法 上的重大突破。 小波分析理论作为时频分析工具在信号分析和处理中得到了很好地运用。 平面图像可以看成二维信号，因此，小波分析很自然地被运用到图像处理领域。 虽然，目前小波分析已经被运用到图像处理的几乎所有分支。但在某些方面的 应用并没有达到很完美的程度；另一方面，不断地有一些关于小波的新的应用出 现。这些都说明了对小波应用的研究还远远没有结束，这就是本文研究工作的 动因。 1 2 小波理论的历史和研究现状 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师j m o r i e t 在1 9 7 4 年首 先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要建立了反演公式，当时未能 武汉理工大学硕士学位论文 得到数学家的认可。正如1 8 0 7 年法国的热学工程师j b j f o u r i e r 提出任一函数 都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能褥到著名数学家j ll a g r a n g e , p s l a p l a c e 以及am l e g e n d r e 的认可一样。幸运的是，早在七十年代，丸 c a i d e r o n 表示定理的发现、h a r d y 空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波 变换的诞生做了理论上的准备，而且j 0 s t r o m b e r g 还构造了历史上非常类似于 现在的小波基；1 9 8 6 年著名数学家ym e y e r 偶然构造出一个真正的小波基，并 与s m a l l a t l l l 合作建立了构造小波基1 2 1 的同样方法及其多尺度分析之后，小波分 析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家i d a u b e c h i c s 撰写的小波十讲 ( t e n k 爆u r c s o n w 如d c t s ) 对小波的普及起了重要的推动作用。它与f o u d e r 变换、 窗口f o u r i e r 交换( g a b o r 变换) 相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有 效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度 细化分析( m u l t i s c a l e a n a l y s i s ) 1 3 l ，解决了f o u d e r 变换不能解决的许多困难问题， 从而小波变换被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。 近十几年来，小波分析在理论上和方法上都有飞速的进展，人们从多分辨 率分析、框架和滤波器组三个不同的出发点进行研究。目前，函数空闻的刻画、 小波基的构造、插值小波、向量小波、高维小波、多进制小波、周期小波等都 是小波理论的主要研究方向和热点。现在，人们已经公认计算机视觉中的多分 辨率处理，语音和图像压缩中的子带编码，基于非均匀采样网格的非平稳信号 分析和应用数学中的小波级数展开只不过是同一种理论( 即小波理论) 的不同观 点罢了目前有关小波理论及其应用的研究仍然处在蓬勃发展时期，每月都有 大量新的文献涌现，国际互联网有关的小波资料非常丰富，如一些网站h t t p ： w w w w a v e l e t s w a v e l e t e s t o m ，h t t p ：w w w w a v e l e t e s o r g 等不断报道最新的小波 文献，国际会议，电子文摘，各著名大学和科研机构的小波研究组及其主要成 果。许多重要的国内、外期刊经常刊登有关小波应用的动态和最新研究成果， 如国内的电子学报、信号处理及一些数学类刊物等。国际上如a p p l i e da n d c o m p u m f i o n a lh a r m o n i ca n a l y s i s , i e e et r a p s 帆s i g n a lp r o c e s s i n g , i e e et r a n s 0 1 1i m a g ep r o c e s s i n g 等等。 在应用上，由于其良好的时频局部化特征、尺度变化特征和方向性特征使 得小波分析有着相当广泛的应用空间1 4 i ，其应用领域包括数学的诸多学科，量子 力学、理论物理、信号分析和处理、图像处理、模式识别与人工智能、机器视 觉、数据压缩、非线性分析、自动控制、分形分析阁、计算数学、音乐与语言的 2 武汉理工大学硕士学位论文 人工合成、医学成像与诊断、地质勘探数据处理、大型机械的故障诊断等等许 多方面。其应用范围还在不断豹扩大，几乎所有的学科领域都把小波分析作为 一种重要的分析理论和工具，并在研究和应用的过程中取得丰硕的成果。 1 3 小波理论在图像处理中的应用概述 小波分析在图像处理中的应用从纯图像处理的角度分，主要包括以下三个 方面：图像预处理，图像边缘检测，特征抽取与图像分类。 ( 1 ) 凰像预处理 由小波的分解与重构算法知，小波分解后包括两部分：低频部分和高频部 分。低频部分可以看成对原图像的平滑，而高频部分刻画了原图像在大尺度下 的边缘信息。因此，小波变换可用于图像的平滑、去噪以及图像增强等预处理。 ( 2 ) 图像边缘检测 经过小波变换可以获得基于小波的多尺度特征，而利用小波分析的局部化 特性，可以获得不同尺度下的特征，利用小波分解后的高频信息，可以获得图 像在不同尺度下的边缘特征，从而为多尺度边缘检测提供了新的思路。 目前，基于小波分析的边缘检测方法可以分为两大类。类是基于滤波器 尺度方法。这一类方法又可以分成两种，一种是直接构造边缘算子作用于原图 像函数以检测边缘i “3 1 ，另一种首先通过小波变换获得图像的多尺度特征，然后 对像素进行分类，根据分类结果再进行分割【1 4 嘲。另一类是构造基于像素点处 的尺寸及灰度级差的多尺度函数，并以此函数构造边缘映射1 1 6 1 。这种方法集成 了边界和区域处的特征信息，具有潜在的研究价值。 基于小波分析的图像边缘检测涉及以下几个方面：尺度的选择，闽值的选 择和小波基的选择。 ( 3 ) 特征抽取与图像分类 这里所说的特征抽取主要指在小波变换后，对获取的原图像上的频域信息 提取的二次小波特征。再将二次小波特征用于图像分类。 基于小波的特征主要有基于小波的纹理特征和基于小波的统计特征。另外 还有基于小波的分形特征等。 3 武汉理工大学硕士学位论文 1 4 研究内容及结构安排 本文主要围绕小波分析理论及其在图像处理领域中的应用与研究展开讨 论，在分析研究小波变换理论与方法的基础上，研究快速小波算法及基于小波 变换的图像处理的原理和方法并给出三个基于小波的实例应用。主要选择了 v i s u a lc + + 和m a t l a b 软件平台，实现了基于这些算法的具体图像的处理。用 实例验证方法的正确性和有效性。 全文共分为六章，其主要内容和结构安排如下： 第一章，绪论，简要介绍小波分析理论的历史和研究现状，阐述本文的 研究意义和目的，最后给出本文的内容和结构安排。 第二章，研究小波分析的基本理论和变换算法，介绍了小波分析的基本 概念，连续小波交换，离散小波交换，多分辨率分析的思想，这一章是后续章 节的理论基础。 第三章，详细介绍了基于小波交换去噪的原理，分析了去噪过程中几个参 数的选取问题；对小波阙值萎缩去噪方法的几个关键问题进行了详细讨论，并 提出了一些改进方案，最后通过仿真实验，证明这些改进方案的有效性。 第四章，利用基于边缘检铡的小波基函数选取准则和最优边缘检测准则理 论上得出了“最佳”边缘检测小波一二次b 样条小波，实现了基于阈值的二次b 样条小波图像边缘检测方法，和传统的边缘检测相比较，该方法具有一定的消 噪能力，在消噪的同时能较好的保留微弱边缘。 第五章，结合人类视觉感知机理，对小波多尺度分析纹理特征提取方法进 行了研究。根据人类视觉中的模糊性和随机性，对模糊聚类算法进行了研究， 在模糊聚类有效性函数指导下构造了一种自适应模糊c 均值聚类算法的纹理分 割方法。 第六章，对本论文进行总结，并指出目前还存在的问题以及进一步的研究 方向和工作的展望。 4 武汉理工大学硕士学位论文 2 1 概论 第2 章小波基本理论 小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ) 是8 0 年代后期在傅立叶分析的基础上发展起来 的，基本思想来自调和分析，具有严格的理论模型。继承和发展了g a r b o r 变换 局部化的思想，同时又克服了窗口固定、缺乏离散正交性等不足，从而成为近 期研究较多的频谱分析工具。是近年来应用数学和工程学科中的一个迅速发展 的新领域，是目前国际上公认的信号信息获取与处理领域的高新技术，是多学 科关注的热点，是信号处理的前沿课题。 小波变换在信号分析中具有以下优点： 1 具有多分辨率( m u l t i r e s o l u t i o u ) 特 ，即能够通过伸缩和平移等运算功能对 信号进行多尺度细化分析( m u l t i s c a l e a n a l y s i s ) 2 可以看成品质因数恒定、相对带宽恒定的一组带通滤波器在不同尺度下对 信号的滤波，特别适合于非平稳信号分析； 3 适当的选择基小波，使之在时域上有限支撑，在频域上也比较集中，可以 保证小波变换在时、频域中都能够具有很强的表征信号局部特征的能力，有利 于检测信号的瞬态变化或奇异点。 2 2f o u r i e r 变换 f o u r i e r 变换是近代分析数学的重要核心内容之一，同时也是许多领域中重 要的分析工具之一。在传统的信号处理和分析中，f o u r i e r 变换在平稳信号分析 中起到了举足轻重的作用。 2 2 1 经典f o u r i e r 变换 经典的f o u r i e r 分析的本质在于将一个任意的函数表示为一族标准函数 矿l r ) 的加权求和，令f 僻) 表示二次可积的函数矢量空间，f ( t ) e l z ( r ) 财 武汉理工大学硕士学位论文 函数f q ) 的f o u r i e r 变换可表示为： ，- r 。f q k “面 ( 2 1 ) 其反变换可以定义为： f ( o 。去l ，和) e m ( 2 2 ) 由上面算式我们可以知道，( ) 的任一频点的值是由厂( f ) 在整个空问域 ( 一。，+ 。) 上的贡献决定的。同样，( f ) 在某个时刻的状态也是由于和) 在整个频率 域上的贡献决定的。经典的f o u r i e r 变换无法获得在某一点附近的频率变化情况。 f q ) 和，和) 在各自的域内局部化的变化程度却无法被单独反映出来，f o u r i e r 分 析刻画的是整个频率空间域内的信号分布情况。可见f o u r i e r 变换不利于作时一 频局部化分析。 2 2 2 窗口f o u r i e r 变换 为了克服f o u r i e r 变换不能同时进行时一频局部化分析，无法得到局部空问 内信号的频率分量的弱点，科学家们提出了窗口f o u r i e r 变换，又称为短时f o u r i e r 变换。 如果阶) 三2 僻) ，t w ( t ) e l 2 ( r ) ，且矽) 的f o u r i e r 变换矿q ) 满足 ，7 矽国) 2 僻) ，则以( f ) 为窗函数的短时f 抽r i e r 变换可表示为： ( g b f x , o ) - 。f ( t ) e “( f - b 矽 ( 2 3 ) 称作是函数，的窗口f o u r i e r 交换或短对f o u r i e r 变换。如图2 1 所示 ( a ) 时域加窗示意图( b ) 时频平面划分示意图 图2 1 短时傅里叶变换示意图 窗口f o u r i e r 变换从一定程度上实现了时频局部化分析，磊，) 给出了 ，( f ) 在时间窗 f o + 6 一a 。，t o + 6 + ， 的局部频域信息。 6 武汉理工大学硕士学位论文 如果我们选取形( f ) - g 。( f ) - 瓦1 i 。f 。，即取g a u s s 函数作为窗函数，则 窗f o u r i e r 变换就变成了g a b o r 变换： 商，x 由一f ，o 沙g 。( f 一6 皿 ( 2 4 ) 2 3 小波变换 虽然窗口f o u r i e r 变换实现了定的时一频局部化分析，但是窗口函数一旦 选定，它在不同中心时刻和中心频率所确定的时频窗口具有固定不变的时宽和 频宽，也就是说窗口的形状和大小是固定不变的，这是不秘于进行信号的分析 的。因为在分析不同特征的信号之前，我们很难对时频窗口的形状、大小进行 预先的指定。而且，在确定了窗函数之后，我们希望对信号的不同部分采用可 变的时频窗口进行分析正如在做非平稳信号分析的时候，我们期望对于低频 信号，时宽应适当加宽，频宽应适当减小；对于高频信号则正好相反，时宽应减 少，频宽应适当加大。所以窗口f o u r i e r 变换缺乏对信号的这种自适应性，仍然 不是个理想的时一频局部化分析的工其。而小波交换恰恰可以弥补这个缺陷。 2 3 1 一维连续小波变换( 1 dc o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ) 在f o l i r i c f 变换夕( 回一厂一f ( x ) e - d x q 口，如果将基函数的伸缩函数e k 用 小波基函数妒o ) 的平移和伸缩函数妒l 二j 来取代，所得的变换就是连续小波 ，r - n 、 变换。其定义如下： 函数妒0 ) 工2 c r ) 称为容许小波或基小波，如果满足下面的“容许性”条件： q - 耕如坤 。2 5 ， 则连续小波变换定义为 ，d 棚一i a i 圳2 正，( f 万( 警p ， ，工2 僻) ( 2 6 ) 其中4 ，6 露且口，o 分别为伸缩和平移参数( 也称频率参数4 和时闯参数6 ) 。“容 许性”条件在i ：f o ) r 俾) 下可以等价地表示为： 7 武汉理工大学硕士学位论文 p 矽- 0 ( 2 7 ) 由式( 2 5 ) 可以看出，妒( 0 ) - o ，此即矿( 圳。_ o 。f o 弘“出l 。o 。式 ( 2 5 ) 与式( 2 7 ) 等价。而从式( 2 7 ) 可知道，妒( f ) 所对应的图形一定上下波 动，其函数值正负相间。另外，当小波函数用于开窗函数时，要求非零值尽可 能集中在一个较小的区域内，或者说小波函数具备能量高度集中性质。郾小波 函数表现形式为一段主要集中在某个小区域内的波动函数，这便是小波的直观 馋释。小波变换与f o u r i e r 变换一样都是可逆变换，小波逆变换可看成原信号的 重构。 令1 ；c ，( f ) 为基小波，则对所有厂，g r ( r ) ，有 盯k - 2 ，( 毛b ) w ，g ( 口，6 ) ( 秘一otf , g ( 2 8 ) 碍 进一步地，对于，r 以及，的连续点工r 有 ，。专驴。，( 口6 渺- o 曲 ( 2 9 ) 其中，妒a 仁) 。丽1 伊( 半) 式( 2 9 ) 称之为信号的小波重构。 c w t 的变换结果是许多小波系数，这些系数是尺度( s c a l e ) 和位移( p o s i t i o n ) 的函数。 2 3 2 一维离散小波变换( 1 一dd i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ) 对于式( 2 9 ) ，信号厂o ) 可以看成是妒。o ) 的线性组合。由于参数口，b 是连 续变化的，所以一般情况下妒。- ) 不是线性无关的。下面，分析参数的变化与 妒。 ) 特性的关系。 令a 一1 ，6 = b i ，贝 ，( 口t ，b z ) te ，( f 渺呐p 渺 正专防f 专厂。，6 渺。 ( f 皿砌f 讪( f 陟 f 。口1 ：w ，( 啪) l 毒正妒。j ( f 万呐o l d b 妇 8 武汉理工大学硕士学位论文 。工f 。方，o ，b ) k ，4 z ，坟b , ) d b e a ( 2 1 0 ) 1 一 其中，k ( 口，口l ，6 ，6 1 ) 。奇j 二妒一 ( f 一 ( f ) 出称之为再生核。显然，当妒 ( f ) 与1 ；f ，。 o ) 正交时，0 ，口。，b ，b o 一0 ，即这时f ( a ，b ) 对f ( a t ，b ，) “没有贡 献”。 根据以上的分橱可知，只要合适地对参数口6 离散化，就可以保持信息的不 丢失。这就是离散小波变换的核心思想。 第一，尺度参数a 的离散化。 一般的做法是，取a - 口；，o ，1 2 ，此时相应的小波函数是 口；7 劬 i x ( f 一6 ) ) ，- 0 ，1 ，2 ，这时，称小波的尺度为j ( o 1 a 一口0 ) 第二，位移参数b 的离散化。 对于尺度，0 ，应该存在一个适当的位移量6 0 ，使得 妒( f 一勋。) ，k o ，1 ，2 ，可以覆盖整个时间轴且信息不丢失。 当，一0 时，取6 - 口：，则下面是离散化后且不丢失信息的小波函数： 妒j j ( f ) - 口f 7 劫( 口t k b o ) ( f ，k e z ) ( 2 1 1 ) 或者将蛾，在数轴上调整( 归一化) 为整数k ，则有 妒j j ( f ) - 4 7 2 妒( a g t 一七)a ，ke z ) ( 2 1 2 ) 根据以上的讨论，离散小波变换的定义如下； 设妒。 ( f ) 三2 僻) ，口。 o 是常数，妒似( f ) a o j 锄( 口i 7 t - k ) ( l 七z ) ， 则称 ，( j ，k ) 一l ( t x o 雎( t ) d t ( 2 1 3 ) 为厂( f ) 的离散小波变换。特别地，取a 。- 2 ，则称以离散小波函数 妒；。( f ) 一2 - m 妒( 2 州2 t k )g ke z ) 构造的离散小波变换为二进小波变换。 执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器，该方法是m a l l a t 于1 9 8 9 年提 出的，称为m a l l a t 算法，又称为“金字塔算法”。 2 3 3 二维连续小波变换( 2 dc o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ) 若信号函数，o ，y ) 2 僻) ，妒0 ，_ ) ) 为二维小波母函数，则其构造可由一维 9 武汉理丁大学硕士学位论文 母小波的张量积形成。 肛y ) - 争擘，学，口，6 c 趸血却 因为图像信号是一种二维信号，所以将一维小波扩展的二维情况， 使用和分析。 k 他如) - 亩似y 渺牟气以 ( 2 1 4 ) 便于后续的 ( 2 1 5 ) 2 3 4 二维离散小波变换( 2 dd i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ) 我们只要把参数a ，b ，c 离散化4 4 i 7 ，b - k l b o 口o - ，c - k 2 c o a o ，a o , b o ，c o 为 常数，j , k 。k ：z ，则有离散参数变换： d e w r ( y ，k l ，露：) 一口0 肛往，岁弦留扛一毛，口；岁- k 2 c o ) d r d y ( 2 1 6 ) 将式( 2 1 6 ) 中的空间变量x 和y 离散化，即得到离散空间小波交换： o s w r u kk z ) - a o ；z 厂：o 以一k a b o , aj o l 2 一k z c 。) ，1 1 ，f 2 z ( 2 1 7 ) 令上式( 2 1 7 ) 中的常数a 。- 2 ，b o c o - 1 ，即得到离散小波变换，表示为： o w r ( j k 囊：) 一口；乏三，瞄弦( 2 7 一k i , 2 7 z ：一乏2 娜2 z ( 2 1 8 ) _z i d ， 2 3 5 傅立叶变换、g a b o r 变换与小波变换的对比 傅立叶变换是时域到频域互相转化的上具，它确定了信号在整个时间域上 的频率特性。但在实际应用中，我们往往需要知道，信号在某一时刻附近的频 谱特性，傅里叶变换是做不到的。g a b o r 变换即短时傅立叶变换把信号划分成许 多小的时间间隔，以便确定在该时白j 间隔内的频谱信息。g a b o r 变换在一定程度 上克服了标准傅立叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可 克服的缺陷，即当窗函数选定后，矩形窗口的形状就确定了。只能改变窗口在 时频平面上的位置，而不能改变窗口的形状。短时傅立叶交换比较适合分析较 平稳的信号，而不太适合分析非平稳信号。小波分析能够较好地克服短时傅立 叶的不足，它提供了一个随频率改变的时间一频率窗口。小波基通过改变尺度因 子a 使被分析信号在高频时( a 小) 时问域分辨率高，低频时( a 大) 频率域分辨率 高，达到了多分辨率分析的效果。小波分析的这种特点适合非平稳信号的处理 武汉理工大学硕士学位论文 “小唧。从图中可以清楚地看出两者的差别与联系。表2 1 给出傅立叫变换、g a b o r 变换与小波变换的特征。 表2 1 傅立叶、g a b o r 和小波的特征对比 绝 分解种类分析函数变量信息 适应场合 变八 傅立叶 频率 正弦函数频率信号频率平稳信号 变换 次平稳 短时傅立叶变换时间频率 振荡函数频率窗口位置窗口大小 信号 时间尺度时间有限非平稳 小波变换尺度小波位置小波宽窄 时闻频率 的波信号 2 4 多分辨分析和m a l l a t 算法 2 4 1 多分辨分析 多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ，m r a ) 是1 9 8 9 年由s m a l l a t 引入的， 他从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨特性，将在此之前所有小波变换 理论统一起来，并由此给出了小波的构造方法与小波变换快速算法，即著名的 m a l l a t 算法。多分辨分析的一个最大特点是只对低频空间进行迸一步分解，从而 使频率的分辨率变得越来越高。一般说来，用来构造正交小波变换的多分辨分 析具有下面的理论框架。 设是集合杪皿o ) ，七z ( 即对每个，是尺度相同为，不同位移k 下的 妒胙( f ) 所构成的集合) 线性张成的在空间三2 僻) 上的闭包，妲) 中一列闭子空间 e 搿称为俾) 的一个多分辨分析( m r a ) ，如果该序列满足下列条件： 单调性：g y f - l “，z ； 逼近性：n 巧- o xu - r 职) ； i j 包 伸缩性：，0 ) 巧厂( 知) 。，z ； 平移不变性： ，o ) ，o - t ) e ，v k z ； 相加性：k 。- 屹+ 睨 可以证明，存在函数烈f ) 使它的整数平移系似j 2 妒( m 叫2 f 一七壮z 构 成的规范正交基，称妒( f ) 为尺度函数，于是函数野 ( f ) t 朋一7 2 q ( m q t p ，工七z 武汉理工大学硕士学位论文 构成标准正交基。 m r a 本质上给出了人类视觉系统对物体认识的数学描述实际上，如果把 巧当作某人在某种尺度j 下所观察到的该物体信息，则当尺度增加到，+ 1 时， 他所观察到的信息为u 。，此时可以认为是他进一步靠近目标所观察到的信息， 因此巧+ 所表示的信息该比巧更为丰富，即匕巧n 。总之，尺度越大，距离目 标越近，观察到的信息越丰富。反之，尺度越小，距离越远，含有的信息量越 少。1 9 8 9 年，m a i l a t 在他的著名的论文中对此给出了精辟的阐述。 设( 帆，m z 】；妒( f ) ) 是一个正交m r a ，如果 o o ( t ) 一4 呀w ( 2 t j | ) ( 2 1 9 ) t 那么，函数 妒p ) - 芝；( 一矿；，t 烈2 f 一七) 的伸缩、平移 构成2 僻) 的正交基对于任意，r ( 固，f 可以表示为 ， ) i 三c 妒 ( 2 2 0 ) 而其中的部分和 o ) - 芝q 缈 ( 2 2 1 ) 因此 ) 构成信号f 在子空问取上的投影，也即信号厂分解到与频率t 相 关的局部信息。综合式( 2 2 0 ) 、( 2 2 1 ) 得到信号，的另一种等价表示 f ( x ) 一 ( 2 2 2 ) f = j 式( 2 2 2 ) 可以看作是信号的一种按频率段的分解。更进一步地，如果只希 望知道信号，不超过频率j 相关的所有信息，则该信息具有表达式 易o ) 一 o ) ( 2 2 3 ) 信号o ) 巧- 。曼哌 2 4 2m a l l a t 分解重构算法 1 9 8 9 年，m a l l a t 在小波变换多分辨分析理论与图像处理的应用研究中提出 了信号的塔式多分辨分解与重构的著名算法，也称m a l l a t 算法。一般认为，m a l l a t 1 2 武汉理工大学硕士学位论文 算法在小波分析中的地位类似于f f t 在经典f o u r i e r 分析中的地位。 m a l l a t 算法的基本思想可以归纳如下：设h ，为能量有限信号，r r 在分 辨率2 下的近似，则h ，可以进一步分解为，在分辨率2 j 一- 下的近似日一，( 通 过低通滤波器得到) 以及位于分辨率2 j q 与2 z d f ( 通过高通滤波 器得到) 之和。下面讨论具体表达式。 设妒与妒分别为尺度与小波函数，则信号f 在分辨率2 ，- - 下近似日一f 和细 节d ；。，分别假设为 h - l ，o ) 一。口，嘶妒，嘶o ) d ，1 ，o ) - 。d 嘶妒m o ) ( 2 2 4 ) 式( 2 2 4 ) 中a j 一 与d 卜坫分别为分辨率2 j - l 下粗糙系数与细节系数。而分 辨率2 下信号，的近似h ，可以直接表示为 h ，一h - l ，+ d ，- 1 ， ( 2 2 5 ) 其中，日j ，g ) - 口似竹 o ) ，从( 2 2 4 ) 与( 2 2 5 ) 不难看出，研究信息， 与h - 1 f 以及d 。，之间的关系可以转化为找出系数4 ”与口，础以及d * 的关 系。为此，从双尺度方程开始，此时有 妒，山l2 了妒( 2 j q x - n ) l 2 j 荟。t 畎2 7 x 一孙一) 。乏。t 一“2 2 妒( 2 工一七) 。乏c i a 妒， ( x ) ( 2 2 6 ) 怠彪 上式两端用函数妒，。o ) 作内积，并利用其标准正交特性推得 妒卜u ，妒，一 - c 一知 ( 2 2 7 ) 另外，令g 。- ( 一1 ) c “，利用方程( 2 2 4 ) 又有 妒，山g ) 一2 了妒( 2 i - i x - - n ) - 2 j g j 妒( 2 7 石一知一f ) 一 g t _ 2 一伊肼 ) ( 2 2 8 ) 同样可得 - g 研一h ( 2 2 9 ) 利用( 2 2 4 ) 与( 2 2 5 ) ，并在( 2 2 5 ) 中用函数伊，山 ) 作内积并注意到( 2 2 7 ) 武汉理t 大学硕士学位论文 与( 2 1 9 ) 及正交特性，得到 口- in 。盔c t _ 2 _ a 肚 ( 2 3 0 ) 而用函数妒，山g ) 对( 2 2 4 ) 作内积时则得到 d j 山。荟函肚 ( 2 3 1 ) ( 2 2 8 ) 与( 2 2 9 ) 被称之为信号的分解，构成m a l l a t 著名的塔式分解算法。 另一方面，在( 2 2 4 ) 中用函数妒，。( d 作内积，产生 a j , m 。c , _ z t a j 嘶+ 荟乳一一啦 ( 2 3 2 ) 式( 2 t 3 0 ) 称之为信号的重构，构成m a l l a t 著名的塔式重构算法。 二维m a l l a t 算法采用了可分离的滤波器设计，实质上相当于分别对图像数 据的行和列做一维离散小波变换。此时二维尺度函数矿 ，y ) l 2 僻2 ) 可表示为 两个一维尺度函数的乘积： 雄，y ) i 妒o 砌( y ) ( 2 3 3 ) 令妒( 力、妒( y ) 分别为与妒( 力、烈y ) 相对应的一维小波，则在分辨率j 层，二维 的二进小波可表示为以下3 个可分离的正交基函数： l f ，1 0 ，y ) 妒o 渺( ) ) ；妒2 y ) - 妒 ) 烈力；妒3 0 ，y ) 一妒o 渺( ) ) ( 2 3 4 ) 相应的二维m a i l a t 小波分解算法如图2 1 所示，其中只对应于只。的低频 部分，为弓。的逼近图像；d ；对应于在水平方向上的细节图像；d ；对应于垂 直方向上的细节图像；d ；对应于对角方向上的细节图像，均对应于高频部分。 列行2 取1 0 - i 图2 1 二维m a l l a t 小波分解算法 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 腰 始 图 像 这里给出一个二层分解的简单例子进行说明，如图2 2 所示。 工岛l 码 丁弛码 形7 l h 墒h 2 码 工甄h 墨l 鼍h 写 图2 2 二层图像小波分解示意图 2 5 小波基函数及其性质 不同的小波基具有不同的特性，用不同的小波基分析同一个问题会产生不 同的结果，故小波分析在应用中便存在一个小波基的选取问题“”，要根据小波 函数的特征和应用的需要来选择合适的小波基。 2 5 1 小波基具有的性质 为了在小波分析的应用中能正确的选择针对实际问题的小波基，首先要充 分了解各种小波基的性质。小波基的性质大致包括五个方面：正交性、对称性、 消失矩、正则性和紧支性 ( 1 ) 正交性 正交性是小波基的一个非常优良的性质，早期研究的小波大多是正交小波， 它在理论上是近乎完美的。 设妖x ) 为尺度函数，则函数系 贴一| | ) k 构成规范正交系的充要条件是： ( 妒( x ) ，早，( x 一七) ) - 6 0 上 武汉理：【大学硕士学位论文 正交小波对应的低通滤波器和高通滤波器系数之间有着直观的联系，即： g ( 一1 ) 8 啊。 这对正交小波的构造和实际应用都带来很大的方便，用正交小波基进行多 尺度分解得到的各子带数据分别落在相互正交的的子空间中，使各子带数据的 相关性减小，这有利于数值计算和数据压缩。但是除h a a r 小波外，正交小波不 具有线性相位，能准确重建的、正交、具有线性相位的有限冲激响应滤波器组 是不存在的，这是被理论证明的结论，为了解决线性相位问题，一般放宽正交 性条件为双正交，双正交条件则放弃了对偶滤波器的正交条件，只保留前两个 交叉正交条件，实际中双正交小波常具有非常好的性能。 ( 2 ) 消失矩特性 为了提高小波的衰减速度，要求所使用的基函数具有一定的消失矩，消失 矩阶数描述了小波函数相对于尺度函数的振荡性质，阶数越高，小波函数振荡 越剧烈，