§1 怎样选择参照系、坐标系.doc

第二章 怎样解题1怎样选择参照系、坐标系本章就力学、热学、电学、振动与波、光学中各定律、定理的应用、以及一些重要物理量的计算等，分节阐述。1怎样选择参照系、坐标系物体的运动是绝对的，但是就运动的描述来说，则又是相对的，即同一物体的运动相对于不同参照系具有不同的描述。既然，运动只能相对于参照系统来确定，因此，要解决任何一个问题，应该有一个强烈的观念：必须首先搞清楚所描述的物体运动是相对于什么参照系而言的。可是有的同学认为参考系的选择是无关大局的，许多习题不管它以什么为参考系不也同样也能出来吗？其实，一旦遇到复杂问题，就会出现一道习题的几个公式中的同一物理量，选不同的参考系，而导致解题过程乱七八糟。在技巧问题面前，就会由于不会选坐标系而使问题大大复杂化。因此，这实为一个不容忽视的问题。例1在水平面上有一质量为M的楔形劈，其上有一质量为m的木块。假设楔的倾角为，所有接触面都是无摩擦的。开始时木块离地面的高度为h（图211）。试求木块刚与台面接触时劈的速度。有的同学是这样解的：设木块与台面接触瞬间的速度为，这时劈沿台面滑动的速度为u。由于水平方向没有外力用在木块和劈上，故可应用动量守恒定律，同时因为木块的重力势能在其下滑过程中完全转变为木块和劈的动能，于是有：由式（1）得代入式（2）得：这题的正确答案是：两者相比，只差一个符号。从演算过程看，好象并没有什么错误，究竟错在哪里？问题就在解题过程中，参考系的选择是不清楚的。从看，显然是相对于楔劈的，但从看，它又似乎是相对于台面的，可是这样处理又多了一项，这里有两个错误：劈在木块下滑过程中是作加速运动的，它不是惯性参考系。就劈来说，动量守恒定律不成立；由于运动描述的相对性，题中各不同速度只能以同一参考系来描述。可是，上述解法中却对不同速度采用了不同参考系，不把所有的速度都统一于同一惯性参考系。因此，参考系的选择问题不容忽视。参考系分为惯性参考系和非惯性参考系两类。凡是适用牛顿第一运动定律，即称为惯性参考系；反之，则称为非惯性参考系（或称加速参考系）。实际上，判定一个参考系是不是惯性参考系，取决于参考系的加速度影响是否可以略去不计。如果可以忽略，则可看为惯性参考系，否则只能作为非惯性参考系。例如地球，它是旋转的，是一个加速系统，但就许多应用来说，地球的加速度影响可以不加考虑，因此，是一个惯性参考系的近似，但是必须注意，对于地球的加速度影响不能不加考虑时，它就又是一个非惯性参考系。同一个地球，有的时候为惯性参考系，有时又作为非惯性参考系，这完全由具体情况来决定。相对一个惯性参考系（如太阳）作匀速直线运动的参考系，都是惯性参考系。牛顿运动定律以及由它导出的动量原理、功能原理等，只适用于惯性参考系。例如，一个加速运动参考系应用动量、机械能守恒定律解决一个完全弹性碰撞问题，那就要犯错误。从运动的描述来说，惯性参考系的选择完全是任意的，在实践中，这完全由问题的性质和方便决定。有的同学对此提出一个问题：对某个惯性参考系来说，机械能是守恒的，对另的惯性参考系也一定守恒吗？例如：在一匀速直线运动的车厢中有一单摆，它在整个押运动过程中虽受到外力绳张力的作用，但因张力处处与摆的位移垂直，所以张力作的功等于零。因而在车厢这一惯性参考系来分析车厢中单摆的运动时，单摆的机械能是守恒的。但从地面这一惯性参考系来分析车厢中的单摆的运动时，绳工力与位移不再处处垂直，所以张力的功不再为零。在不同的惯性参考系中，为什么机械能守恒定律不都成立呢？我们知道，功的数值是与参考系的选择有关的，所以在一个不封闭的保守系统中，即使能在某一惯性参考系中守恒，但不能保证在其他一切惯性参考系中机械都保持不变。但是在一个内力只有保守力且一切外力都不作功的系统中，则不管是对哪一个惯性参考系，机械能肯定都是守恒的。机械能守恒定律的内容本身就包含了守恒条件，撇开守恒的条件，片面地谈守恒就可能出差错。因此，牛顿运动定律及由它导出的公式，在不同的惯性参考系中仍然都成立，无所怀疑。如果要在非惯性参考系中应用牛顿运动定律、转动定律、功能原理、动量原理、动量矩和机械能守恒定律，则必须计及惯性力，而且由于它没有反作用力，因此必须把惯性力作为外力加以考虑。例如，在动能定理中必须把惯性力的功计算进去；在动量矩原理中必须计及惯性力的力矩。一般为了避免惯性力的功、力矩的计算，把非惯性系的坐标原点选在质心上，且跟随质心而平动。这样，对非惯性参考系的南心坐标系来说，惯性力的力矩、功都为零。参考系应如何选择？一道习题，选择什么样的参考系，主要由问题的性质和解题的方便而定。对于运动学习题，无需考虑惯性力，因此，不管是惯性系还是非惯性系，怎么方便就怎样选择。坐标系是由参考系抽象而来的。解题必须养成良好的习惯：一定要首先建立坐标系。有了坐标系后，所有的矢量都用它们在各轴向的投影即矢量的分量来表示，各矢量的正负就容易取正确。可是有的同学不爱取坐标系，对于简单问题关系不大于比较复杂的问题就容易出差错。例2在加速行驶的火车上固定一斜面，斜面的角为。有一物体静止在斜面上，如果火车的加速度小于某一值，物体就会下滑（图212）。设物体和斜面体间的静摩擦因数为，试求的表达式。有的同学解这题根本不考虑坐标的选取或是选图212b的坐标，但不认真考虑矢量的方向，列出的方程：式中m为斜面上物体的质量。这种计算结果是错误的，它多了一个负号。其原因在于坐标系正方向决定后，分量式中的符号搞反了；如以代入，即可得正确的结果。如果把X轴的正方向倒过来，以向左为正，则：由此可见，仅仅依靠正压力N与摩擦力的方向而不建立坐标系是容易造成错误的。最简单也是最常见的坐标系是直角坐标系，在平面问题中也用极坐标系。在曲线运动中还有用自然“坐标系”。总之，凡是能够唯一确定一点位置的任何图形，都可作为坐标系。坐标系怎样选择？它的选择是任意的。实践中主要由问题的性质和解题的方便性决定。例3升降机以加速度a匀速上升。从它的顶板到底板间的距离为。求顶板上的螺钉落到底板所需要的时间t。分析首先弄清螺钉运动的特征。如果升降机静止不动，则螺钉作自由落体运动，求t很容易。现在升降机在匀加速上升。假设螺钉在升降机的瞬时速度为时脱离顶板，则螺钉作初速度为的上抛运动，只是是我们不能用上抛运动的公式求t，因为升降机的底板也在匀加速上升，因此螺钉的位移2不需要达到这么大就与底板相碰了。解法一分别取螺钉与底板为研究对象，以地面为参考系，选y轴向上为正，并以螺钉脱离顶板处为坐标原点。假设螺钉下落后与底板相碰（图213）。对螺钉和底板分别列出运动方程。底板：螺钉：由式（1）减式（2）得：解法二以匀加速上升的升降机为参参考系，螺钉以初速度为0的加速度为的下落运动，故有：两法相比较，后者显然较为方便。对于动力学习题，参考系的选择会出现三种情况：惯性参考系比较方便；非惯性参考系比较方便；用惯性参考系还是用非惯性参考系，两者差不多简便。不过一般地说，用非惯性参考系就要考虑惯性力，这是比较麻烦的。非惯性参考系又分为两种：一种是直线运动，二是转动的，其中主要又是考虑匀速转动。下面就这两种情况各举几例，每一个例子都分别以惯性参考系和非惯性参考系加以解决以方便比较。例4一根长为的均匀细棒，一端支在光滑的水平面上，另一端连一细线，现在牵动细线，使线与棒成一直线，与水平面的夹角为图214）。求此时棒的加速度a以及地面的支撑力N。解法一作一随棒运动的非惯性参考系，棒受到了通常的重力mg、地面的支撑力N、细线的张力T，还受到惯性力ma的作用。对O1点的总力矩为零，即：设相对细棒质心的转动惯量为J，角加度为，则根据转动定律有：这里为什么不计及N呢？这是因为，惯性参考系和非惯性参考系的转动方程一样，对质心来说，棒的角加速度为零，地面对棒的支持力也必然等于零。例5在一个以重力加速度g自由降落的升降机上，有一数学摆：摆长为，质量为m（图215）。如果开始时摆速不为零，问升降机的的人看摆是怎样运动的？解法一在非惯性参考系中，除了重力mg、绳子的张力T处，还必须考虑惯性力-mg。这三个力相对于点的力矩之和为零，因此有：为摆对点的转动惯量，为摆的偏转角加速度。由此方程可得，即摆以恒定的角速度运动：解法二在惯性参考系xOy中，摆的坐标为：其运动方程为：由上列两个方程得：式（1）给出绳子拉摆球的张力；式（2）导出摆的角速度具有恒定的数值，即：比较两法，显然选择非惯性参考系方便多。例6地球围绕处轴以角速度旋转。在赤道上有一列质量为m的火车，以相对速度处东向西运行（图216）。如不计摩擦力，并视列车为一质点。求铁轨对火车的作用力N。解法一在非惯性参考系上来考虑。先进行受力分析。火车除了受重力mg、铁轨的支撑力N以外，还必须计及惯性力和科里奥利力。火车的运动方程为：其中R为地球半径。解法二在惯性参考系中来考虑，这时应把火车看作具有相对的速度和转速的复杂运动。这时总的加速度a为：运动方程为：与第一种解法的结果相同。例7一均匀的细棒，它的长为，截面积为S，质量为m ,线密度为。细棒围绕过O点的竖直轴转动，角速度为。求细棒稳定转动时与竖直轴之间的夹角（图217）解法一这题应从随着细棒旋转的非惯性参考系中来考虑。在细棒上离开O点间距为的地方取一元段，它所受的惯性离心力为：相对于O点的力矩为：总的惯性力矩为：在所考虑的非惯性参考系中，棒应处于静止不动，即总惯性力矩应该与重力矩平衡，即：对于的这两个解中，0，不合题意，应予舍去。解法二在惯性参考系中，应把细棒的转动看作圆锥物理摆。在这种情况下，它的运动可以归结为圆锥摆的一种，而不是数学摆。棒和数学摆的周期相等，即：式中数学摆的摆长；为棒相对于O点的转动惯量。总的惯性向心力在棒上的作用点至O点的距离为：该点的回旋半径是：棒的运动方程为：或者如前所述为：也就得到同样的结果。例8弯曲的棒OA可以围绕竖直轴OY转动，OA上有一小环，它可以无摩擦地在OA上运动（图218）。要使小环在OA上以角速度转动时不沿OA运动，问弯曲的棒OA应该具有什么样的形状？（即求？）解法一在以角速度绕OY转动的非惯性参考系上来研究。以小环作为研究对象。它受到了重力mg、弯棒的支撑力N、惯性离心力（为小环到轴的距离）的作用。OA在以角速度转动时，要使小环不会顺着OA运动，就应该满足一个条件：在小环可能移动的方向上合外力为零，即：这里没有出现N，这是因为它与OA上各点的切线方向（即小环可能移动的方向）相垂直，即它在切向方程的分量为零。由