高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系课件 新人教A版选修21.pptVIP

1 1 2四种命题1 1 3四种命题间的相互关系 学习目标1 了解四种命题的概念 会写出所给命题的逆命题 否命题和逆否命题 2 认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系 3 会利用命题的等价性解决问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一四种命题的概念 初中已学过命题与逆命题的知识 什么叫做命题的逆命题 在两个命题中 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论 且第一个命题的结论是第二个命题的条件 那么这两个命题叫做互为逆命题 答案 思考2 除了命题与逆命题之外 是否还有其它形式的命题 有 答案 梳理 逆命题 结论和条件 否命题 否定 否定 逆否命题 结论的否定和条件的否定 思考1 知识点二四种命题间的相互关系 命题与其逆命题之间是什么关系 互逆 答案 思考2 原命题与其逆命题 否命题 逆否命题之间又是什么关系 原命题与其逆命题是互逆关系 原命题与其否命题是互否关系 原命题与其逆否命题是互为逆否关系 答案 梳理 1 四种命题间的关系 2 四种命题间的真假关系 由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系 两个命题互为逆否命题 它们有的真假性 两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性关系 真 真 假 真 真 假 假 假 没有 相同 知识点三逆否证法与反证法 1 逆否证法由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性 所以在直接证明某一命题为真命题有困难时 可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接证明原命题为真命题 2 反证法 1 反证法的步骤 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 从这个假设出发 经过推理论证 得出矛盾 由矛盾判定假设不成立 从而肯定命题的结论成立 2 反证法导出结果的几种情况 导出綈p为真 即与原命题的条件矛盾 导出q为真 即与假设 綈q为真 矛盾 导出一个恒假命题 即与定义 公理 定理矛盾 导出自相矛盾的命题 3 反证法与逆否证法的联系 1 依据相同 都是利用原命题与其逆否命题的等价性 2 起步相同 都是从 綈q 即否定结论 出发 入手 3 思想相同 都是 正难则反 思想的具体体现 4 反证法与逆否证法的区别 1 目的不同 反证法否定结论的目的是推出矛盾 而逆否证法否定结论的目的是推出 綈p 即否定条件 2 本质不同 逆否证法实质是证明一个新命题 逆否命题 成立 而反证法是把否定的结论作为新的条件连同原有的条件进行逻辑推理 直至推出矛盾 从而肯定原命题的结论 题型探究 命题角度1四种命题的写法例1把下列命题写成 若p 则q 的形式 并写出它们的逆命题 否命题与逆否命题 1 正数的平方根不等于0 解答 类型一四种命题的关系及真假判断 原命题 若a是正数 则a的平方根不等于0 逆命题 若a的平方根不等于0 则a是正数 否命题 若a不是正数 则a的平方根等于0 逆否命题 若a的平方根等于0 则a不是正数 2 当x 2时 x2 x 6 0 解答 原命题 若x 2 则x2 x 6 0 逆命题 若x2 x 6 0 则x 2 否命题 若x 2 则x2 x 6 0 逆否命题 若x2 x 6 0 则x 2 3 对顶角相等 解答 原命题 若两个角是对顶角 则它们相等 逆命题 若两个角相等 则它们是对顶角 否命题 若两个角不是对顶角 则它们不相等 逆否命题 若两个角不相等 则它们不是对顶角 由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论 根据其他三种命题的定义 确定所写命题的条件和结论 反思与感悟 跟踪训练1写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 1 实数的平方是非负数 解答 逆命题 若一个数的平方是非负数 则这个数是实数 否命题 若一个数不是实数 则它的平方不是非负数 逆否命题 若一个数的平方不是非负数 则这个数不是实数 2 等底等高的两个三角形是全等三角形 解答 逆命题 若两个三角形全等 则这两个三角形等底等高 否命题 若两个三角形不等底或不等高 则这两个三角形不全等 逆否命题 若两个三角形不全等 则这两个三角形不等底或不等高 命题角度2四种命题的真假判断例2写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断其真假 1 若a b 则ac2 bc2 解答 逆命题 若ac2 bc2 则a b 真命题 否命题 若a b 则ac2 bc2 真命题 逆否命题 若ac2 bc2 则a b 假命题 2 若四边形的对角互补 则该四边形是圆的内接四边形 解答 逆命题 若四边形是圆的内接四边形 则该四边形的对角互补 真命题 否命题 若四边形的对角不互补 则该四边形不是圆的内接四边形 真命题 逆否命题 若四边形不是圆的内接四边形 则该四边形的对角不互补 真命题 若原命题为真命题 则它的逆命题 否命题可能为真命题 也可能为假命题 原命题与逆否命题互为逆否命题 否命题与逆命题互为逆否命题 互为逆否命题的两个命题的真假性相同 在原命题及其逆命题 否命题 逆否命题中 真命题的个数要么是0 要么是2 要么是4 反思与感悟 跟踪训练2下列命题中为真命题的是 若x2 y2 0 则x y不全为零 的否命题 正三角形都相似 的逆命题 若m 0 则x2 x m 0有实根 的逆否命题 若x 是有理数 则x是无理数 的逆否命题 a b c d 答案 解析 原命题的否命题为 若x2 y2 0 则x y全为零 故为真命题 原命题的逆命题为 若两个三角形相似 则这两个三角形是正三角形 故为假命题 原命题的逆否命题为 若x2 x m 0无实根 则m 0 x不是无理数 x是有理数 故正确的命题为 故选b 例3证明 已知函数f x 是 上的增函数 a b r 若f a f b f a f b 则a b 0 类型二等价命题的应用 证明 方法一原命题的逆否命题为 已知函数f x 是 上的增函数 a b r 若a b 0 则f a f b f a f b 若a b 0 则a b b a 又 f x 在 上是增函数 f a f b f b f a f a f b f a f b 即原命题的逆否命题为真命题 原命题为真命题 方法二假设a b 0 则a b b a 又 f x 在 上是增函数 f a f b f b f a f a f b f a f b 这与已知条件f a f b f a f b 相矛盾 因此假设不成立 故a b 0 因为原命题与其逆否命题是等价的 可以证明一个命题的逆否命题成立 从而证明原命题也是成立的 正确写出原命题的逆否命题是证题的关键 同时注意这种证明方法与反证法的区别 反思与感悟 跟踪训练3证明 若a2 4b2 2a 1 0 则a 2b 1 证明 若a2 4b2 2a 1 0 则a 2b 1 的逆否命题为 若a 2b 1 则a2 4b2 2a 1 0 a 2b 1 a2 4b2 2a 1 2b 1 2 4b2 2 2b 1 1 4b2 1 4b 4b2 4b 2 1 0 命题 若a 2b 1 则a2 4b2 2a 1 0 为真命题 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知 原命题得证 类型三反证法的应用 证明 假设a b c都不大于0 即a 0 b 0 c 0 则a b c 0 而a b c x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 3 0 且 x 1 2 y 1 2 z 1 2 0 a b c 0 这与a b c 0矛盾 因此a b c中至少有一个大于0 1 求解此类含有 至少 至多 等命题 常利用反证法来证明 用反证法证明命题的一般步骤 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 从这个假设出发 经过推理论证 得出矛盾 由矛盾得出假设不正确 从而肯定命题的结论正确 2 常见的一些词语和它们的否定词语对照如下 反思与感悟 跟踪训练4设a b c r 且a2 b2 c2 求证 a b c不可能都是奇数 证明 方法一 逆否证法 依题意 就是证明命题 若a2 b2 c2 则a b c不可能都是奇数 为真命题 为此 只需证明其逆否命题 若a b c都是奇数 则a2 b2 c2 为真命题即可 a b c都是奇数 a2 b2 c2都是奇数 a2 b2为偶数 而c2为奇数 a2 b2 c2 原命题的逆否命题为真命题 原命题也为真命题 方法二 反证法 假设a b c都是奇数 则a2 b2 c2都是奇数 a2 b2为偶数 而c2为奇数 a2 b2 c2 与a2 b2 c2矛盾 假设不成立 原命题成立 当堂训练 1 命题 若綈p 则q 的逆否命题为a 若p 则綈qb 若綈q 则綈pc 若綈q 则pd 若q 则p 2 3 4 5 1 答案 2 下列命题为真命题的是a 命题 若x y 则x y 的逆命题b 命题 若x 1 则x2 1 的否命题c 命题 若x 1 则x2 x 2 0 的否命题d 命题 若x2 1 则x 1 的逆否命题 对a 即判断 若x y 则x y的真假 显然是真命题 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 3 命题 若x 1 则x 0 的逆命题是 逆否命题是 答案 若x 0 则x 1 若x 0 则x 1 2 3 4 5 1 4 在原命题 若a b b 则a b a 与它的逆命题 否命题 逆否命题中 真命题的个数为 逆命题为 若a b a 则a b b 否命题为 若a b b 则a b a 逆否命题为 若a b a 则a b b 全为真命题 答案 解析 4 5 已知命题p 若ac 0 则二次不等式ax2 bx c 0无解 1 写出命题p的否命题 命题p的否命题为 若ac0有解 解答