线性代数证明题.ppt

线性代数 证明题 张小向东南大学数学系E mail z990303 版本 2007 12 10 一 为什么要练习解决证明题 培养严谨的逻辑思维能力 为什么要培养严谨的逻辑思维能力 为什么要竞争 竞争 生存 为什么要生存 本能 二 我们为什么觉得证明题难 不清楚题目所涉及的概念不熟悉现存的有关结论分不清条件的必要性与充分性不善于组织语言没有积累足够的经验没有深入思考 三 证明题的难度分类 1 直接用定义 定理 性质 推论 公式 条件 结论 例1 设e1 100 e2 010 en 001 证明 1 e1 e2 en线性无关 2 任何一个n维向量都能由 e1 e2 en线性表示 可见k1 k2 kn 0 证明 1 所以e1 e2 en线性无关 不存在不全为零的数k1 k2 kn使k1e1 k2e2 knen 这就是说 若k1e1 k2e2 knen 例1 设e1 100 e2 010 en 001 证明 1 e1 e2 en线性无关 2 任何一个n维向量都能由 e1 e2 en线性表示 证明 2 因为 100 010 001 a1a2an a1 a2 an 所以任何一个n维向量都能由 e1 e2 en 线性表示 证明 2 对于任意的n维向量 a1 a2 an T 设 x1e1 x2e2 xnen 由此可得x1 a1 x2 a2 xn an 所以任何一个n维向量都能由e1 e2 en线性表示 这只是必要条件 即 经检验 a1e1 a2e2 anen确实成立 三 证明题的难度分类 直接用定义 定理 性质 推论 公式从结论往回推一步 条件 结论 对接 从条件往下推一步 例2 设 1 2 3线性无关 证明 1 1 2 3 2 2 3 3 3 也线性无关 1 2 3线性无关 1 2 3线性无关 证明 若k1 1 k2 2 k3 3 即k1 1 2 3 k2 2 3 k3 3 亦即k1 1 k1 k2 2 k1 k2 k3 3 又因为 1 2 3线性无关 所以k1 k1 k2 k1 k2 k3 0 由此可得k1 k2 k3 0 这就是说 不存在不全为零的数k1 k2 k3使k1 1 k2 2 k3 3 所以 1 2 3线性无关 三 证明题的难度分类 直接用定义 定理 性质 推论 公式从条件往下推一步 从结论往回推一步要走好几步而且有分岔 可能要讨论 归纳 条件 结论 例3 设A B A B都是可逆矩阵 证明A 1 B 1也是可逆矩阵 A B A B可逆 A 1 B 1可逆 注意到这几个矩阵都是方阵 例3 设A B A B都是可逆矩阵 证明A 1 B 1也是可逆矩阵 证明 因为A B A B都是可逆矩阵 A 1 BB 1 A 1A B 1 A 1 BB 1 A 1 AB 1 A 1 BB 1 AB 1 A 1 B A B 1 A 1 A B B 1 A 1 A B B 1 A 1 A B B 1 A 1 B 1 A 1I IB 1 所以 A B A B 都不为零 于是可得 0 可见A 1 B 1是可逆矩阵 四 怎样提高解决证明题的能力 学而不思则惘 思而不学则殆 春秋 论语 敏而好学 不耻下问 千里之行始于足下 春秋 老子 工欲善其事 必先利其器 四 怎样提高解决证明题的能力 不积跬步无以至千里 战国 荀子 劝学 锲而不舍 金石可镂 北宋 欧阳修 卖油翁 无他 惟手熟尔 清 彭端淑 为学 为之则难者亦易矣 五 爆炒证明题 例4 已知三角形ABC中 点D E F分别是边BC CA AB的中点 求证 AD BE CF 证明 因为D E F分别是BC CA AB的中点 例5 设 为两个不共线的向量 AB 2 BC 4 CD 5 3 证明 四边形ABCD是梯形 8 2 小样儿 还想刁难我 看我怎么摆平你 例5 设 为两个不共线的向量 AB 2 BC 4 CD 5 3 证明 四边形ABCD是梯形 8 2 即 4 则 4 这与 个不共线 矛盾 因而AD 2BC 0 即k1 2 k2 5 3 整理得 k1 5k2 2k1 3k2 所以k1 5k2 2k1 3k2 0 又因为 个不共线 由此可得k1 k2 0 这与 k1 k2不全为零 矛盾 综上所述 四边形ABCD必为梯形 例6 设M是 ABC的重心 O是 ABC所在平面上 的任意一点 证明 于是原命题得证 C A B 例7 设向量 互不平行 且 证明 证明 因为 类似地 可以证明 假若 则 必与 共线 可见 既与 共线又与 共线 但这与 互不平行 矛盾 此矛盾表明 注 本题条件 互不平行 可以换成 与 不平行 例8 若A B都是n阶对称矩阵 且AB BA 证明 AB也是对称矩阵 证明 因为A B都是n阶对称矩阵 即 AT A BT B AB T BTAT BA AB 又因为AB BA 所以 这就是说AB也是对称矩阵 注 还可以证明 若A B AB都是n阶对称矩阵 则AB BA 事实上 AB AB T BTAT BA 例9 设A 证明 方法一 用数学归纳法 略 求证 当n 2时 a100a100a An 方法二 先用数学归纳法证明 若矩阵M N满足MN NM 则对于任意的正整数n 若矩阵MN满足MN NM 则对于任意的正整数n 当n 1时 M N 1 M1 N1成立 由数学归纳法原理可知 则 M N k 1 M N k M N 令M a000a000a aI 因此当n 2时 且MN aN NM Mn aI n anI N4 N5 An M N n 例10 证明任何一个方阵都可以分解为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和 分析 设B是对称矩阵 C是反对称矩阵 A B C 则AT B C T BT CT B C 因而A AT B C B C 2B A AT B C B C 2C 由此可见 可以直接验证 是对称矩阵 是反对称矩阵 例10 证明任何一个方阵都可以分解为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和 证明 设A为任意方阵 B C 而且A B C 其中B是对称矩阵 C是反对称矩阵 例11 证明奇数阶反对称矩阵的行列式等于零 证明 设A为n阶反对称矩阵 n为奇数 则AT A 于是 A AT 1 n A A A 移项得2 A 0 故 A 0 例12 设A是n阶方阵 n 2 求证 A A n 1 证明 分两种情况讨论 1 当 A 0时 A 0 否则由 A 0可知A 可逆 而AA A I 0I O 于是A AA A 1 O A 1 O 由此可得A O 这与 A 0矛盾 因此 A 0 A n 1 例12 设A是n阶方阵 n 2 求证 A A n 1 证明 分两种情况讨论 2 当 A 0时 令 A a 于是a A A A 由此可得 A an 1 A n 1 则AA A I aI aI an AA 例13 设A是奇数阶方阵 且ATA I A 0 证明 设A是n阶方阵 n为奇数 则 求证I A不可逆 AT I A AT I A A I T A A I A I A ATA IA I A A 1 n I A A I A A 移项得 1 A I A 0 又因为 A 0 因而 I A 0 故1 A 1 所以I A不可逆 例14 设A I eeT I是n阶单位阵 e是n维非零 分析 1 设e 列向量 求证 1 A2 A eTe 1 2 当eTe 1时 A不可逆 则eT a1 a2 an eeT a1 a2 an O a12a1a2 a1ana2a1a22 a2anana1ana2 an2 eTe a1 a2 an a12 a22 an2 例14 设A I eeT I是n阶单位阵 e是n维非零 因为A I eeT 列向量 求证 1 A2 A eTe 1 2 当eTe 1时 A不可逆 A2 I eeT I eeT I eeT eeT eeTeeT I 2eeT e eTe eT 所以 I eTe 2 eeT 故A2 A I eTe 2 eeT I eeT eTe 1 eTe 1 eeT O eTe 1 0 证明 1 由e是n维非零列向量可知eeT是n阶 非零矩阵 eTe是1阶方阵 也就是一个数 例14 设A I eeT I是n阶单位阵 e是n维非零 则由A2 A可知A I 列向量 求证 1 A2 A eTe 1 2 当eTe 1时 A不可逆 进而得e eeTe Oe 因而eeT O 于是eTe 0 但这与eTe 1矛盾 此矛盾表明A不可逆 证明 2 当eTe 1时 由 1 可知A2 A 假若A可逆 注 也可以根据前面的分析得到eeT O与 例15 证明两个上三角矩阵的乘积是上三角矩阵 证明 设A aij n n和B bij n n都是上三角矩阵 即i j时 aij和bij都为零 令AB cij n n 则i j时 cij ai1b1j aijbjj ai j 1bj 1 j ainbnj 0 可见AB也是上三角矩阵 参考具体的例子 例16 设 1 2 3 4都是n维向量 已知 4不能由 证明 由条件可设 1 k1 2 k2 3 k3 4 1 2 3线性表示 但 1能由 2 3 4线性表示 求证 1能由 2 3线性表示 假若k3 0 则由上式可解出 这与 4不能由 1 2 3线性表示 矛盾 矛盾表明k3 0 因而 1 k1 2 k2 3 这就是说 1能由 2 3线性表示 例17 证明 在秩为r的向量组中任意r个线性无关 证明 设 1 2 s的秩为r 的向量都是它的极大无关组 这意味着 1 2 s有一个极大无关组 我们只要证明 线性无关的向量 1 2 s中任意一个向量 j都能由 线性表示 即可 无关的向量 我们只要证明 1 2 s中任意一个向量 j都能由 线性表示 即可 这r个向量线性表示 故原命题得证 例18 设有向量组I 1 2 3 II 1 2 3 4 证明 由秩 I 3可知I线性无关 III 1 2 3 5 已知秩 I 秩 II 3 秩 III 4 证明 1 2 3 2 4 5线性无关 由秩 II 3可知II线性相关 因而 4能由 1 2 3线性表示 设 4 k1 1 k2 2 k3 3 1 2 3 2 4 5 1 2 3 5 则 1000 2k12k22k31 0100 0010 故秩 1 2 3 2 4 5 秩 III 4 所以 1 2 3 2 4 5线性无关 I A 1 2 s II B 1 2 n j k1j 1 k2j 2 knj n j 1 2 s 即 这就是说 I能由II线性表示 存在K使得A BK 1 2 s 1 2 n 例19 设Rn中向量组I 1 2 s II 1 2 证明 1 t III 1 2 s 1 2 t 证明 max 秩 I 秩 II 秩 III 秩 I 秩 II 1 1 1 0 2 0 s 0 1 0 2 0 t 2 0 1 1 2 0 s 0 1 0 2 0 t s 0 1 0 2 1 s 0 1 0 2 0 t 1 0 1 0 2 0 s 1 1 0 2 0 t t 0 1 0 2 0 s 0 1 0 2 1 t 可见I和II都能由III线性表示 因此秩 I 秩 III 秩 II 秩 III 例19 设Rn中向量组I 1 2 s II 1 2 证明 1 t III 1 2 s 1 2 t 证明 max 秩 I 秩 II 秩 III 秩 I 秩 II 可见I和II都能由III线性表示 因此秩 I 秩 III 秩 II 秩 III 故得max 秩 I 秩 II 秩 III 2 设秩 I r 秩 II u 则存在矩阵Cr s和Du t使得 2 设秩 I r 秩 II u 于是有 1 2 s 1 2 t 1 2 s C i1 i2 ir 1 2 t D j1 j2 ju 则存在矩阵Cr s和Du t使得 r u 秩 I 秩 II 例20 设向量组I能由II线性表示 且秩 I 秩 II 证明 设I 1 2 s II 1 2 t 证明 II能由I线性表示 秩 I 秩 II r 令A 1 2 s B 1 2 t 存在矩阵Ft r使得C BF I能由II线性表示 存在矩阵Gr t使得B DG 存在矩阵Ft r使得C BF I能由II线性表示 存在矩阵Hs r使得C AH 令GF K 则K为r阶方阵且C BF DG F DK r 秩 C 秩 K r 秩 K r K可逆 D CK 1 B DG CK 1 G AH K 1G A HK 1G II能由I线性表示 例21 对任意m n矩阵A B 证明 秩 A B 秩 A 秩 B 证明 设A 1 2 n B 1 2 n 秩 A r 秩 B s 则A B 1 1 2 2 n n 且 1 1 2 2 n n能由 因而秩 A B 秩 1 1 2 2 n n r s 秩 A 秩 B 例21 设A为m n矩阵 1 2 s是Ax 的基础解系 证明 1 2 s 1 2 s s 2 证明 i k i i 1 2 s 也是 Ax 的基础解系 k 1 s 0 证明 1 2 s 1 2 s P P 0 P可逆 秩 1 2 s 秩 1 2 s s 1 2 s线性无关 对于Ax 的任意一个解向量 1 2 s 这s 1个向量能由 1 2 s 线性表示 1 2 s 线性相关 能由 1 2 s线性表示 由 和 可知 1 2 s也是Ax 的基础 解系 例22 设A为s m矩阵 B为m n矩阵 且AB O 证明 设秩 A r 证明 秩 A 秩 B m 1 2 m r为Ax 的基础解系 设B 1 2 n 则A 1 2 n AB O 1 2 n都是Ax 的解 1 2 n能由 1 2 m r线性表示 秩 1 2 n m r 秩 B m 秩 A 秩 A 秩 B m 例23 设A为m n矩阵 秩 A r 证明 Ax 的任意n r 证明 因为A为m n矩阵 秩 A r 个线性无关的解向量都是Ax 的基础解系 所以可设 1 2 n r为Ax 的一个基础解系 1 n r 这n r 1个向量能由 1 2 n r 下面设 1 2 n r是Ax 的任意n r个线性无关的解向量 我们只要证明Ax 的任意一个解 都能由 1 2 n r线性表示即可 线性表示 1 n r 线性相关 1 2 n r线性无关 事实上 能由 1 2 n r线性表示 所以可设 线性无关的向量 我们只要证明A中任意一个向量 i都能由 事实上 例23 设向量组A 1 2 s的秩为r 证明 A中任意r 证明 因为向量组A 1 2 s的秩为r 个线性无关的向量都是A的极大无关组 例23 设向量空间V的维数为r 证明 V中任意r个线性 证明 因为向量空间V的维数为r 无关的向量都是V的一组基 所以可设 1 2 r为V的一组基 1 r 这r 1个向量能由 1 r线性表示 下面设 1 2 r是V中任意r个线性无关的向量 我们只要证明V中任意一个向量 都能由 1 2 r线性表示即可 1 r 线性相关 1 2 r线性无关 事实上 能由 1 2 r线性表示 例24 设A为3阶可逆方阵 将A的第一行和第三行互换后 证明 由题意可知B P 1 3 A 得矩阵B 证明 B可逆 并求AB 1 其中P 1 3 可逆 A可逆 B可逆 B P 1 3 A B 1 A 1P 1 3 1 AB 1 AA 1P 1 3 1 P 1 3 1 P 1 3 例25 设A为m n矩阵 秩 A r 证明 证明 由题意可知存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q 1 存在r个秩为1的m n矩阵A1 A2 Ar使得 A A1 A2 Ar 2 存在秩为r的m r矩阵B及秩为