广东省广州市高山文化培训学校高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

广东省广州市高山文化培训学 校2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合m=x=x|3x1，n=x|x3，则集合x|x3或x1=( )amnbmncm（mn）dm（mn）2圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是( )abcd3复数（2i）+的虚部是( )aibcid4设p为曲线c：y=x2x+3上的点，且曲线c在点p处切线斜率的取值范围为，则点p横坐标的取值范围为( )abcd54张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )abcd6已知o，a，b是平面上的三个点，直线ab上有一点c，满足，则等于( )abcd7已知点p是抛物线y2=2x上的一个动点，则点p到点（0，2）的距离与p到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )ab3cd8设f（x）是连续的偶函数，且当x0时f（x）是单调函数，则满足的所有x之和为( )a3b3c8d8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分其中1315题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分注意：答案不完整不给分）9设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4；p（=k）=k（k=1，2，3，4），则=_10函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为_11已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，br）图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是_12已知f（x）=sin（0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则=_（坐标系与参数方程选做题）13点p（x，y）是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为_（不等式选讲选做题）14在三角形abc中，a，b，c所对的边长分别为a，b，c，其外接圆的半径r=1，则（4a2+9b2+c2）（+）的最小值为_（几何证明选讲选做题）15 如图，ab，cd是o的两条弦，它们相交于p，连结ad，bd已知ad=bd=4，pc=6，那么cd的长为_三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知向量，（1）若且 求；（2）求函数的单调增区间和函数图象的对称轴方程17某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量234频数205030（1）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望18如图，四棱锥pabcd中，底面abcd是直角梯形，abcd，dab=60，ab=ad=2cd，侧面pa底面abcd，且pad为等腰直角三角形，apd=90，m为ap的中点（）求证：adpb；（）求证：dm平面pcb；（）求二面角abcp的正切值19已知椭圆+y2=1的左焦点为f，o为坐标原点（1）求过点o、f，并且与直线l：x=2相切的圆的方程；（2）设过点f且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于a、b两点，线段ab的垂直平分线与x轴交于点g，求点g横坐标的取值范围20在数列an，bn中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（nn*）（）求a2，a3，a4和b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式；（）证明你的结论；（）证明：+21已知函数f（x）=mx3+nx2（m、nr，m0）的图象在（2，f（2）处的切线与x轴平行（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；（2）证明：对任意实数0x1x21，关于x的方程：在（x1，x2）恒有实数解（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件试用拉格朗日中值定理证明：当0ab时，（可不用证明函数的连续性和可导性）广东省广州市高山文化培训学校2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合m=x=x|3x1，n=x|x3，则集合x|x3或x1=( )amnbmncm（mn）dm（mn）考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：根据题意和交、并、补集的运算，分别求出mn、mn、m（mn）、m（mn），即可得答案解答：解：因为集合m=x|3x1，n=x|x3，所以mn=x|3x1，mn=x|x3，则m（mn）=x|x3或x1，m（mn）=x|x3，故选：c点评：本题考查交、并、补集的混合运算，属于基础题2圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是( )abcd考点：直线与圆相交的性质 分析：当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆没有公共点，这是充要条件解答：解：依题圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点故选c点评：本小题主要考查直线和圆的位置关系；也可以用联立方程组，0来解；是基础题3复数（2i）+的虚部是( )aibcid考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案解答：解：（2i）+=+=复数（2i）+的虚部是故选：b点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题4设p为曲线c：y=x2x+3上的点，且曲线c在点p处切线斜率的取值范围为，则点p横坐标的取值范围为( )abcd考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的概念及应用分析：由题意求导y=2x1，从而可得02x11；从而解得解答：解：由题意，y=2x1；则由曲线c在点p处切线斜率的取值范围为知，02x11；故x1；故点p横坐标的取值范围为故选d点评：本题考查了导数的求法及其几何意义的应用，属于基础题54张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )abcd考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n=6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m=4，由此能求出取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率解答：解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n=6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m=4，取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=故选：c点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件的概率计算公式的合理运用6已知o，a，b是平面上的三个点，直线ab上有一点c，满足，则等于( )abcd考点：向量加减混合运算及其几何意义 分析：本小题主要考查平面向量的基本定理，把一个向量用平面上的两个不共线的向量来表示，这两个不共线的向量作为一组基底参与向量的运算，注意题目给的等式的应用解答：解：依题故选a点评：本题是向量之间的运算，运算过程简单，但应用广泛，向量具有代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化7已知点p是抛物线y2=2x上的一个动点，则点p到点（0，2）的距离与p到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )ab3cd考点：抛物线的简单性质 专题：计算题分析：先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|pf|+|pa|af|，再求出|af|的值即可解答：解：依题设p在抛物线准线的投影为p，抛物线的焦点为f，则，依抛物线的定义知p到该抛物线准线的距离为|pp|=|pf|，则点p到点a（0，2）的距离与p到该抛物线准线的距离之和故选a点评：本小题主要考查抛物线的定义解题8设f（x）是连续的偶函数，且当x0时f（x）是单调函数，则满足的所有x之和为( )a3b3c8d8考点：偶函数 专题：压轴题分析：f（x）为偶函数f（x）=f（x），x0时f（x）是单调函数f（x）不是周期函数所以若f（a）=f（b）则a=b或a=b解答：解：f（x）为偶函数，且当x0时f（x）是单调函数若时，必有或，整理得x2+3x3=0或x2+5x+3=0，所以x1+x2=3或x3+x4=5满足的所有x之和为3+（5）=8，故选c点评：本题属于函数性质的综合应用，解决此类题型要注意：（1）变换自变量与函数值的关系：奇偶性：f（x）=f（x）增函数x1x2f（x1）f（x2）；减函数x1x2f（x1）f（x2）（2）培养数形结合的思想方法二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分其中1315题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分注意：答案不完整不给分）9设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4；p（=k）=k（k=1，2，3，4），则=考点：离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：由已知得（1+2+3+4）=1，由此能求出的值解答：解：离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4，p（=k）=k（k=1，2，3，4），（1+2+3+4）=1，解得=故答案为：点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题10函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为考点：二项式系数的性质；分段函数的应用 专题：函数的性质及应用分析：分别在上、上求得函数f（x）与x轴所围成的封闭图形的面积，再把这两个值相加，即得所求解答：解：在上，函数f（x）=x+1与x轴所围成的封闭图形的面积为11=，在上，函数f（x）=cosx与x轴所围成的封闭图形的面积为cosxdx=sinx=1，函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为+1=，故答案为：点评：本题主要考查分段函数的应用，定积分的意义，求定积分，属于基础题11已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，br）图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是考点：导数的几何意义；导数的运算；直线的斜率 专题：计算题；转化思想；综合法分析：函数f（x）=x3+ax2+b（a，br）图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，可得出函数的导数的最大值小于1解答：解：由题意f（x）=3x2+2ax，当x=时，f（x）取到最大值，是，解得故答案为：点评：本题考查导数的几何意义，解题的关键是理解导数的几何意义，能根据其几何意义将题设中的条件任意一点处的切线的斜率都小于1转化为导数的最大值小于1正确的转化基于对概念的正确理解与领会，学习时要注意领会揣摸概念的含义12已知f（x）=sin（0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则=考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：计算题；作图题；压轴题分析：根据f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，确定最小值时的x值，然后确定的表达式，进而推出的值解答：解：如图所示，f（x）=sin，且f（）=f（），又f（x）在区间内只有最小值、无最大值，f（x）在处取得最小值+=2k（kz）=8k（kz）0，当k=1时，=8=；当k=2时，=16=，此时在区间内已存在最大值故=故答案为：点评：本题考查由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查逻辑思维能力，分析判断能力，是基础题（坐标系与参数方程选做题）13点p（x，y）是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为考点：椭圆的简单性质 专题：计算题分析：先把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程，得，由此得到这个椭圆的参数方程为：（为参数），再由三角函数知识求x+2y的最大值解答：解：把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程，得，这个椭圆的参数方程为：，（为参数）x+2y=，故答案为：点评：本题考查椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用（不等式选讲选做题）14在三角形abc中，a，b，c所对的边长分别为a，b，c，其外接圆的半径r=1，则（4a2+9b2+c2）（+）的最小值为144考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：由正弦定理求出、，代入式子化简后，利用基本不等式求出式子的最小值解答：解：因为外接圆的半径r=1，所以=2，则、，所以（4a2+9b2+c2）（+）=（4a2+9b2+c2）（+）=16+36+4=56+（+）+（+）+（+）56+2+2+2=56+48+16+24=144，（当且仅当c=a=b时取等号），故所求的最小值是144，故答案为：144点评：本题考查正弦定理，以及基本不等式的应用，注意等号成立的条件的验证，属于中档题（几何证明选讲选做题）15 如图，ab，cd是o的两条弦，它们相交于p，连结ad，bd已知ad=bd=4，pc=6，那么cd的长为8考点：与圆有关的比例线段 专题：推理和证明；立体几何分析：根据ad=bd=4，=，dab=dba，确定出dab=acd，cda=adp，判断apdcad，运用对应边成比例即可判断求解解答：解：连接ac，dp=x，cd=6+xad=bd=4，=，dab=dba，acd=dab，即dab=acd，cda=adp，apdcad，对应边成比例，=，=，化简计算得出：x2+6x16=0，求解得出：x=2，x=8（舍去）x+6=2+6=8，故答案为：8点评：本题考查了圆周角，弦长问题，判断有关的角相等问题，得出相似三角形，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知向量，（1）若且 求；（2）求函数的单调增区间和函数图象的对称轴方程考点：正弦函数的对称性；数量积判断两个平面向量的垂直关系；正弦函数的单调性 专题：计算题分析：（1）利用两个向量垂直的性质可得sin+cos=0，再根据的范围，求得的值（2）化简函数的解析式为 y=，由得求函数的单调增区间，由 求得对称轴方程解答：解（1），sin+cos=0（2）=由得求函数的单调增区间是：由得对称轴方程是：点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，同角三角函数的基本关系，正弦函数的单调性和对称性化简函数的解析式，是解题的关键17某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量234频数205030（1）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布表 专题：计算题分析：（1）因为样本容量是100，根据表格可知周销售量为2吨，3吨和4吨的频数，根据所给的频数除以100，得到要求的频率（2）表示该种商品两周销售利润的和，且各周的销售量相互独立，根据表格得到变量的可能取值，对应变量的事件，根据相互独立事件同时发生的概率做出分布列和期望解答：解：（1）根据表格可知周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为=0.2，=0.5和=0.3（2）的可能值为8，10，12，14，16，且p（=8）=0.22=0.04，p（=10）=20.20.5=0.2，p（=12）=0.52+20.20.3=0.37，p（=14）=20.50.3=0.3，p（=16）=0.32=0.09的分布列为810121416p0.040.20.370.30.09e=80.04+100.2+120.37+140.3+160.09=12.4（千元）点评：本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，考查相互独立事件同时发生的概率，是一个综合题目18如图，四棱锥pabcd中，底面abcd是直角梯形，abcd，dab=60，ab=ad=2cd，侧面pa底面abcd，且pad为等腰直角三角形，apd=90，m为ap的中点（）求证：adpb；（）求证：dm平面pcb；（）求二面角abcp的正切值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）取ad的中点g，连结pg、gb、bd，由已知得pgad，abd是正三角形，bgad，从而ad平面pgb，由此能证明adpb（）取pb的中点f，联结mf、cf，由已知得四边形cdfm是平行四边形，由此能证明dm平面pcb （）取bc的中点e，联结pe、ge，则pec是二面角abcp的平面角，由此能求出二面角abcp的正切值解答：（）证明：取ad的中点g，连结pg、gb、bd pa=pd，pgadab=ad，且dab=60，abd是正三角形，bgadad平面pgb，adpb（）证明：取pb的中点f，联结mf、cf，m、f分别为pa、pb的中点，mfab，且mf=四边形abcd是直角梯形，abcd，且ab=2cd，mfcd，且mf=cd四边形cdfm是平行四边形，dmcf cf平面pcb，dm平面pcb （）解：取bc的中点e，联结pe、ge，四边形abcd是直角梯形，且abcd，geab，gebc，bc平面pec，bcpe，pec是二面角abcp的平面角设dc=a，则ab=ad=2a，g、e分别为ad、bc中点，ge=g是等腰直角三角形pad斜边的中点，pg=tanpeg=，二面角abcp的正切值为点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19已知椭圆+y2=1的左焦点为f，o为坐标原点（1）求过点o、f，并且与直线l：x=2相切的圆的方程；（2）设过点f且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于a、b两点，线段ab的垂直平分线与x轴交于点g，求点g横坐标的取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由a2=2，b2=1，可得c=1，f（1，0），由于圆过点o、f，可得圆心m在直线x=上，设m，则圆半径 r=，由|om|=r，得=，解得t即可得出（2）设直线ab的方程为y=k（x+1）（k0），代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4k2x+2k22=0，由于直线ab过椭圆的左焦点f，可得方程有两个不等实根设a（x1，y1），b（x2，y2），ab的中点n（x0，y0）利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系可得ab的垂直平分线ng的方程为，令y=0，得xg=+，即可得出解答：解：（1）a2=2，b2=1，c=1，f（1，0），圆过点o、f，圆心m在直线x=上，设m，则圆半径 r=，由|om|=r，得=，解得t=所求圆的方程为=（2）设直线ab的方程为y=k（x+1）（k0），代入，整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k22=0，直线ab过椭圆的左焦点f，方程有两个不等实根记a（x1，y1），b（x2，y2），ab的中点n（x0，y0）x1+x2=，ab的垂直平分线ng的方程为，=，y0=k（x0+1）=令y=0，得xg=x0+ky0=+=+，k0，xg0点g横坐标的取值范围为点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、线段的垂直平分线，考查了推理能力与计算能力，属于难题20在数列an，bn中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（nn*）（）求a2，a3，a4和b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式；（）证明你的结论；（）证明：+考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列与不等式的综合；数学归纳法 专题：等差数列与等比数列分析：（）由an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列得关系式2bn=an+an+1，an+12=bnbn+1把a1=2，b1=4循环代入上面两个式子可求a2，a3，a4和b2，b3，b4，并由此猜测出an，bn的通项公式；（）利用数学归纳法加以证明；（）当n=1时直接验证，当n大于等于2时放缩后利用裂项相消法证明解答：（）解：由已知得2bn=an+an+1，an+12=bnbn+1又a1=2，b1=4，由此可得a2=6，a3=12，a4=20，b2=9，b3=16，b4=25猜测an=n（n+1），bn=（n+1）2（）用数学归纳法证明：当n=1时，由（）可得结论成立假设当n=k时，结论成立，即ak=k（k+1），bk=（k+1）2那么当n=k+1时，ak+1=2bkak=2（k+1）2k（k+1）=（k+1）（k+2），bk+1=（k+2）2所以当n=k+1时，结论也成立由可知an=n（n+1），bn=（n+1）2对一切正整数都成立（）证明：=n2时，由（）知an+bn=（n+1）（2n+1）2（n+1）n故+=+（+）=+（）+=综上，原不等式成立点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，是数列与不等式的综合题，考查了数学归纳法，训练了放缩法及列项相消法证明不等式，是中档题21已知函数f（x）=mx3+nx2（m、nr，m0）的图象在（2，f（2）处的切线与x轴平行（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；（2）证明：对任意实数0x1x21，关于x的方程：在（x1，x2）恒有实数解（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得如我们所学过的