高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件 新人教A版必修4.ppt

第二章 平面向量 2 4平面向量的数量积 2 4 2平面向量数量积的坐标表示 模 夹角 自主预习学案 我知道我一直有双隐形的翅膀 带我飞飞过绝望 不去想他们拥有美丽的太阳 我看见每天的夕阳也会有变化 我知道我一直有双隐形的翅膀 带我飞给我希望 如果能为平面向量的数量积插上 翅膀 它又能飞多远呢 本节讲解平面向量数量积的 翅膀 坐标表示 它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的 双重身份 从而可以使几何问题数量化 把 定性 研究推向 定量 研究 1 平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a x1 y1 b x2 y2 它们对应坐标的乘积的和 x1x2 y1y2 x1x2 y1y2 0 知识点拨 1 公式a b a b cos与a b x1x2 y1y2都是用来求两向量的数量积的 没有本质区别 只是书写形式上的差异 两者可以相互推导 若题目中给出的是两向量的模与夹角 则可直接利用公式a b a b cos求解 若已知两向量的坐标 则可选用公式a b x1x2 y1y2求解 2 已知非零向量a x1 y1 b x2 y2 则a b与a b的坐标表示如下 a b x1y2 x2y1 即x1y2 x2y1 0 a b x1x2 y1y2 即x1x2 y1y2 0 两个结论不能混淆 可以对比学习 分别简记为 纵横交错积相等 横横纵纵积相反 2 平面向量的模与夹角的坐标表示设向量a x1 y1 b x2 y2 a与b的夹角为 则有下表 1 若向量a 1 2 b 1 2 则a b a 0b 2c 4d 52 已知平面向量a 3 1 b x 3 且a b 则x等于 a 3b 1c 1d 3 d b c 互动探究学案 命题方向 数量积的坐标表示 已知a 2 1 b 3 2 求 3a b a 2b 解析 解法一 因为a b 2 3 1 2 8 a2 22 1 2 5 b2 32 2 2 13 所以 3a b a 2b 3a2 7a b 2b2 3 5 7 8 2 13 15 典例1 解法二 a 2 1 b 3 2 3a b 6 3 3 2 3 1 a 2b 2 1 6 4 4 3 3a b a 2b 3 4 1 3 15 规律总结 进行向量的数量积运算时 需要牢记有关的运算法则和运算性质 解题时通常有两条途径 一是先将各向量用坐标表示 然后直接进行数量积的坐标运算 二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开 再依据已知条件计算 跟踪练习1 向量a 1 1 b 1 2 则 2a b a a 1b 0c 1d 2 解析 a 1 1 b 1 2 2a b a 1 0 1 1 1 c 命题方向 利用坐标解决向量的夹角问题 1 已知三点a 2 2 b 5 1 c 1 4 求 bac的余弦值 2 a 3 0 b 5 5 求a与b的夹角 典例2 规律总结 用坐标求两个向量夹角的四个步骤 1 求a b的值 2 求 a b 的值 3 根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦 4 由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角 跟踪练习2 设a 4 3 b 2 1 若a tb与b的夹角为45 求实数t的值 利用平行 垂直求参数 借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值 是向量运算的重要应用之一 具体做法就是借助a b a b r b 0 x1y2 x2y1 0或a b a b 0 x1x2 y1y2 0 其中a x1 y1 b x2 y2 列关于某参数的方程 或方程组 然后解之即可 思路分析 找出相互垂直的向量 利用向量垂直的坐标表示公式列方程求k即可 典例3 规律总结 解决本题的关键是要判断 abc中哪个内角为直角 故应进行分类讨论 不能只认为某个角就是直角 结果只考虑一种情况而导致漏解 跟踪练习3 已知三个点a b c的坐标分别为 3 4 6 3 5 m 3 m 若 abc为直角三角形 且 a为直角 求实数m的值 忽视向量共线致误 典例4 错因分析 以上错解是由于思考欠全面 由不等价转化而造成的 如当a与b同向时 即a与b的夹角 0 时cos 1 0 此时 2 显然是不合理的 思路分析 对非零向量a与b 设其夹角为 则 为锐角 cos 0且cos 1 a b 0且a mb m 0 为钝角 cos 0且cos 1 a b 0且a mb m 0 为直角 cos 0 a b 0 点评 对于非零向量a与b 设其夹角为 则 为锐角 cos 0 且cos 1 a b 0 且a mb m 0 为钝角 cos 0 且cos 1 a b 0 且a mb m 0 为直角 cos 0 a b 0 跟踪练习4 设a 2 x b 4 5 若a与b的夹角为钝角 求x的取值范围 c 2 已知向量a x 5 3 b 2 x 且a b 则由x的值构成的集合是 a 2 3 b 1 6 c 2 d 6 解析 考查向量垂直的坐标表示 a x 5 3 b 2 x a b a b 2 x 5 3x 0 解之得x 2 则由x的值构成的集合是 2 c 3 已知a 1 2 b 2 3 c 2 5 则 abc的形状是 a 直角三角形b 锐角三角形c 钝角三角形d 等边三角形 a 4 已知向量m 1 1 n 2 2 若 m n m n 则 a 4b 3c 2d 1 解析 本题考查数量积的运算 向量垂直的条件 m n 2 3 3 m n 1 1 m n m n m n m n 2 3 3 0 3 b 5 已知向量a与b