五阶幻方与易数系统.doc

- Page 1- 周易研究 2000年第2期(总第四十四期) 五阶幻方与易数系统 高治源 (延安教育学院数学系，陕西延安716000) 摘要：五阶幻方与洛书一样蕴古若丰富的易理思想。从五阶幻方的均衡和谐布局的数字结构中我 们可以分别找到太极、阴阳、四象、五行L卦、天干地支、河图涪书及其关系的巧妙体现。我们从这里综 合地思考易散系统，可能产生一个更广阔而深刻的认识空问。 关键词：幻方；河圈；洛书：易效系统 中圈分类号：腔2l；0157 文献标识码：A 文章编号：10033882(2000)02008209 Five-order Matrix锄d Numeml Systan of Yi GA0 ZhiM (Depar呻朗t of Mathematb，Y柚an Insl!i【ute0f Education，Y蚰an，716000ChlnH) Abs咖：Rve-ord盯ma讯x，IikeLloshu(the L帅wttiTlg)，abdund3、ithth0Llghts 0f zh叫yi thryThroLlgh the equilIbratirIg舭d hm】0而。喈dis研butionstnlcLure 0f numemIs in theve_ can 。rd廿n诅l：rix，thei“gia啦瞄【p螂ionbe删ht He Map)，L瞄hu肌d岫r eigh币gram，heav酬y-st锄州hly_branch，Hetu(the ndmionAnd a“d口and can be achievd讧nuIneml Yi is d鼬p盯underS酬ing syst锄of mp岫喇vdy嘣d刊 K坷wo”出：ma伍x；Hetu；Luoshu；num豇al sys七em of Yi 易数是解释宇宙的数学模式，其特点是突出数理哲学，它包括两仪、四象、五行、六爻、 八卦、十天干、十二地支、河图洛书数字系统等，这些易数的组成及符号结构、涵义，皆有一 定的自然科学及哲学背景，并且含有精辟的数理逻辑，它们是中华文化宫殿中的瑰宝，已 被广泛地运用于天文、历法、音律、医学、气功、养生学等各个方面。引起了当代易学家们 的研究热情。 当笔者在易数系统这座神秘的殿堂前徘徊时，却意外地步人了五阶幻方这个迷人的 数字世界。在这里我们发现，五阶幻方简直是易数系统的“集成块”，它几乎包含了易数系 统的各种内容。各种易数系统之间为什么既可以密切相联，又可以独立存在，综合起来可 知天地、晓事理，解释宇宙万物的变化原理，我们似乎从五阶幻方中能找到答案。 作者简介：高治凉(1960一)，男陕西省延安教育学院数学系剐柱授。 82 万方数据 - Page 2- 一、五阶幻方概述 五阶幻方是洛书之后的第二个奇阶幻方，三阶幻方的各种构造方法，都可以经推广后用 于构造五阶幻方。五阶幻方的幻和是65，即五行五列及两条主对角线所含五数之和均为 65，表现出一种均衡和谐的美妙特征。有人已计算出不同的五阶幻方有275305224种，其中 以13为中心的就有19079720种。洛书的中心数是5，而五阶幻方的中心数是13，五阶幻方 的许多内在变化往往与数字13密切相关。两亿多个五阶幻方确实是一个大千世界，有我 们研究不尽的奥秘，但我们对其中两类五阶幻方特别感兴趣。一类是五阶拓朴幻方(图1)， 它是从自然方阵(将l25各数按序填在五行中的方阵)中直接变换而来，即将自然方阵中 的行列内的数字组合变换到泛对角线上去，将对角线上的数字组合变换到行列中去，具体变 换方法见文1，这就像拓朴学中的变换一样，我们称为拓朴幻方。另一类是五阶完美幻方， 因它的十条泛对角线的含五数之和也都为65，表现出更优美的特性，引起了幻方研究者的 极大兴趣。幻方研究专家，湖北郑格于、甘肃黄均迪、上海徐桂芳、北京丁宝训、贵州施学良， 摄近不约而同地搞清楚了，不同结构的五阶完美幻方共有144种。 相克序列一 一相生序列 金木土水火 水金土火木 ll 24 7 20 3 20 U 7 3 24 4 12 25 8 16 生克 8 4 25 16 12 17 5 13 2l 9 2l 17 13 9 5 变换 10 18 l 14 22 14 10 1 22 18 23 6 19 2 15 2 23 19 15 6 图1五阶拓朴幻方 图2五阶完美幻方 二、五阶拓朴幻方的内在结构与洛书数字体系的联系 无论是从编造方法还是从内在结构看，五阶拓朴幻方都与洛书十分相似。25个数 中，13是中数，它正好居于五阶拓朴幻方的中心，而1在13的正下方，2在1的右下方。 下面我们给出几个同余式的遥算公式。利用这些公式，我们竟然可以从1和2开始，借助 中数13的每次参与，就可以巧妙地将五阶拓朴幻方的所有数字按部就班地计算出来。 同余式运算与周易中的“大衍之数占筮法”有所类似，古代数学家秦九韶就把“一次同 余式组解法”称为“大衍求一术”。五阶拓朴幻方的第一圈可用下列公式计算： (1)a十13Eb(mod26)； (2)b8+13三c(nlod26)； (3)将c代回(1)中的a进行计算。 只要我们把第一个原数a用1代替，就可蚪循环往复地运算下去，所求得的b和c都 是除以26的余数。26=52+1=213它是同余式运算的模。连续运算可得l，14，2l， 8，25。12，5，18各数，再计算又回到1上，这正像一个旋转体系一样一圈又一圈，永无止 83 万方数据 - Page 3- 境。这种规律在洛书中也同样存在(见文2)。 五阶幻方的第二圈从2开始，可用下列公式进行运算： (1)a+13一b(n州26)： (2)b11十13；c(mod26)； (3)c+13Ed(mod26)； (4)d9+135e(mod26)； (5)将e代回(1)中的a进行计算。 注意b、c、d、e相当于同余式左端数字除以26的余数，这样循环地计算下去，可得2、 16个数。 河圈与洛书的联系表现在洛书外圈8数，每相邻两数之差均为5。而在五阶拓朴幻 方中，不管是第一圈还是第二圈，相邻两数的差都等于13，即141=2l一8=2512=18 5；152=229=163=20一7=2411=174=2310=i96，可见五阶拓朴幻 方与洛书、河图都有密切联系。 如果我们把五阶拓朴幻方中的中心三阶方阵单独拿出来，我们立即会发现，它与洛书 的数字结构几乎相同，关于中心对称的两数之和都等于26。如果将中心数13分解成5 与8两数一个有趣的现象就出现了，因为5的各次幂的余数(m。d26)以5，25，21，1这四 个数为周期循环变化着，8的各次幂的余数(rnod26)以8，12，18，14这四个数为周期循环 变化着，而这种变化规律在五阶拓朴幻方中却呈现出这样的现象：当n依序增大变化时， 50和8“关于mcxl26的余数变化规律，就像绕着中心旋转的圆周运动一样，一圈叉一圈循 环往复地变化着(图3)。 Q D C 图3 图4 洛书中，差为5的两数的连线可构成“刑”字形图案，勾股数32+42=52中的三数的连 线可构成一个直角三角形。而在五阶拓朴幻方中，差为13的两数的连线可构成三个“刑” 字形图案，而勾股数52+122=132中的三数正好也构成一个直角三角形(图3)。 五阶拓朴幻方就像河洛易数系统一样，不仅象征银河星系循环旋转的模式，也代表着 日、地、月白转一周的阴阳消长规律。我们来看下面一个有趣现象，如图4，我们将五阶拓 84 万方数据 - Page 4-朴幻方分成四部分，可得四个数字集合c、x、Q、D，如集合c=13，18，1，14，23，6，19，2， 15，若在集合c中任取一个数c，那么5c除以26的余数x必定在集合x中，而且x与c 处在相同的对称位置上，如195=95，95；26x3+17；17(mod26)。这种规律我们可用 下列公式表述： 5c三x(ma控6)，xX； 5x5q(mod26)，qQ； 5q2d(mod26)，dD； 5d5c(mod26)，cC。 很明显，它们形成一种自转体系(按顺时针方向)，象征着春(c)、夏(x)、秋(Q)、冬(D)四 季消长变化的规律。这里的5是幻方的阶数，26=52+1可称为“满数”，关于rnod26的同 余式运算，与“阴阳消长”的意义正好吻合，即乘5以后，积小于满数，则为“长”，积大于满 数，则为“消”，如65=30，而30一4(rrIod26)，即30消去满数26变为4。 三、无极、太极、两仪、四象、八卦及十六卦的生数程序 如果我们把一个五阶拓朴幻方看作成一个宇宙星系的话，那么它的产生正好验证了 周易中的“无极生太极，太极生两仪，两仪生四象，四象牛八卦”的生数模式。 五阶方阵，这一个“小宇宙”原是一片空白，处在天地未发生之时，我们可称它为无极。 我们将13填在方阵中的中心格，13为中数，象征中和混沌状态，我们称它为太极。而13 可分解成一个偶数8和个奇数5，偶为阴，奇为阳，这正合太檄生两仪之说。现在我们 结果： 85；14(n1。d26)；145；18(mod26)； 185i12(i110d26)；125；8(mod26)? 可得循环变化的数8，14，18，12，这正台两仪生四象之说。如果再将这四个数与太极数13 结合起来，可进行下列运算： 8+13；21，14+13；1，18+13；5， 12+13；25，(rTlod26)。 最后可得四个奇数5，25，2l，l，它们与前面的四象舍在一起为8个数，这正合四象生八卦 之说。注意以上所生8个数正是五阶拓朴幻方内圈8数。 我们在“八卦”的基础上，按下列的法则进行运算，以4个阳数5，25，2l，l为基数，分 别加上所在一方的4个数，正好可得16个数，速正合八卦生十六卦之生数程序。具体过 程如下： (1)5分别加上1，18，5，12，得6，23，10，17这4个数。 (2)25分别加上5，12，25，8，其和超过26取除以26的余数，最后分别得4，儿，24，7 这4个数。 (3)21分别加上25，8，2114，其和取除以26的余数，则得20，3，16，9这四个数。 (4)1分别加上21，4，1，18，可得22，15，2，19这4个数。 将上面所得的16个数，按序填在阶方阵外圈的16格中(6填在1的左下格，按顺时 针方向填写)，就得图1的五阶拓朴幻方。 85 万方数据 - Page 5- 这是一个多么生动的生数系统啊，周易的哲理思想，在五阶幻方中表达的竟这样淋漓 尽致! 、 匪一口一田 (1)无极 (2)太极 船 田 瞅匠群 (4)四象 (5)八卦 (6)十六卦 图5 四、五行生克关系的奥妙 五阶拓朴幻方又是一个对称幻方，中心13处在中心格，关于中心对称的数对其和一 定等于26。而这种中心对称性又不止于以13为对称中心，其实幻方中的任意一数均可 作为中心，它四周数均可呈现对称性。如散“1”四周8个数就有选样的规律：19+13=14 +18=10+22=7十25。那么这种均衡对称性背后究竟还藏着什么呢? 下面我们来作这样一种变换，将五阶拓朴幻方的五列分别用金、木、土、水、火代替(圈 1)，这是一个相克序列，如果我们把相克序列变换成相生序列，即将它们所代表的列进行 列移动而重排，可得图2，它就是一个五阶完美幻方。 这种生克变换，使一个原不完美的幻方完美起来，显得十分奇妙，表现了五行生克转 换的妙趣。据统计约一千多个一般的五阶幻方，可通过生克变换转换成完美幻方。而这 种完美幻方不仅五行五列及10条泛对角线各所含的5十数之和等于65，而且下列四种 “星座”所古的5个数之和也必等于65(图8)。 大家知道，五行与五数的对应关系是：水为1，火为2，木为3，金为4，土为5。如果我 们将五阶完美幻方中的数y，用公式y=5(a一1)+b，换算成数对(a，b)，则得图7，如20= 5(41)十5，贝4有20=(4，5)。 下面我们将图7中的数统统用五行来代替，并分成两个方阵(图8)。图8是两个正 交的拉丁方，容易看出，拉丁方中的每行排列及每条泛对角线，每个星座所含的五格，正好 包括金、木、土、水、火五行。我们从中可直观地看到五阶完美幻方均衡美的本质。如果将 1=120种拉丁方B方也可变换出120 金、木、土、水、火的赋值程序打破，A方可变换出5 种拉丁方。如果用公式y=5(a一1)+b，还原成五阶幻方，则可得14400个五阶完美幻 方。但其中可找到每100个幻方属于同一结构，因为一个结构固定的五阶完美幻方，经行 列移动可得55=25个幻方，通过旋转变换，叉可得4个，故有254个幻方属于同一结 R6 万方数据 - Page 6-构的完美幻方，因而共有144个五阶完美幻方。 冈 F七悃 五 五 星 官 言 座 座 霞 图6 45 31 22 13 54 金 柬 火 水 土 土 水 火 未 金 23 14 55 41 32 火 水 土 金 未 未 金 土 水 火 S，1 42 33 24 15 土 盘 术 火 水 水 火 未 金 土 34 25 11 52 43 未 火 水 土 金 金 土 永 火 未 12 53 44 3+5 21 水 土 金 术 火 火 木 金 土 水 A B 图7 图8五行布局图 幻方研究者们，为了寻找所有的五阶完美幻方，花了不少心血，他们把144个完美幻 方罗列出来时，感到十分的烦琐，但我们却用周易中的五行思想，用两个“五行布局图”就 凝缩了144个五阶完美幻方，这是令人惊讶的。 圜一辑鬻 火 火 土 克 土 木 相生曲线圈 相克曲线图 图9 万方数据 - Page 7- 在五行布局图中，可以分割出九个三阶方阵，我们随意拿出一个米作研究，图9是以 水为中心的三阶方阵，而外圈则有两金、两木、两土、两火，与洛书的结构相似，显示了一种 洛书五行生成数的模式，其中的五行生克关系，标明了系统内部太极运化的过程。图9的 相生曲(折)线图和相克曲(折)线图正好可合成一个太极(“础”字)图。从中我们可看到， 五阶完美幻方处处是太极的特征。它是中医学研究人体五行生克变化的最好的数学模 型。人体中有五脏五腑，它们与五行可一一对应起来，脏腑间的生克变化，能使人体元气 运化达到和谐平衡，一旦某个部分有病，就会造成整个身体的不适或凌乱。五阶完美幻方 也正是这样，只要有一个数字过大或过小，就会使五阶幻方失去均衡性，它内在的和谐美 也就不复存在了。我们不得不说，也许人体结构与五阶完美幻方具有更深层次的联系，也 许五阶完美幻方正是解释人体为什么会有五官、五指、五脏、五腑的数学例证。 五、五阶完美幻方与天干地支 依据我国学者张春喧的自然数的稳定性理论可知，5是一个稳定的数，而10则是一 个对称稳定数。周易中的十天于与阴阳五行问的内在关系，正与lO的这一性质相吻合。 十天干也可分阴阳，属阴的五千可与五行对应，属阳的五千也可与五行对应，这样十天干 就相当于“双重五行”了。而五行布局图中，行、列、对角线及各种星座所含的五数正好与 金木土水火一一对应起来，它们中每两个间的组台就可与十天干对应起来。因而五阶完 美幻方通过“两五(行)合十(干)”的规则，表现出一种阴阳互补，单独稳定又内在和谐的美 妙。人体中，单独存在的5有很多，单独存在的10可以说没有，不过我们可以看到双手合 十，双脚合十，五脏与五腑合十等现象，这种现象正同五阶完美幻方的结构相同。因而我 们研究人体的元气变化，就可用“两五合十”的模式进行。 日月经天，星斗回转，广漠的天穹之上瑰丽多彩 的星象变化中，有七颗晶亮的星星，构成一个酒斗， 它就是我们熟悉的北斗星(图10)。北斗星绕着北 柄 极星旋转一周，经过12个特殊的位置，一年12月就 是由此而定的，故有“北斗旋指十二辰”之说。让我 们感到惊奇的是五阶完美幻方中，我们可以找到许 多个这样的“北斗星座”，它的斗魁4格和开阳格所 开阳 含的5数之和等于幻和65。并且更让人感叹的是， 这个五阶完美幻方中，绕中心13旋转一周，依次寻 图10北斗星 找北斗星座，竟然正巧能找到12个北斗星座，它正 是一个“北斗旋指十二辰”的美妙景象(图11)。 中医将十二地支与人体对应起来，来揭示人体生物钟的规律。在我们人体中有许多 个“12”，例如十二经脉、十二对脑神经、十二指肠、十二个胸节等，从中可看出人体与时空 变化息息相关。让我们费解的是，为什么人体中有那么多的“5”，也相应地有那么多的 “12”?五阶完美幻方给出了一个很有趣的解释，它的五行五列及5条左斜泛对角线和5 条右斜泛对角线，各含的5数之和都等于幻和65。它简直是一个5的世界，而巧的是它 也刚好包含有12个北斗星座。可见人体中5与12的相伴出现，似乎是一种必然的数学 联系，其中肯定蕴藏着深刻的宇宙学意义。 88 万方数据 - Page 8- 人体中的十二经络的循行是阴阳相袭、首尾相贯的圆用运动，这正同五阶完美幻方中 的12个北斗星座呈现的圆周循环一样，我们可以对五阶完美幻方这个数字模型，作更深 入的理解，从而进一步明确人体中的圆周运动与日月天体的圆道运行规律。 图1l北斗旋指十二辰 六、五阶完美幻方中的河图体系 河图是一个成五合十的对称图，内圈4数叫生数，外围4数叫成数。它的数字走向形 成自旋体系，与银河系的运转体系完全相似，象征着万物发展变化的模式。 如果我们说五阶完美幻方中也蕴藏着河图体系，也许大家不会相信，但这是真的，只 是这种特性暗藏在规律之中，我们是首次发现的。 五阶完美幻方中含有四种星座，加上直线格和斜线格两种，共有六种不同形状的分 块，所含五数之和等于幻和。这种和谐而均衡美使五阶幻方大放异彩，引起众多爱好者的 研究兴趣。不过真正让人感到深不可测的是，五阶完美幻方中还存在着数不清的“差分 五阶完美幻方中，a个格构成的固定形状所含a个数的和，减去b个格构成的固定形状所 舍b个数的和，其差均等于65，我们把这样的分块叫做“ab型差星座”。而这种差星座， 与河图的特性完全一致，我们将它们画出来，大家便一目了然了。图12就是我们在五阶 完美幻方中发现的河图体系之一，它是由五种差星座构成的，它不过是用方格代替了河图 万方数据 - Page 9- 中的圈点，因而同河图完全一样。方格中的数字组合是五阶完美幻方中的一种组合形式， 如“6一l型”差星座中有：(10十l+22十23+19+15)一25=65，“83型”差星座有：(11+ 20+8十21+17+14+2+23)一(13+16+22)=65。每种差星座在五阶完美幻方中可以 找到50个。虽然50个差星座的数字组合完全不同。但它们的和差计算结果都等于65。 2 20 11 l 20 1l 7 3 24 3 24 8 同 16 12 8 2l 17 3 4 藤 5 9 14 型 f 22 18 2 23 2 23 19 15 6 15 6 6 图12五阶完美幻方中的河图体系 五阶幻方所蕴古的易理思想是十分丰富的，它几乎包括了各种易数文化的内容。它 是洛书的推广，洛书包含的思想内容它基本上都具备，洛书中的一些不易发现的数字奥 秘往往会在五阶幻方中被挖掘出来。与洛书相比，五阶幻方的结构更加复杂它能够给 予我们更多的宇宙间事物演化规律的信息，它能给我们更多的智慧的启迪。我们既然对 洛书的研究能够报以那样大的热情，那么对五阶幻方的研究也应该引起重视丁。 参考文献： 1高治源奇妙的幻方M西安：陕西师范大学出版社，1995 2】高治源九宫图探秘千古之进破译(M)西安：陕西教育出版社，1999