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对数换底公式的探究及应用（修改稿）云南会泽一中 郭兴甫 邮编：654200课本66页中给出探究问题，你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？你推导了吗？这里给出一种证明，供你参考比较。证明：设 故成立。由对数的性质，利用换底公式易得探究变式：变式1.证明：变式2. 由变式1可证这里略。变式3.证明：由换底公式，可得变式4.证明：左边=右边。变式5.证明可仿变式4.这里略。举例：例1已知的值。分析：由于已知的对数和所求的对数的底数不同，可用换底公式换成常用对数，寻找已知和未知之间的关系，可将真数都化成质数的形式，方便计算。解：由评注：应用换底公式时一般换成以10为底或以其中一个底数相同的对数的形式，也可根据实际需要换成相应的底。例2.计算分析：因对数式中底数都不相同，故不能直接利用对数的运算性质计算。利用变式2化简每一个对数式。解：原式=评注：正确利用换底公式是快速，准确求解对数问题的有效途径之一。例3.设的值。分析：已知条件可转化为对数式，在利用换底公式将底数化为同底的对数式。解：评注：利用对数的底数与真数互换，对数值互为倒数，可把两对数的底数化为相同，进而可利用对数的性质运算。例4.计算分析：本题是求几个对数值的积的问题，由于底数不同，可利用变式4改变真数的位置，再把真数化为质数幂的形式。解：原式=2=8评注：本题的解答过程实际是把对数换底，再约分。例5已知的最大值和最小值。分析：由条件知的范围，将所求函数式化为用表示的形式，再用函数在闭区间上的最值问题求解。解： =时，故函数的最大值为2，最小值为。评注：解决本题的关键是正确利用换底公式把对数式转化为的形式，提示也是解决本题的一个难点。附注：本文适合第6期4版自主探究、方法技巧等栏目。笔者在教学中发现学生能灵活
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