河南省安阳县高中数学最新学案 第1章 第9 10课时 解三角形复习课（1）（教师版） 新人教A版必修5.doc

第9课时 解三角形复习课(1)、(2)学习要求 1 掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形；2 能利用计算器解决三角形的计算问题。【课堂互动】自学评价1正弦定理：txjy(1)形式一：= 2r ；形式二：；（角到边的转换）形式三：，；（边到角的转换）形式四：；（求三角形的面积）(2)解决以下两类问题： 1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解） 2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。(3)若给出那么解的个数为：若，则无解；若，则一解；若，则两解；2余弦定理：txjy(1)形式一：，听课随笔形式二：，（角到边的转换）(2)解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）【精典范例】一、判定三角形的形状【例1】根据下列条件判断三角形abc的形状：(1) 若a2tanb=b2tana；(2) b2sin2c + c2sin2b=2bccosbcosc;(3) (3)(sina + sinb + sinc) (cosa + cosb + cosc)=1.【解】(1)由已知及正弦定理得(2rsina)2 = (2rsinb)2 2sinacosa=2sinbcosbsin2a=sin2b2cos(a + b)sin(a b)=0 a + b=90o 或 a b=0所以abc是等腰三角形或直角三角形.(2)由正弦定理得sin2bsin2c=sinbsinccosbcosc sinbsinc0, sinbsinc=cosbcosc,即 cos(b + c)=0, b + c=90o, a=90o,故abc是直角三角形.(3)(sina + sinb + sinc) (cosa + cosb + cosc)=12sincos+ sin(a + b) 2coscos+ 2cos2- 1=02sincos+ sin(a + b) 2coscos - 2sin2=0(sin- cos)(cos- sin)=0sin( - )sinsin=0abc是rt.二、三角形中的求角或求边长问题【例2】abc中，已知：ab=2，bc=1，ca=，分别在边ab、bc、ca上取点d、e、f，使def是等边三角形.设fec=，问sin为何值时，def的边长最短？并求出最短边的长。分析：要求最短边的长，需建立边长关于角的目标函数。【解】设def的边长为x，显然c=90，b=60，故ec=xcos。因为dec=def+=edb+b，所以edb=。在bde中，由正弦定理得，听课随笔所以 ，因为be+ec=bc，所以，所以 当，。注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。【例3】在abc中，已知sinb=, cosa=, 试求cosc的值。【解】由cosa=，得sina=, sinbsina, b中能是锐角 cosb=,又 cosc= - cos(a + b)=sinasinb cosacosb=.【例4】在abc中，已知边上的中线bd=，求sina的值.分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.【解】设e为bc的中点，连接de，则de/ab，且de=在bde中利用余弦定理可得：bd2=be2+ed22beedcosbed，【例5】在abc中，角a、b、c所对的边分别为、b、c，且. （）求的值；（）若，求bc的最大值. 【解】() = = () 听课随笔,又 当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.三、解平面几何问题【例6】已知圆内接四边形abcd的边长分别为ab=2，bc=6，cd=da=4，求四边形abcd的面积。 分析：连结对角线bd，将四边形面积转化为三角形面积来求，而要求三角形面积，需求出a、c，这可由余弦定理列方程求得。【解】四边形abcd的面积s=.注：在应用正弦定理解题时要注意方程思想的运追踪训练一1. abc中a=6,b=6 a=30则边c=（ c ）a、6 b、12 c、6或12 d、62. abc中若sin(a+b) ，则abc是（ b ）a 锐角三角形 b 直角三角形 c 钝角三角形 d 等腰三角形3. abc中若面积s=则c=（ c ）a b c d4.abc中已知a=60，ab =ac=8：5，面积为10，则其周长为 20 ;5.abc中a：b：c=1：2：3则a：b：c= 1:2 . 【选修延伸】四、解实际应用问题【例7】某观测站c在a城的南偏西20方向，由a城出发有一条公路定向是南偏东40，由c处测得距c为31km的公路上b处有1人沿公路向a城以v=5km/h的速度走了4h后到达d处，此时测得c、d间距离为21km。问这人以v的速度至少还要走多少h才能到达a城。【解】由已知得cd=21，bd=20，cb=31，cad=60。设ad=x，ac=y。在acb和acd中，分别由余弦定理得，听课随笔人以v的速度至少还要走3h才能到达a城。五、证明三角恒等式【例8】在abc中， 求证： + +=0.【证明】因为 =4r2(cosb cosa),同理 =4r2(cosc cosb)=4r2(cosa cosc).所以左边=4r2(cosb cosa) + 4r2(cosc cosb) + 4r2(cosa cosc)=0 得证.【例9】在abc中，角a，b，c的对边分别为a, b, c, 证明：。【证明】由余弦定理知，两式相减得。所以，所以。由正弦定理，所以=。故等式成立。追踪训练二1abc中若面积sinacosbsinb=sincsinacosc 且周长为12，则其面积最大值为 36(3);2abc中已知sin(a+b)+sin(a+b)=,cos(a+b)+cos(a+b)= 求角a和b【解】 听课随笔 3abc中已