广东省揭阳一中、金山中学高考数学联考试卷 文（含解析）.doc

广东省揭阳一中、金山中学2015届高考数学联考试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合a=x|lg（x2）0，b=x|x2，全集u=r，则（ua）b=（）ax|1x3bcx|x=3dx|2x32（5分）复数在复平面内对应的点在第三象限是a0的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3（5分）已知数列an满足a1=1，an=an1+2n（n2），则a7=（）a53b54c55d1094（5分）已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（）a8b16c32d485（5分）对于函数f（x）=x2+mx+n，若f（a）0且f（b）0，则函数f（x）在区间（a，b）内（）a一定有零点b一定没有零点c可能有两个零点d至多有一个零点6（5分）曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）ae2b2e2c4e2d7（5分）下列程序框图的输出结果为（）abcd8（5分）设（，），则关于的方程2=tan的解的个数为（）a0b1c2d39（5分）点a到图形c上每一个点的距离的最小值称为点a到图形c的距离已知点a（1，0），圆c：x2+2x+y2=0，那么平面内到圆c的距离与到点a的距离之差为1的点的轨迹是（）a.双曲线的一支b.椭圆c抛物线d射线10（5分）定义两种运算：ab=，ab=，则函数为（）a奇函数b偶函数c奇函数且为偶函数d非奇函数且非偶函数二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（11-13题）11（5分）（+）与垂直，且|=2|，则与的夹角为12（5分）若等比数列an的前项n和为sn，且=5，则=13（5分）已知函数f（x）=（a1，x2）若x0c充要条件d既不充分也不必要条件考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：利用除法的运算法则：复数=a3i，由于在复平面内对应的点在第三象限，可得a0，即可判断出解答：解：复数=a3i，在复平面内对应的点在第三象限，a0，解得a0复数在复平面内对应的点在第三象限是a0的充分不必要条件故选：a点评：本题考查了复数的运算法则及其几何意义、充分不必要条件，属于基础题3（5分）已知数列an满足a1=1，an=an1+2n（n2），则a7=（）a53b54c55d109考点：数列的求和；数列的概念及简单表示法 专题：等差数列与等比数列分析：由于数列an满足a1=1，an=an1+2n（n2），利用“累加求和”an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1，及等差数列的前n项和公式即可得出解答：解：数列an满足a1=1，an=an1+2n（n2），an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=2n+2（n1）+22+1=+1=n2+n1，当n=1时也成立，=55故选：c点评：本题考查了“累加求和”方法、等差数列的前n项和公式，属于基础题4（5分）已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（）a8b16c32d48考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图可得该几何体是以底面为直角梯形的四棱锥，求出底面面积和高，代入可得答案解答：解：该几何体是以底面为直角梯形的四棱锥，底面面积s=12，高h=4，故体积故选：b点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图判断出几何体的形状是解答的关键5（5分）对于函数f（x）=x2+mx+n，若f（a）0且f（b）0，则函数f（x）在区间（a，b）内（）a一定有零点b一定没有零点c可能有两个零点d至多有一个零点考点：函数零点的判定定理 专题：计算题分析：结合二次函数的图象可知f（x）在区间（a，b）内的零点个数为0或2解答：解：由二次函数的图象可知f（x）在区间（a，b）内的零点个数为0或2故选c点评：本题考查对根的存在性定理的理解，准确把握根的存在性定理的条件和结论及它们之间的关系是解题的关键6（5分）曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）ae2b2e2c4e2d考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；作图题；导数的综合应用分析：由题意作图，求导y=，从而写出切线方程为ye2=e2（x4）；从而求面积解答：解：如图，y=；故y|x=4=e2；故切线方程为ye2=e2（x4）；当x=0时，y=e2，当y=0时，x=2；故切线与坐标轴所围三角形的面积s=2e2=e2；故选a点评：本题考查了导数的求法及曲线切线的求法，同时考查了数形结合的思想，属于中档题7（5分）下列程序框图的输出结果为（）abcd考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据程序框图，得到程序的计算功能为计算s=，直到不满足条件i2013即可得到结论解答：解：根据程序框图可知该程序的功能是计算s=，则根据数列求和的裂项法法可得s=1=1，故选：c点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件得到程序的计算功能是解决本题的关键，注意数列求和的基本方法8（5分）设（，），则关于的方程2=tan的解的个数为（）a0b1c2d3考点：根的存在性及根的个数判断 专题：计算题；函数的性质及应用分析：首先可判断方程2=tan若有解，解在区间考点：轨迹方程 专题：计算题分析：由题设条件能够推导出动点m（x，y）到两定点a（1，0），c（1，0）的距离之差为2，由|ac|=2，知点m的轨迹是射线解答：解：圆c：x2+2x+y2=0的圆心c（1，0），半径r=1，设平面内到圆c的距离与到点a的距离之差为1的点的坐标为m（x，y），则（1）=1，=2，即动点m（x，y）到两定点a（1，0），c（1，0）的距离之差为2，|ac|=2，点m的轨迹是射线故选d点评：本题考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意双曲线定义的灵活运用10（5分）定义两种运算：ab=，ab=，则函数为（）a奇函数b偶函数c奇函数且为偶函数d非奇函数且非偶函数考点：函数奇偶性的判断 专题：压轴题；新定义分析：先利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，最后看f（x）与f（x）的关系得结论解答：解：有定义知f（x）=，由4x20且|x2|20，得2x0或0x2，即函数f（x）的定义域为x|2x0或0x2，关于原点对称；f（x）=f（x），故f（x）是奇函数故选：a点评：本题是对函数新定义与奇偶性的综合考查，关于新定义的题，关键在于理解新定义，并会用新定义解题二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（11-13题）11（5分）（+）与垂直，且|=2|，则与的夹角为120考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 专题：计算题；平面向量及应用分析：设|=1，则|=2|=2，再根据（+）与垂直，求出两向量夹角的余弦值，利用向量夹角的范围求出向量的夹角解答：解：设|=1，|=2|=2，（+），（+）=+=0，=|cos，=2cos=1，cos=，又0cos180cos，=120，故答案为：120点评：本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力12（5分）若等比数列an的前项n和为sn，且=5，则=17考点：等比数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：根据等比数列的前n项和公式，求出公比即可得到结论解答：解：若公比q=1，则=5，公比q1由=5得，即q2=4，=故答案为：17点评：本题主要考查等比数列通项公式和前n项和公式的计算，要求熟练掌握相应的公式，考查学生的计算能力13（5分）已知函数f（x）=（a1，x2）若x0，故答案为：点评：本题主要考查函数最值的应用，根据函数的单调性之间的关系是解决本题的关键（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14（5分）在极坐标系中，过点a（4，）引圆=4sin的一条切线，则切线长为4考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：首先，将极坐标下的点a和圆的方程化为直角坐标下的相应的点和圆，然后，根据直角三角形中的边角关系，求解切线长即可解答：解：由=4sin，得x2+y24y=0，x2+（y2）2=4，根据a（4，），得a（0，4），设圆心为o，半径为r，则|oa|=6，切线长为d=，故答案为：4点评：本题重点考查点、圆的极坐标方程和直角坐标的互化、切线长的计算等知识，属于中档题（几何证明选讲选做题）15如图，pa是圆o的切线，切点为a，po交圆o于b，c两点，且pa=2，pb=1，则ab的长为考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；立体几何分析：利用切割线定理，求出pc，bc，再利用pabpca，即可得出结论解答：解：pa是圆o的切线，切点为a，po交圆o于b，c两点，pa2=pbpc，pa=2，pb=1，pc=4，bc=3，pabpca，ab=故答案为：点评：本题考查切割线定理，考查三角形相似的性质，考查学生的计算能力，属于中档题三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）如图，在直角坐标系xoy中，角的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点a，且将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点b记a（x1，y1），b（x2，y2）（）若x1=，求x2； （）分别过a，b作x轴的垂线，垂足依次为c，d记aoc的面积为s1，bod的面积为s2若s1=s2，求角的值考点：三角函数中的恒等变换应用 专题：计算题分析：（i）根据三角函数定义求得 x1=cos，再利用x1=，求得cos，sin，然后利用x2=cos（+）=cossin求x2；（ii）根据图形用的三角函数表示s1、s2，利用s1=s2求得tan2，分析2的范围求得2，从而求得解答：解：（i）由三角函数定义，得 x1=cos，（，），cos=，sin=，x2=cos（+）=cossin=（）解：依题意得 y1=sin，y2=sin（）s1=x1y1=sin2，s2=|x2|y2=sin（+）|cos（+）|=sin（2+），s1=s2sin2=sin（2+）=sin2cos2，整理得tan2=，2，2=，即=点评：本题主要考查三角函数的定义及三角函数恒等变形，考查了学生运用三角函数的知识解决问题的能力17（12分）从某校2015届高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高据测量，被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果分成八组得到的频率分布直方图如图（）试估计这所学校2015届高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数为多少；（）在样本中，若学校决定身高在185cm以上的学生中随机抽取2名学生接受某军校考官进行面试，求：身高在190cm以上的学生中至少有一名学生接受面试的概率考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图 专题：概率与统计分析：（i）由频率分布直方图，结合各组累积频率为1，及每组的频率=矩形的面积=矩形的高组距，可求出身高介于185cm190cm的频率，进而求出身高在180cm以上的累积频率，进而根据频数=频率样本容量得到答案（ii）根据频数=频率样本容量，可以求出身高介于185cm190cm的学生人数和身高介于190cm195cm的学生人数，进而由组合数公式，可求出从身高在185cm以上的学生中随机抽取2名学生的事件个数及身高在190cm以上的学生中至少有一名学生接受面试的事件个数，代入古典概型概率公式，可得答案解答：解：（）由频率分布直方图可知，样本中身高介于185cm190cm的频率为：1（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06+0.016+0.008）5=0.06，（3分）800名学生中身高在180cm以上的人数为：800（0.0165+0.06+0.0085）=144人 （6分）（）样本中，身高介于185cm190cm的学生人数为500.06=3人，身高介于190cm195cm的学生人数为500.0085=2人（8分）“身高在185cm以上的学生5人中随机抽取2名学生”的基本事件数共10种，（10分）其中抽取的2名学生中“身高在190cm以上的学生中至少有一名学生”的基本事件数有=7种所求事件的概率为 （12分）点评：本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，频率分面直方图，其中利用公式：频数=频率样本容量计算出满足条件的各组人数是解答的关键18（14分）如图，已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，且acb=90，bac=30，bc=1，aa1=，点p、m、n分别为bc1、cc1、ab1的中点（1）求证：pn平面abc；（2）求证：a1mab1c1；（3）求点m到平面aa1b1的距离考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）证明pn平面abc，利用线面平行的判定，只需证明pnac；（2）证明a1mab1c1，只需证明ac1a1m，b1c1a1m；（3）利用，可求点m到平面aa1b1的距离，解答：（1）证明：连结cb1，p是bc1的中点，cb1过点p，（1分）n为ab1的中点，pnac，（2分）ac面abc，pn面abc，pn平面abc（4分）（2）证法一：连结ac1，在直角abc中，bc=1，bac=30，ac=a1c1=（5分）=，rta1c1mrtc1ca（7分）a1mc1=cac1，ac1c+cac1=ac1c+a1mc1=90ac1a1m（8分）b1c1c1a1，cc1b1c1，且c1a1cc1=c1b1c1平面aa1cc1，（9分）b1c1a1m，又ac1b1c1=c1，故a1m平面a b1c1，（11分）证法二：连结ac1，在直角abc中，bc=1，bac=30，ac=a1c1=（5分）设ac1a1=，ma1c1=，（7分）+=90 即ac1a1m（8分）b1c1c1a1，cc1b1c1，且c1a1cc1=c1b1c1平面aa1cc1，（9分）b1c1a1m，又ac1b1c1=c1故a1m面a b1c1，（11分）】（3）设点m到平面aa1b1的距离为h，由（2）知b1c1平面aa1cc1（12分）=即点m到平面aa1b1的距离为（14分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查点m到平面aa1b1的距离，用好等体积是关键19（14分）已知数列an满足an=3an1+3n1（nn，n2）且a3=95（1）求a1，a2的值；（2）是否存在一个实数t，使得bn=（an+t）（nn）且bn为等差数列？若存在，求出t的值，如不存在，请说明理由；（3）求数列an的前n项和sn考点：数列递推式；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）数列an满足an=3an1+3n1（nn，n2）且a3=95分别令n=3，2，解出即可（2）由an=3an1+3n1（nn，n2），变形为，利用“累加求和”可得an=假设存在一个实数t，使得bn=（an+t）（nn）且bn为等差数列bn+1bn=一个常数即可（3）由（2）可得：an=可得数列an的前n项和sn=+（2n+1）3n，设tn=33+532+（2n+1）3n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出解答：解：（1）数列an满足an=3an1+3n1（nn，n2）且a3=95令n=3时，=95，解得a2=23令n=2时，1=23，解得a1=5a2=23，a1=5（2）由an=3an1+3n1（nn，n2），变形为，=+=+=（n1）+=+，an=假设存在一个实数t，使得bn=（an+t）（nn）且bn为等差数列则bn+1bn=，当t=0时，bn+1bn=3为一个常数因此存在一个实数t=0，使得bn=（an+t）（nn）且bn为等差数列（3）由（2）可得：an=数列an的前n项和sn=+（2n+1）3n设tn=33+532+（2n+1）3n，则3tn=332+533+（2n1）3n+（2n+1）3n+1，2tn=33+232+233+23n（2n+1）3n+1=3+（2n+1）3n+1=2n3n+1，tn=n3n+1数列an的前n项和sn=+3n+1点评：本题考查了递推式的应用、“累加求和法”、“错位相减法”、等差数列的定义、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题20（14分）如图，o为坐标原点，双曲线c1：=1（a10，b10）和椭圆c2：+=1（a2b20）均过点p（，1），且以c1的两个顶点和c2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形（）求c1、c2的方程；（）是否存在直线l，使得l与c1交于a、b两点，与c2只有一个公共点，且|+|=|？证明你的结论考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由条件可得a1=1，c2=1，根据点p（，1）在上求得=3，可得双曲线c1的方程再由椭圆的定义求得a2=，可得=的值，从而求得椭圆c2的方程（）若直线l垂直于x轴，检验部不满足|+|若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为 y=kx+m，由 可得y1y2=由 可得 （2k2+3）x2+4kmx+2m26=0，根据直线l和c1仅有一个交点，根据判别式=0，求得2k2=m23，可得0，可得|+|综合（1）、（2）可得结论解答：解：（）设椭圆c2的焦距为2c2，由题意可得2a1=2，a1=1，c2=1由于点p（，1）在上，=1，=3，双曲线c1的方程为：x2=1再由椭圆的定义可得 2a2=+=2，a2=，=2，椭圆c2的方程为：+=1（）不存在满足条件的直线l（1）若直线l垂直于x轴，则由题意可得直线l得方程为x=，或 x=当x=时，可得 a（，）、b（，），求得|=2，|=2，显然，|+|同理，当x=时，也有|+|（2）若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为 y=kx+m，由 可得（3k2）x22mkxm23=0，x1+x2=，x1x2=于是，y1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=由 可得 （2k2+3）x2+4kmx+2m26=0，根据直线l和c1仅有一个交点，判别式=16k2m28（2k2+3）（m23）=0，2k2=m23=x1x2+y1y2=0，|+|综合（1）、（2）可得，不存在满足条件的直线l点评：本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理，体现了分