单位菱形面积定义正弦.doc

重建三角，全局皆活2010年5月29日 发表评论 阅读评论 本文标题引用了中国科学院院士张景中教授的文章重建三角，全局皆活初中数学课程结构性改革的一个建议。今天无意间又找出这篇文章，读了个痛快！记得2007年5月份，我接到了一个任务，按张院士文章内容上一节课。要录像，要给张院士看。我欣然答应。张院士的文章重建了三角函数的理论体系，三角函数的定义发生了根本的变化，“把边长为1，有一个角为A的菱形面积记作sinA”。由这个定义居然能推导出以下一些结论，有些内容连小学生都听得懂：1、三角形面积2、正弦的基本性质（1）sin0=sin180=0;（2）sin90=1;（3）sinA=sin(180-A)3、直角三角形中锐角的正弦4、正弦定理5、正弦和角公式 sin(+)=sinsin(90-)+sinsin(90-)6、二倍角公式 sin2A=2sinAsin(90-A)7、特殊角的正弦值（1）；（2）；（3）8、几何定理（1）直角三角形中，30角的对边是斜边的一半；（2）勾股定理9、正弦的增减性10、三角形两边之和大于第三边这么多的内容，一节课里选什么内容好呢？我选了“正弦定义”、“三角形面积公式”、“正弦的性质”、“特殊角的正弦值”、“直角三角形中锐角的正弦”五个知识点。当时上的班级是初一，结果因抽象程度太高，学生理解困难，练习题不会做。我佩服张景中院士的智慧，谁能打破三角函数原有的体系？又有谁能建立新的体系?唯有景中！而且三角函数原有的性质、定理、公式一概不变，也就是“全局皆活”。但是，这样构建新体系好处在哪里？我不清楚。学生学习会遇到什么困难？我可以肯定学生遇到的困难比原来要多，低年级（如初一）的学生会有更多的困难。所以教材编写者不敢轻举妄动，还是袭用原来体系。下面是我这节课的教案，发表于此，以飨读者。一、认识正弦同学们，我们都知道边长为1的正方形面积为1，如果把一个直角变为，就成为一般的菱形，其面积就不是1了，究竟为多少呢？我们不知道，但肯定与有关。我们不妨记作sin。即一个角为的菱形面积定义为sin。如果=30，面积=sin30等。当正方形ABCD的边长不是1时，设它的面积为S，变成一个角为的菱形面积为s，我们可以证明s/S=sin。上图中假设AB=3，则可以将正方形划分成9个单位正方形，菱形也如此，每个单位菱形与单位正方形的比都是sin，所以s/S=sin。将上述问题中的正方形改为矩形，设矩形的面积为S，变成一个角为的平行四边形面积为s，我们同样可以证明s/S=sin。这就说明将一个矩形的一个直角边成后，面积是原来的sin倍。张奠宙教授形象地说： 一个长方形（含正方形），不改变其边长，当直角变为时，面积所打的折扣是sin。他将sin比作“折扣”，非常形象非常贴切。从上图我们还可以看出，设AB=a，AD=b，A=，则。二、 与正弦有关的面积公式1、 边长分别为a、b，一个内角为的平行四边形ABCD的面积是absin；2、 两边分别为a、b，夹角为的三角形面积是.三、 正弦的性质认识了正弦之后，我们不难得到正弦的性质。当=0或180时菱形的面积为0，所以sin0=sin180=0，这里列举性质如下：1、sin0=sin180=02、sin90=13、sin=sin(180-)4、 当为锐角时，越大sin就越大；当为钝角时，越大sin就越小。练习一1、 用计算器求值：sin30，sin40，sin45，sin120.2、边长分别为2、4，一个内角为30度的平行四边形ABCD的面积是 。3、两边分别为6、5，夹角为45度的三角形面积是 。4、在括号内写出角的度数，使等式成立sin40=sin（ ），sin170=sin（ ）.四、正弦再认识如图，在直角ABC中，C=90，BC=a，AC=b，AB=c，那么有=，化简后得。即 在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边之比。练习二1、如上图，ABC中C=90。，BC=6，sinA=0.6，求AB的长。2、在第1题中如果AC=8，求sinB。