厦门理工学院2014概率论与数理统计复习.doc

第一章 概率论的基本概念1、概率的定义和基本性质（1）概率的几种定义（2）概率的性质 逆事件的概率 单调性； 设是两个事件，且则且 更一般地，若是两个任意事件，则 故 加法定理；若是两个任意事件，则 特别地，若独立，则 有限可加性； 若个事件满足则2、条件概率（1） 定义； （其中）称为在事件发生的条件下事件发生的条件概率，它本质上仍是事件的概率。（2）乘法公式；（3）基于条件概率的全概公式与贝叶斯公式； 若是一个完备事件组，则 为全概公式。【可以理解为的发生是由造成的】而为贝叶斯公式；利用它可以求的条件概率。【既然的发生是由造成的，那么各个应该为此贡献了多大（或该分摊多少责任）呢？】3、事件的独立性 (1) 定义； 若，即事件发生的概率与事件的发生与否无关，此为 相互独立；因此相互独立（2）独立事件的性质 若相互独立，则与，与，与都相互独立； 事件相互独立，即其中任意个事件相互独立；因此相互独立比两两相互独立结论更强，条件更苛刻，因为两两独立只是的情形。【相互独立与互不相容的关系： 互不相容，故，它们之间是不共戴天的，其中一个事件的发生对另外一事件有影响，因此不独立】考点：1个填空题+3个选择题+1个计算题（全概公式或贝叶斯公式）（6分）=18分第二章 随机变量及其分布引进随机变量的目的是为了数量化刻画随机事件，根据随机变量离散或连续性，便有了离散与连续性分布。1、 随机变量的分布函数； 设是随机变量，是任意实数（可看作相对固定的数），函数称为的分布函数。【即为数量化的事件，数轴上可表示为左边的数集】2、 性质；（参看课本）【离散型随机变量的分布函数是阶梯函数，由分布函数的定义可知它右连续，即存在右连续的间断点；而连续性随机变量分布函数当然既左连续且右连续】3、 概率密度函数； 它反映的是事件平均在单位长度的概率大小，因此作为被积函数。【要求：熟练掌握离散性随机变量分布列，以及求连续性随机变量的分布函数或密度函数】4、 几个常见离散与连续性分布；（1）离散型：0-1分布，二项分布，泊松分布【泊松分布式二项分布的极限形式，即当很大，较小时，可用泊松分布近似二项分布】（2）连续型：均匀分布、指数分布、二项分布【鉴于连续型随机变量的分布函数用定积分描述，而表示在上围成的面积，因此应将概率与“面积”对应起来考虑，这样更直观；不要将均匀分布与正态分布符号混淆】【另外：对于标准正态分布的分位点，其定义是，故，这与分布的分位点查表法有区别】5、 随机变量函数的概率分布（重难点）若为随机变量，则仍是随机变量，因此的分布与的分布是有联系的。本节大家应掌握好分布函数法求诸如等随机变量的概率密度。 【看懂课本3个离散、3个连续型分布的分布律与分布函数，能求随机变量的分布律或概率密度函数】考点：2填空题+1选择+1计算题+1证明题（4分）=19分第三章 多维随机变量及其分布1、 定义； 随机向量对应的分布函数便是多元函数，分离散型和连续型；2、边际分布； 即利用的联合分布列或联合分布函数，求出关于或 的各自分布。3机变量的独立性； 本节是第一章事件独立性的延续，相互独立故用来定义与的独立性。与的独立性用密度函数关系来判断。【参课本例】 4、两个随机变量的函数的概率分布（重难点） 【能求常见作为新的随机变量的分布】考点：计算题（9分）第四章 随机变量的数字特征数学期望、方差的定义，性质应熟记，能算；常见6种分布的期望与方差熟记。 数学期望是定义方差、协方差、矩的基础，要注意公式的灵活运用、各性质；会求协方差与相关系数。考点：2填空题+1选择+1计算题（6分）=15分第五章 大数定律及中心极限定理大数定律和中心极限定理就是使用极限方法研究大量随机现象统计规律性的。 阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一系列定律都称为大数定律。 论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某一分布的定理称为中心极限定理。（1） 大数定律表明，若随机变量相互独立、同分布，则当较大时，的数学期望可以被的算术平均值近似；【由于仍然是随机变量，因此当较大时的数学期望可以被的算术平均值近似，如：可以被近似，这就来源于辛钦大数定律，这一推论直接应用于第七章矩法点估计，鉴于算术平均值的稳定性，因此将它近似数学期望】（2） 中心极限定理说明，具有数学期望，方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。【即，其标准化的随机变量，这一结论在后面的章节中应用广泛；另外，大家注意到，第六章三个重要分布定义中的样本都来自于正态分布；其实，无论样本来自于什么总体，根据中心极限定理，其和仍近似服从正态分布】不难发现，本章结论实际上是数理统计的重要理论依据。考点： 1选择=3分第六章 数理统计的基本概念1、统计量实际上是元随机变量的函数，可以看作是元函数；几个常用统计量样本均值、样本方差、样本矩是比较有价值而常用的统计量。2、三个重要分布于抽样定理； 统计量的分布称为抽样分布，本质上它们仍是多维随机变量函数的概率分布，鉴于是随机变量，因此这三个统计量仍是随机变量，它们各自的概率分布分别称为分布、分布、分布；它们具有概率论中分布的性质。设是来自于中的样本，则定义如下三个统计量：， ， （1） 对来自于单个正太总体的，有如下结论： ， ， （总体已知）， （未知） ，而（注意差别）【熟记，其用于区间估计】考点：1填空题+1选择=6分第七、八章 参数估计与假设检验 1、之所以将这两章放一起，就是因为它们都属于统计推断问题。参数的点估计就是估计总体的某未知参数，用关于的函数（即统计量）表示出来，这个用于估计的统计量便是估计量，将抽样观测值代入估计量后，该值便是该参数的近似值。常用点估计方法有矩估计法与极大似然估计法。 2、 区间估计；估计出总体的某未知参数的可信范围，因此更具有实用性。（1） 对于单个正态总体，通常估计总体的期望与方差；比如，估计期望的置信区间，就要考虑方差是否已知，从而选取不同的估计量；【不用背置信区间，而是要掌握其思想，能对照例题脱稿算算，记住第六章后面的那几个公式及结论】3、 假设检验（第八章）（1）两个对立假设与，只有一个成立（客观上）；但鉴于抽样检测具有随机性，不可避免出现将客观上对的当成错的，但这种可能性是很小的，即犯错误为小概率事件。思路：不妨先假设正确，错；那么检测中应该与此相符才对，退一步来讲，的发生应该是小概率事件，而小概率事件在某个试验中往往是不会发生的，因此如果在抽样中（可当做一次特定试验）发生，我们有理由拒绝假设；思路类似于反证法。如何利用合适统计量及选取拒绝域是关键。（2） 置信区间与拒绝域的关系在区间估计中称为置信水平，而在假设检验中称为显著性水平（犯错误概率）；而拒绝域便是置信区间以外的区域，因此将抽样数据代入选取的统计量后，其值若没有落在置信区间中（即落在拒绝域中），便拒绝，改为接受。【理解好分位点的概念】 估计或检验的统计量为或； 估计或检验的统计量为 【未知】总之，要以课本为主，结合例题，理解其思想，只有把主要原理弄懂了，做题才会有效果；练习册上以填空选择题为主，加上上面提到的大题。考点：第七章2个计算题=18分（点估计的两种方法，区间估计） 第八章1个选择题+1个计算题=12分附：模拟练习一：【部分来自于历年考题】1袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以表示取出的3个球中的最大编号，求、。【4.5， 20.7】 2设总体X服从参数为的的指数分布，其概率密度为，其中是未知参数，为总体的一个样本，试求参数的矩估计量和极大似然估计量。【， 两种算法结果一样】3设随机变量的密度函数为，且求：（1）常数 （2） （3）的分布函数【（1）；（2）3/4 ; (3) 】4设随机变量，互相独立，其概率密度分别为， 求：（1）常数A；(2)随机变量的概率密度。【； 】5为测定某种溶液中的甲醛浓度，取样得4个独立测定值，经计算得样本均值，样本标准差。设被测总体近似服从正态分布，求总体均值的的置信区间。（，）【解：由题设，；，；置信下限：，置信上限：；因此所求的置信区间为】6某工厂生产的某型号的电池，其寿命（以h计）长期以来服从方差为的正态分布， 现有一批这种电池，从它的生产情况看，寿命的波动性有所改变。现随机抽取26个电池，测出其寿命的样本方差为。问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性比以往有显著的变化（）？（，）【解：已知，依题意要在显著水平下检验假设，由知道:拒绝域为或，经计算知，故拒绝，即认为电池寿命的波动性有显著变化。】7设随机向量的联合概率密度为，求：、及相关系数。【解：，同理；，】综合题若，则称服从对数正态分布。现有随机变量服从对数正态分布：（1）求的概率密度函数；（2）若，求。（）【解：令，则且，即，(1) ，,(2) 】模拟练习二：1从数中任取一个数，记为X，在从, 中任取一个数，记为Y, 求=1/42、设随机变量X的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为0.1, 0.3, 0.6.求：的期望与方差；【4； 1.8】3. 设总体X具有分布律，其中为未知参数，已知取得了样本值，试求的极大似然估计值。【1/3】4. 已知一批零件的长度X（单位：cm）服从正态分布,从中随机地取16个零件，得到长度的平均值为40（cm）, 则的置信度为0.95的置信区间是多少。（注：标准正态分布函数值）【置信区间是】5.若 , 证明事件A与独立。填空题：1设A和B是两事件，则 0.44 2设与是相互独立的两事件，且，则 0.12 3设随机变量在服从均匀分布，求的概率密度 4. 设连续性随机变量X的密度函数为，则常数A = 4 5. 设二维随机变量的联合密度函数为，则常数 9 。6设随机变量，已知，则 0.2 X 0 1 3 P 1/5 1/5 1/5 1/5 1/57. 随机变量X的概率分布 ，则 2/5 8设与独立，且，则 9.为的一个样本，则 0.1 (）10.设总体X的方差为，根据来自X的容量为5的简单随机样本，测得样本均值为21.8，则X的数学期望的置信度为0.95的置信区间为 ()选择题：1设盒中有10个木质球，6个玻璃球，木质球有3个红球，7个蓝色；玻璃球有2个红色，4个蓝色。现在从盒中任取一球，用A表示“取到蓝色球”，B表示“取到玻璃球”，则P(B|A)= D 。（A） （B） （C） （D）2设随机变量的分布列为 为其分布函数，则= B （A）0.2 （B）0.6 （C）0.8 （D）13. 若服从二维均匀分布，则 B （A）随机变量都服从均匀分布 （B）随机变量不一定服从均匀分布（C）随机变量一定不服从均匀分布 （D）随机变量服从均匀分布4. 设是随机变量，存在，若，则 D （A） （B） （C） （D）5. 是同分布相互独立的随机变量，则下列不正确的是 D （A） （B） （C） （D）6. 设来自正态总体的样本，则服从 C （A） （B） （C） （D）7. 设总体，对参数或进行区间估计时，不能采用的样本函数有 D （A） （B） （C） （D）8设与分别