函数一致连续性的判别.doc

数学分析选讲课程论文函数一致连续性的判别一.函数一致连续性的定义1.函数一致连续性的概念定义：设函数在区间有定义，若有称函数在上一致连续。例1.证明：函数在上一致连续。证 ：由于，取=，则对任何，只要，就有，故函数在上一致连续。例2. 证明：函数在区间（其中为常数）上一致连续；在区间上非一致连续。证 ： （1）由于，取，则对任意当时，就有，故函数在区间（其中为常数）上一致连续；（2），取，虽然有 但，故函数在区间上非一致连续。例3.（1）叙述于区间一致连续的定义;(2)设，都于区间一致连续且有界，证明：也于一致连续。解： （1）若有称函数在上一致连续。（2）由题设，有界，从而存在，使再由，都一致连续，则使且时有令则时，所以在上一致连续。例4.函数在上连续，又在上一致连续，用定义证明：在上一致连续.证： 由在上一致连续，故，存在 当 ，且时，有 同理，在上一致连续，对上述，存在， 当，且时，有 令，则对，当且时，(1)若，由式有.(2)若，由式也有.(3)若，时，则，所以.从而得证在上一致连续。例5.证明：在其中上一致连续，=在上不一致连续。证:对取区间，当时，由一致连续的定义知在给定的区间中一致连续。（2）,在内取取对任意的，只要n充分大总有，.所以在上不一致连续。例6设函数定义在区间上。（1） 用方法叙述在上一致连续的概念；（2） 设,证明：在上一致连续；（3） 证明：函数在上非一致连续。解:（1） 设函数在区间有定义，若有称函数在上一致连续。（2），取，则当时，所以在上一致连续.(3) 由 例5可知函数在（0,1）上非一致连续.例7.用定义证明在上一致连续.证 ：令=，先证在上一致连续. 设且。取，当且时，有。即证在上一致连续。二.函数连续性的康托定理判别及其推论(1)康托定理：函数在上一致连续的充分条件是在上连续.(2)有限非闭区间的定理1：函数在上一致连续的充分必要条件是在上连续且与 都存在。(3)有限非闭区间的推论1：函数在上一致连续的充分必要条件是在上连续且 存在。(4)有限非闭区间的推论2：函数 在上一致连续的充分必要条件是 在 上连续且存在。(5)组合空间的定理1：（一致连续函数的区间可加性）函数在上一致连续，若，则在上一致连续。(6)无穷区间的定理1：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且存在。(7)无穷区间判别定理的推论：函数在上连续且和都存在。(8)无穷区间的定理2：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且存在。(9)无穷区间定理2推论：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在。(10)类似于有限开区间一致连续性判别法的定理：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在。(11)一般任意区间上的判别法即莱布希茨判别法：若对于定义在区间X上的函数和，有成立，而在上一致连续，则在上也一致连续。(12)一般任意区间上的判别法定理：设函数在区间上连续，且满足在上有界，则在上一致连续。例1.（1）； （2）； （3）。解：（1）在内连续，且即都存在，故在一致连续。(2)在内连续，且，故一致连续。（3）满足定理条件，故在区间内一致连续。例2.若在上连续，存在，则在上一致连续。证: 因为，由柯西准则，当s时，有. a 又由于在上连续，从而一致连续，故对上述，当，且时，有 b 取则且时，由a, b俩式知.此即证在上一致连续.例3.求证：在上一致连续。证：因为在上连续，又由罗比塔法则可证。由上题得在一致连续。 例4已知在上连续，证明：存在。证： 由假设，对,都有故当时，有由柯西准则知 存在。例5.设在有限开区间上连续，证明：在上一致连续的充要条件是及都存在。证: 充分性，设, 规定 则在上连续，从而在上一致连续，所以在上一致连续。再证必要性，由上题可证存在，类似上题可证存在。例6.证明：如果一个函数在区间（0,1）里一致连续，那么存在一个函数在闭区间里连续，并且对任何。证：由例5可知存在，存在，令则在里连续，且=，例7.讨论在上的一致连续性。解：因为 构造新函数则在上连续，从而一致连续，所以在上连续，从而一致连续所以在上连续，所以在其上一致连续。例8.若函数在区间I上满足利普希茨条件：则在I上一致连续。证：，取，则当且时 所以在I上一致连续。例9.证明：函数在上一致连续。证： 因为 ，所以，.故单调递减，.,所以在上有界，设.,存在，那么当，且时， 其中在之间，由式在上一致连续。例10.已知=.(1)证明：对任何实数，在上一致连续；(2)证明：在上非一致连续。证:（1）因为在上连续，根据Cantor定理知在上一致连续； (2)令 但，所以在上非一致连续。例11.设在上可导，且，证明：在上非一致连续.证：由知，取，则存在N0,当时，有。再取，且和时，。所以在上非一致连续。三函数一致连续的比较判别法和比值判别法1.函数一致连续的比较判别法定理1.函数，若满足成立，（其中：A为非零定值，B为定值），则，有相同的一致连续性。推论1.设函数，若满足成立，（其中：A为非零定值，B为定值），则，有相同的一致连续性。推论2.设函数，若满足成立，（其中：A为非零定值，B为定值），则，有相同的一致连续性。推论3.设函数，若满足， 成立（其中：A为非零定值，B为定值），则，有相同的一致连续性。2.函数一直连续的比值判别法定理1：函数，满足：（1）；（2），在上可导，且；（3）存在，若=（为非零定值），则，有相同的一致连续性。证明: 首先证明在上一致连续，则在上一致连续。有：=.设已知在上一致连续，则有：时，由=，因此，由Cauchy微分中值定理知，使 ，因为 =，所以 ，因此 ， ，即是，当，因此在上一致连续，因为在上连续，故在上一致连续，所以在上一致连续。同理可证明在上一致连续，则在上一致连续，因此定理得证，类似可以得到一下推论。推论1.函数，,满足： （1）；（2），在上可导，且；（3）存在，若（为非零定值），则，有相同的一致连续性。例1.判断函数的一致连续性。解：选取函数为比较函数，有，函数在区间上一致连续，有定理1可知，函数在区间一致连续。例2.讨论函数的一致连续性。解：选取函数作为比较函数，则有，而在上不一致连续，有定理1可知也不一致连续。例3判断函数在上的一致连续性。解: 构造函数，则有：=，在定义域上非一致连续，由定理1，在上不一致连续。例4.判断函数在区间上的一致连续性。解：构造函数 ，则有 ，又因为在区间上一致连续，由定理1，在区间上一致连续。例5.设函数列在区间上一致收敛于，且在上一致连续.证明：在上一致连续.证： ，当时，. 又在上一致连续，对上述，当且时，。 则由,两式有。即证在上一致连续。参考文献1