微观经济学 数学基础 第7章 经典微积分和线性代数.pdf

第七章 基础微积分和线性代数 1 第二部分 金融数学基础 第二部分 金融数学基础 第七章 基础微积分和线性代数 2 第七章 基础微积分和线性代数 第七章 基础微积分和线性代数 7 基础微积分 7 线性代数 8 概率论 9 随机微积分 10 鞅 11 偏微分方程 11 数值方法 7 1 集合与函数 集合与函数 7 1 1集合和集族 7 1 2实数集和它的结构 7 1 3映射和函数 7 1 4函数的性质 7 2 微分学 微分学 7 2 1极限与收敛 7 2 2导数和微分 7 2 3中值定理和洛必达法则 7 2 4偏导数和全微分 7 3 积分学 积分学 7 3 1定积分 7 3 2不定积分 7 3 3微积分基本定理 7 4 矩阵代数 矩阵代数 7 4 1 向量与矩阵 7 4 2 矩阵基本运算 7 4 3 矩阵求逆和微分 7 4 4方阵和二次型 7 5 线性方程组 线性方程组 7 5 1 问题的表述和克莱姆法则 7 5 2 线性相关和线性无关 7 5 3 矩阵的秩和线性方程组的解 7 6 向量空间和分离超平面 向量空间和分离超平面 7 6 1 向量空间 7 6 2几何特征 7 6 3线性泛函与超平面 7 6 4分离超平面定理 本章的学习目标为 回顾集合的基本概念和运算规则 理解集族和西格玛 代数的定义和相关概念 回顾函数的概念和一些基本性质 如线性 单调性等 回顾极限 导数和微分的定义 了解如何用导数和微分概念刻画函数的各种态 性 用微分作近似计算 掌握泰勒公式 理解中值定理和洛必达法则 理解获得黎曼积分的直观方法 理解黎曼积分和斯蒂尔杰斯积分之间的差异 理解不定积分的定义 掌握不定积分和定积分之间的关系 微积分基本定理 记忆各种特殊类型的矩阵 如对称阵 三角阵 单位阵等以及它们在运算中的 作用 掌握矩阵的各种运算 例如乘法 求逆和微分和相应的运算规则 了解方阵的重要特征如行列式 迹等 特别注意二次型的定义和类别 掌握克莱姆法则及其运用的条件 掌握线性组合 线性相关 无关 秩等重要 概念以及特征 了解线性方程组的解的特征 以及解存在的充要条件 了解向量空间中诸如维数 扩展 基 核等基本概念 了解向量空间中的重要 几何特征 例如长度 距离 角度 投影等 并理解对套利定价定理的证明 了解分离超平面定理和它在经济分析中的应用 掌握基于微积分和线性代数的几种经济最优化技术 从本章起我们就进入了金融数学部分的学习 作为这个循序渐进过程的开始 本章首先 是对一些基础数学概念 例如集合 函数等的复习 然后简要地回顾经典微积分学和高等 第七章 基础微积分和线性代数 3 代数 毫无疑问 其中大多数内容 读者都会相当的熟悉 这种复习的目的之一在于使读 者熟悉本书使用的符号体系 其二在于熟悉常用的经济最优化原理 此外由于金融分析中 采用的随机微积分技术 对一个初学者来说显得过于抽象 通过相互比较和引申 我们能 够发现经典微积分原理可以解决什么问题 又提出了什么问题需要进一步研究 这便于我 们在以后引出更感兴趣的随机微积分 7 1集合和函数集合和函数 7 1 1集合和集族 集合 set 是现代数学中最基本的概念之一 由于这种基本性 它反到难于严格定义 但 通常可以把集合直观地描述为 具有某种共同特征的对象或者事物的汇总 构成集合的对 象称为该集合的元素 element 本书中 我们使用大写字母A B C 来表示集合 用小写字母x y z 来表示集合中的元素 习惯上用Ax 来表示元素x属于集合A 用Ax 表示x不属于A 不包含任何元素的 集合称为空集 记为 图 7 1 是一个金融业界常见的关于集合的例子 显然股票 债券 期权 都是金融产品这个无所不包并在不断创新的巨大集合的元素 股票 债券 期权 期货 金融产品 图图 7 1 金融产品集合及其元素 金融产品集合及其元素 通常我们把只含有有限个元素 无穷个元素 的集合称为有限 无穷 集合 如果一个无穷 集合 它的元素可以与所有正整数一一对应的进行罗列 则称这个无穷集合为可列集或者 可数集 反之则称为不可列集 表示集合的方法一般有两种 其一是简单例举法 例如 2 1 nA 但是这种表示方 法的局限性是显而易见的 因此更一般的是通过给出集合中元素所满足的条件来表示集合 即 具有的共同特征xxA 这样 063 2 xxxA 就可以表示一个集合 它的元素是一个二次方程的解 给定任意两个集合A和B 如果集合A的任何一个元素同时也是B的元素 那么集合A 叫做集合B的子集 subset 记为BA 或者AB 称A包含于B或B包含A 例如 假 定A是由国库券 公司债券 定期存单三个元素组成的集合 B是固定收益证券 fixed income security 集合 显然有BA 和AA 如果BA 和AB 同时成立 则称集合BA 相等 记为BA 如果BA 且BA 则称为A为B的真子集 proper subset 注意 我们约定空 集 是任何集合的子集 例子例子 7 1 1 1 A 2 1 B 023 2 xxxC 则A有两个子集 即A和 CB 且B有 4 个子集 即B 1 和 2 后面 3 个集是B的真子集 一般的 如果集合A包含n个元素 则A恰好有 n 2个子集 这启示出 如下定义 任给集合A 它的子集的全体记为 A 2 称它为A的幂集 power set 除了上述简单描述以外 集合与集合之间存在的其它任何关系 均可以用并 unoin 交 intersection 补 complement 三种基本的运算来表示 第七章 基础微积分和线性代数 4 1 集合A B所有元素的汇总称为A与B的并 记为BA 这可以推广到任意多个集 合 假设 nii C 是一族集合 其中n是一不空的指标集1 则称 i n i n CCCCC 1 321 UUUU 为该族集合的 可列 并集 2 集合A B的共同元素的集合称为A与B的交 记为BA 或者简记为AB 类似 的有 i n i n CCCCC 1 321 I 如果 jiCC ji 则称集合 jiC C是互斥的 3 集合A包含于集合S S中不属于A的元素称为A的补集 记为2 AxSxxAC 且 上述集合运算有如下简单性质 1 交换律 1 ABBA 2 ABBA 2 结合律 1 DBADBA 2 DBADBA 3 分配律 1 DABADBA 2 DABADBA 4 德莫根 De Morgan 律 1 CCC BABA 2 CCC BABA 通过上述三种基本运算 我们可以引申出其它种类的集合运算 例如集合的极限 假定 2 1 nCn是任意一列集 属于上述集列中无限多个集的那种元素组成一个集 称它为 2 1 nCn的上限集 记为 n n Csuplim或者 n n C lim 即 suplim 1 成立对于任何无限多的nCwwCC n nnk kn n IU 类似的有 假定 2 1 nCn是任意一列集 除去有限多个集之外 所有集 n C都含有的 那种元素组成一个集 称它为这一列集的下限集 记为 n n Cinflim或者 n n C lim 即 inflim 1 成立至多只对于有限多的nCwwCC n nnk kn n UI 如果 n n Cwinflim 则当 0 Nn 时 n Cw 因此该元素属于无限多个 n C 因此 n n Cwsuplim 这就是说 n n n n CCsupliminflim 此外 我们还有以下事实 C n n C n n CCsuplim inf lim 和 C n n C n n CCinflim sup lim IU 1 suplim nnk kn n CC和 UI 1 inflim nnk kn n CC 如果集列 2 1 nCn的上限集和下限集相等 即 1 所谓指标集 index set 通常就是指自然数集合 2 1 nI 2 一个相关的定义是集合的差 difference 假定集合 A B都是集合S的子集 则集合A B的差 difference 为 BxAxSxBA 且 第七章 基础微积分和线性代数 5 n n n n CCsupliminflim 则称集列 2 1 nCn收敛 这时称 n n n n CCCsupliminflim 为集列 2 1 nCn的极限 集 记为 CCn n inflim 考虑一个集合序列 n C 如果 321 CCC 就称 n C为单调上升集列 记为 n C 如 果 321 CCC 就称 n C为下降集列 记为 n C 统称为单调集列 显然单调集列都是收 敛的 且如果 n C 则 CCC n nn n U 1 lim或者CCn 如果 n C 则 CCC n nn n I 1 lim或者CCn 作为集合概念的进一步推广 也是为了后面学习概率论和随机过程理论的需要 我们还 要讨论一下集族 tribe 的概念 在前面那个金融业例子中 最大的一个集是金融产品集合 记为 这种做为讨论对象的最大集合被称为空间 space 我们曾经说过股票 债券都是 它的元素 仔细考察可以发现这些元素本身又是一个集合 其中又包含着许许多多具体的 金融品种 如股票中又有普通股 优先股 在中国还有国家股 法人股等等 这时称这些 可以进一步细分的 元素 为子集 subset 我们把以金融产品集合 的子集为元素构成的集合 称为 上的集族3 这也就是说 集族是以集合为元素构成的集合 本书中我们使用花体字母A B C 来表示集族 集合之间关系的定义和运算规律同样适用于集族 如 i n i C 1 U为集族 nii C的可列并 CCC BABA 等等 定义定义 7 1 2 假设F是 上的非空集族 如果 1 F 2 它对于补运算封闭 即F A 有F C A 3 它对于可列并运算封闭 即 2 1 iCiF 有F i i C 1 U 则称F为 上的 西格玛 代数 algebra 或者域 field 例子例子 7 1 3 1 由 和 两个集合组成的集族是 代数 因为它们的补和可列并运算 结果仍然是 和 2 假设A是 的非空子集 a F是任一包含A的 代数 那么I a a F称为包含A的最小 代数 有时也称为由A生成的 代数 3 设 是全体实数R 令B是R中一切开区间 ba生成的 代数4 称为R中的波雷 耳 Borel 代数 记为 RB B中的元素 集合 称为R中的波雷耳集 7 1 2实数集和它的结构 接下来我们要进一步考察集合 族 的结构 为了集中注意力 我们逐渐把对于一般集合 的讨论向实际问题中更为关心的数的集合靠拢 3 有时也称集类 4 一切闭区间 ba也可以 第七章 基础微积分和线性代数 6 给定一个集合 我们首先关心的是它的元素的个数的问题 对于有限元素集合来说 这 是不言自明的 但是对于整数 实数这样的无穷的集合呢 我们用基数 cardinality 或者势 来反映这类集合元素的数量 凡集合元素的数目可以同自然数 1 2 一一对应的集合 即可列不可数集合的基数定义为 0 读作阿列夫零 而实数集合 即不可列集合的基数定 义为 1 习惯上用R来表示由全体实数组成的集合 称 为广义实直线 即无限延伸的实 数轴 这条线是紧密的 即每一点都有一个实数与之相对应 因此又把实数称为连续统 continuum 或者闭联集 直观上看实数是有大小的 对于任何三个实数x y z 必然存在下列三种性质 1 完备性 completeness yx 或者yx 总有一个成立 或者两者同时成立 即yx 2 自返性 reflexivity 对于任何x 有xx 3 传递性 transitivity 如果有yx zy 则有zx 这种两维 binary 的关系就给出了实数集合的排序结构 金融相关点金融相关点 7 1 偏好顺序 preference ordering 在经济分析中 常常假定消费者对于消费品的偏好也是有一定顺序的 即所谓偏好 顺序 这种顺序在口语中往往表达为 我喜欢 我更喜欢 我觉得无所谓 类似 的 yxf被称为消费者 严格偏好于 x 即在任何情况下 消费者都认为x比y好 yx 被称为消费者 无差异于 商品x y 即消费者认为两样东西同样好 yxf 被称为消 费者在商品x y中 弱偏好于 x 即消费者认为x至少与y一样好 同时它们也被 要求满足上文所述的三种基本性质 这样任何消费 组合 给消费者带来的好恶程度就可以 象实数一样从大到小进行排序和比较了 接下来我们简单提到实数集的代数结构 即实数集合中各种基本运算的特征 显然实数 的加减乘除运算是封闭的 即任意两个元素的上述运算的结果仍然属于实数集合 最后是实数集的拓扑 topology 结构 考虑一个实数序列 321n xxxx 如果 n x随着n的 增大越来越趋近于一个固定的数a 则称a为序列 n x的极限 假设有实数的子集 RA A 如果A包含了它的所有极限点 就称A为闭集 closed set 闭区间 bxaxba 就是最一般的闭集 闭集的补集则是开集 open set 例如 开区间 bxaxba 就是一个开集 在经济分析中几乎所有有实际意义的集合都可以 用R的简单子集 区间来构造5 如果存在一个有限的实数b 对于任意A a 都有bab 成立 就称 RA A 为 有界集 bounded set 如果一个集合既是有界集又是闭集 就称它为紧集 compact set 例子例子 7 1 4 在经济分析中 了解在最优化时产生的极限值 最大或者最小 是否包含在 可行集中是很重要的6 例如我们要在区间 ba内最大化 2 x 一个显然选择就是bx 这 时最大值存在而且是 ba的一个元素 进一步看 集合的有界性也是经济分析中有用的特征 例如 如果我们知道机会集是封 闭的 的确对最优化问题的解决有帮助 但这还不够 我们还需要机会集是非空的 在空 集中肯定是没有最大化 2 x的元素的 但这就是全部吗 假定机会集合是整个实数集R 是否有一个R x可以最大化 2 x呢 5 除了上面两种区间以外我们还有半开半闭区间 bxaxba 以及无限区间 ba 6 最优化分析见金融相关点 7 4 第七章 基础微积分和线性代数 7 没有 这就需要一个有限的值给出边界 如果我们需要定义良好的最优化行为时 机会集 合就必须为紧集7 7 1 3映射和函数 如果两个集合 X Y 之间存在着一种对应关系 并且满足下列两个条件 1 对于集合 X 的每一个元素 都能按照某种规则与集合 Y 中的某个元素对应 2 对于集合 X 的每一个元素 集合 Y 中与它对应的元素只有一个 就称这种对应关系 f 为从 X 到 Y 的映射 记为YXf 注意这个概念是很一般的 它只是试图在任意两个集合之间建立某种联系 如果 Y 是 数集 即R Y 此时称映射f为 X 上的一个泛函 functional 特别的当 X 也是数集时 就是通常意义上的函数 function 8 定义定义 7 1 4 假设 X Y 为两个 实数 集合 令f为一把 X 中的每一个元素分别与 Y 中的某一个元素对应起来的映射 我们就把f称为 实变 函数 称集合 X 为定义域D 其 元素称自变量或者原像 image Y 为值域 其元素称应变量 需要注意的是 X 中可以有几个元素同时与 Y 中的某一个元素对应 这样就有了多元函 数的的概念 在本书中所有函数的标准形式为 应变量 函数符号 自变量 1 自变量 2 定义域 1 定义域 2 值域 在上下文比较明确的情况下通常简记为 7 1 1 RR n xfy 例子例子 7 1 5 买卖证券时向经纪人交纳的手续费 F 是按照成交金额 M 的一个固定比例 10 aa收取的 成交金额与手续费之间存在着一种确定的函数关系 即 MfF 写 成显式就是aMF 如果把x轴看成定义域的集合 把y看成值域集合 则函数通常可以 用图 7 2a 这种简单的形式表现在两维空间中 图 7 2b 则是计算机记录的某种股票在一个交易日中的价格S变化情况 这里可以视时 间t为自变量 股票价格为应变量 即 tfS 感觉上描绘这种变化莫测的随机函数要复 杂得多 用显式来刻画它只有等到第 9 章了 F F aM 0 M S S f t 0 t a 简单函数简单函数 b 随机函数随机函数 图图 7 2 函数关系的图形表示 函数关系的图形表示 金融相关点金融相关点 7 2 效用函数 7 实际上根据 Weierstrass 定理 如果目标函数的连续的 而可行集是非空集紧 则最大值和最小值点总是 存在的 8 如果 X Y 本身是函数的集合 则 f把一种函数转化成另一种函数 称f为算子 operator 第七章 基础微积分和线性代数 8 在经济分析中通常认为消费商品C 会给消费者带来一定的满足或者说效用 utility 为了能够对于不同消费方案做出比较 就需要给消费每一商品产生的效用安排一个实数 即 RC U 称它为效用函数 有两种形式的效用函数 utility function 基数效用 cardinal utility 函数和序数效用 ordinal utility 函数 所谓序数效用是指效用函数数值的大小仅仅表示消 费者对于商品的偏好顺序 绝对数目以及它们间的差额不说明消费者对于它们评价的确 切差别 而对于基数效用来说 这些差额则反映了消费者对于不同商品偏好的确切强度 在函数 xfy 中 x是自变量 y是应变量 但是这并非绝对 有时我们想知道y的 变化会带来x的怎么样的变化 如在上面的例子中 我们想从股票交易费用额反推才成交总 额来 容易知道这种关系就是 aFM 假定函数 xfy 的值域中的任一值y 在定义域中都有一个唯一的x 它也被称为是y 的逆像 inverse image 与它相对应 则存在一种新的函数关系 称它为 xfy 的反函数 或者逆映射 inverse mapping 记为 7 1 2 XYf 1 考虑更为复杂的情形 上例中我们把股票价格视为时间的 随机 函数 即 tfS 而 基于该股票的衍生类产品如期权的价格c又是股票价格的函数 即 Sgc 则c是t的复合 函数 compound function 记为 tfgc 有时候我们把函数的自变量和应变量写在一边 例如1 22 yx 这时称型如ayxf 的函数为隐函数 经济分析中的收入约束就是隐函数的一个典型例子 假定消费者收入为 一常数I 他购买两种商品x和y 价格分别为 x p和 y p 则收入或者说预算约束就可以记 为隐函数的形式 7 1 3 Iypxp yx 7 1 4函数的性质 从最一般的意义上说 函数代表从给定结构的集合到另一集合的信息传递或者变换过 程 直观地理解如下图所示 实数集 实数轴 图图 7 3 函数 集合信息结构的传递 函数 集合信息结构的传递 如果把函数视为一种变换规则 或者传导机制 我们就可以根据在这个过程中 函数对 于原来信息集合的结构 排序结构 代数结构和拓扑结构 特征的表达程度 包括信息漏损量 和偏移 对众多函数的种类和性质进行大致的分类9 1 连续性 continuity 如果一个函数将原来集合中的 邻近 的点仍旧变换为新集合中 邻近的点 就称它为连续函数 continous function 表现在二维图形中 就是可以一笔不间 断地把整个函数画下来 如果一个函数保留了原来集合中点的 邻近性 它也就保留了原 9 这来源于 Nicholas Bourbaki 的观点 第七章 基础微积分和线性代数 9 来集合的封闭性 这是因为一个闭集包括了它的极限点 而极限点的特征是序列的无穷多 项的 紧密性 更进一步 如果集合的 封闭性 被保留下来 则开集和紧集的特性也就 被保留下来 因为它们都是按照封闭性定义的 总之 连续函数保留了它所变换的集合的 拓扑结构 这一点使得它在经济分析中非常受欢迎 2 单调性 monotonity 假定Dxxfy 如果对于任意两点Dxx 21 当 21 xx 时 恒有 21 xfxf 则称函数在定义域内严格单调递增 递减 统称为单调 函数 这就是说该函数在新集合中保留了 或者改变了 原来集合中元素的排序结构 在经济分析中 我们通常假定更多的商品消费会带来更多的心理和生理上的满足 因此 在消费者效用非饱和假定下 效用是可消费商品或者财富的单调递增函数 假定 xf是一个单调递增函数 xh也是一个单调递增函数 则称 xfh为x一个正 单调变化 它不改变 xf的单调性 例如序数效用函数的正单调变换就不会改变消费者对 于商品偏好评级的顺序 3 线性 linearity 一个函数被称为是仿射 affine 函数 如果它可以写为以下这种形式 bxaxf 当 a 等于 0 时 它被称为线性函数 linear function 因此有时把一个函数乘以一个正数再加上一个数获得的新函数称为原来函数的仿射变 换 affine transformation 基数效用 cardinal utility 函数的仿射变换不会改变消费者偏好评级 顺序 4 凹性 concavity 与凸性 convexity 直观上理解凹 凸讨论的是函数的几何形状 令有 函数Dxxfy 如果Dxx 21 对于任何10 存在着 N 使得 都成立 则说数列 n x收敛于c c 称c为数列的极限 可以仿照数列极限的概念定义出函数的极限 假定存在函数 xf 在点 0 x附近有定义 如果当x 从左右两个方向 无限接近于 0 x时 对应的函数值无限接近于某个常数c 就称c 为x趋近于 0 x时的 左右 极限11 记为 cxf xx lim 0 借助函数极限概念我们可以更精确地描述函数的连续性 如果函数 xfy 在点 0 x的邻 域内有定义 且 lim 0 0 xfxf xx 即 0 0 000 xfxfxf 则称函数 xf在点 0 x连 续 由此可见函数在某点上的连续必须满足 3 个条件 1 在该点有确定的函数值 2 左右 极限均存在且相等 3 函数值等于该点的极限值 如果函数 xf至少在点 0 x的一侧去心邻域 即 000 xx 或者 000 xx 内有定义 且在 0 x处不连续 则称 xf在 0 x处间断 称 0 x为函数 xf间断点 同连续的 3 种情况对应 间断点也有 3 种情形 1 函数在特定点上没有定义 2 在该点上极限不存在或者左右极限 不相等 3 函数有定义 极限也存在但两者不等 第一种情形中 如果极限存在则称之为 可去间断点 第二种情形称为跳跃间断点 它们统称为第一类间断点 其余情况均称为第 二类间断点 或称为无穷间断点 如下图所示 y xy xy 1 0 1 x y xy 1 0 x 11 我们看到极限本质上是一个收敛过程 这里定义的是最普通的极限 由于有不同的收敛方式 在概率一 章论中我们还会接触到更为丰富的依概率收敛 依分布收敛等等定义极限的新方法 第七章 基础微积分和线性代数 11 a 跳跃间断点跳跃间断点 1 b 第二类间断点第二类间断点 0 图 图 7 5 函数的间断点 函数的间断点 我们看到有一些函数以 0 为极限 例如函数x 1 就有0 1 lim x x 这时函数x 1就被 称为当 x时的无穷小量 那么如何比较两个无穷小量趋近 0 时的快慢呢 这就要引进 阶 order 的概念 如果 xf和 xg为自变量x趋近同一值 0 x时的无穷小量 令它们商的极限为 z xg xf xx lim 0 1 如果 就称该函数在 x取严格极大值 类似的 如果对于所有x 有 xfxf 我们称该函 数在 x取极小值 如果严格不等式成立就称该函数在 x取严格极小值 显然关于x的 xf 最大化问题同 xf 的最小化问题是等价的13 因此可以把极小化问题归结为极大化问题 求解 两者之间关系的直观理解如下图所示 y y f x x x y f x 图图 7 8 极大化和极小化的关系 极大化和极小化的关系 假设一个可微函数f在 x取极大值 根据前面对导数同函数形态关系的简要讨论 可 知f在 x的一阶导数必为 0 且f在 x的二阶导数必小于或等于 0 即 0 xf和0 xf 这些条件分别被认为是一阶条件和二阶条件 最小化问题的一阶条件是一样的 只是 二阶条件变为0 xf 但是这些是最优化的必要条件而非充分条件 R中作为最大化问题解的点必须满足这 些条件 但可能有些满足这些条件的点并不是最大化问题的解 如果一个函数在定义域 内有极值存在 它只可能出现在下面这些点上 1 定义域内的极值点 2 定义域边界上 的点 3 定义域内的不可微点 但是如果 xf是一个凹函数 那么它的二阶导数在每一点上都小于或等于 0 因此对 于凹函数来说 一阶条件就是极大化的充要条件14 例子例子 7 2 3 考虑一个基于财富数量的二次效用函数 0 2 aaxxxU 它在何处可以取到最大值呢 一阶条件为 axaxx5 0021 U 二阶条件为02 axU 根据a的定义自动满足 因此决定了非负参数a就决定 最大效用水平 不过在应用导数解决实际问题时 需要注意的是一个函数可导的条件 一个函数可导则 该函数必然连续 但是反过来则不一定正确 在经济分析中我们常常对于函数作正则性 regularity 假定 顾名思义正则性是对于函数具有某些良好性质的一种理想要求 如二次可 导 光滑 没有奇点等等 这通常是出于数学处理上方便 但是进入随机世界 我们就无 13 需要注意的是 极值是一个局部的问题 而最值是一个全局的问题 14 实际上如果目标函数是严格拟凸的 而可行集是严格凸的 则最大值存在而唯一 第七章 基础微积分和线性代数 14 法保证函数也具有这些特性了 例如股票价格随时间的变化路径很不规则时 尽管它仍然 有着连续路径 它对于时间的导数实际上是不存在的 如在图 7 9 中的t点 由于过这样一 个折点可以作无数条切线 这就意味着基本微积分工具 导数 在随机环境中无法应用 这 个难题的解决要等到第 9 章中随机微积分的引入 价格 t 时间 图图 7 9 波动剧烈的资产 波动剧烈的资产 下面考察复合函数的求导方法即链式法则 chain rule 在金融分析中通常把债券价格B 描述成利率r的函数 即 rfB 而利率可以被认为是一个随着时间变化而变化的时间的 函数 即 tgr 写为复合函数就是 tgfB 如果我们想知道债券价格的变化与时间的短暂流逝之间有什么关系 就可以用链式法则 来解决 7 2 3 dt tdg tdg tgdf dt dB 注意使用链式法则要求上述函数的导数均存在 这就产生了一个问题 如果在链中出现 了随机变量函数 那么同样的法则会依然适用