大学经典课件之高等数学——9-4重积分的应用.pdf

第九章第九章 第四节第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分的应用重积分的应用 二 质心二 质心 一 曲面的面积 三 转动惯量 四 物体对质点的引力 一 曲面的面积 三 转动惯量 四 物体对质点的引力 一 立体的体积 复习 一 立体的体积 复习 1 曲顶柱体的体积 曲顶柱体的体积 dxdyyxfV D 2 平面区域的面积 平面区域的面积 dxdyA D 3 空间区域的体积 空间区域的体积dvV 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 22 1 yxzS任一点的切平面任一点的切平面 22 2 yxzS 所围立体的体积 所围立体的体积 V 解1 解1 曲面曲面 1 S 的切平面方程为的切平面方程为 2 0 2 000 122yxyyxxz 它与曲面它与曲面 22 yxz 的交线在 的交线在 xoy 面上的投影为面上的投影为 1 2 0 2 0 yyxx yxV D dd 22 yx 2 0 2 000 122yxyyxx yx D dd 1 2 0 2 0 yyxx sin cos 00 yyxx令令 2 记所围域为 记所围域为D 在点在点 D dd 2 例1 例1 求曲面求曲面 dd 1 0 3 2 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 000 zyx 与曲面与曲面 1 22 1 yxzS任一点的切平面任一点的切平面 22 2 yxzS 所围立体 的体积 所围立体 的体积 V 解2 解2 曲面曲面 1 S 的切平面方程为的切平面方程为 2 0 2 000 122yxyyxxz 它与曲面它与曲面 22 yxz 的交线在 的交线在 xoy 面上的投影为面上的投影为 1 2 0 2 0 yyxx yx D dd 22 yx 2 0 2 000 122yxyyxx 2 记所围域为 记所围域为D 在点在点 例1 例1 求曲面求曲面 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 000 zyx 与曲面与曲面 dVV 2 0 2 000 22 122yxyyxx yx D dzdxdy x oy z a2 例2 例2 求半径为求半径为a 的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的体积 的 内接锥面所围成的立体的体积 解 解 在球坐标系下空间立体所占区域为在球坐标系下空间立体所占区域为 则立体体积为则立体体积为 zyxVddd cos2 0 2 d a rr dsincos 3 16 0 3 3 a cos1 3 4 4 3 a cos20ar 0 20 0 dsin 2 0 d rrVdddsind 2 r M 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 引理引理 1 2 A 的夹角为与平面 的夹角为与平面 2121 A cos 一般情况 将一般情况 将A分割成 若干个上述类型的小矩形 对每一个用引理 然后迭加 再取极限即可 当 分割成 若干个上述类型的小矩形 对每一个用引理 然后迭加 再取极限即可 当A是矩形是矩形 l 证且一边与证且一边与l平行 则 平行 则 也是矩形也是矩形 且且 b cos ab 引理成立引理成立 a 注注注注 这里 这里 即 两平面法向量的夹角 证毕 即 两平面法向量的夹角 证毕 二 曲面的面积二 曲面的面积 cos A 21 A 上的投影为在上的区域 上的投影为在上的区域 则面积则面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 x z y 0 z f x y D i i S xi yi Pi 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 二 曲面的面积二 曲面的面积 x z y 0 2222 1 1 D yx yxyxfyxfSdd i i i A cos 1 z f x y D i ii AS i n r iiiyiix yxfyxf 1 22 i S xi yi i Ai 由引理 由引理 1 iiyiixi yxfyxfn r Q Pi 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 二 曲面的面积二 曲面的面积 设曲面的方程为 设曲面的方程为 xzhy 曲面面积公式为 曲面面积公式为 1 22 dzdxhhA zx D xz 设曲面的方程为 设曲面的方程为 zygx 曲面面积公式为 曲面面积公式为 1 22 dydzggA yz D zy 同理可得 1 设曲面的方程为 同理可得 1 设曲面的方程为 yxfz 曲面面积公式为 曲面面积公式为 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 dxdyffA xy D yx 22 1 4 若光滑曲面方程为隐式若光滑曲面方程为隐式 0 zyxF 则则 yx z y z x Dyx F F y z F F x z A yx D z zyx F FFF 222 yxdd 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 z F且且 例 3例 3 求球面 求球面 2222 azyx 含在圆体 含在圆体 axyx 22 内部的那部分面积 内部的那部分面积 1 D axyx 22 曲面方程曲面方程 222 yxaz 222 yxa a 解解 0 yx 22 1 yx zz 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 y o x z a 则所求面积为则所求面积为 1 222 4 D dxdy yxa a cos 0 22 0 1 4 2 a d a da 42 22 aa dxdyzzA D yx 1 22 14 由对称性知由对称性知 1 4AA 例 4例 4 求由曲面求由曲面azyx 22 和和 22 2yxaz 0 a所围立体的表面积 所围立体的表面积 解解解方程组解方程组 2 22 22 yxaz azyx 得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周 222 az ayx 在 平面上的投影域为在 平面上的投影域为 xy 222 ayxDxy 得由得由 1 22 yx a z 2 a x zx 2 a y z y 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y z o az a2 a 22 1 yx zz 22 22 1 a y a x 44 1 222 yxa a 知由知由 22 2yxaz 22 1 yx zz 2 dxdyyxa a S xy D 222 44 1 故故dxdy xy D 2 da a d a 0 22 2 0 4 1 2 2a 15526 6 2 a 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5 例5 计算双曲抛物面计算双曲抛物面yxz 被柱面被柱面 222 Ryx 所截所截 解 解 曲面在 曲面在 xoy 面上投影为面上投影为 222 RyxD 则则 yxzzA D yx dd1 22 yxyx D dd1 22 d1d 0 2 2 0 R 1 1 3 2 2 3 2 R 出的面积出的面积A A 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6例6 所割下部分的曲面面积 被圆柱面锥面 所割下部分的曲面面积 被圆柱面锥面 xyxyxz2 2 22222222 x y z o 1 所割下部分的曲面面积 被圆柱面锥面 所割下部分的曲面面积 被圆柱面锥面 xyxyxz2 2 22222222 1 x y z o 1 例6例6 x y z o 1 1 D 0 2 22 z xyx D S 2222 1 1 D yxQPSdd 22 yx x x z P 其中 其中 22 yx y y z Q 2 2 D yxSdd 2 所割下部分的曲面面积 被圆柱面锥面 所割下部分的曲面面积 被圆柱面锥面 xyxyxz2 2 22222222 例6例6 所截的有限部分的面积被圆锥面求圆柱面 所截的有限部分的面积被圆锥面求圆柱面 2222222222 2 2 xzyzzy 2 x z y 例7例7 o 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 x z y 2 问题 问题 曲面向哪个坐标面投影 曲面向哪个坐标面投影 所截的有限部分的面积被圆锥面求圆柱面 所截的有限部分的面积被圆锥面求圆柱面 2222222222 2 2 xzyzzy o 只能向只能向只能向只能向xozxoz平面投影平面投影平面投影平面投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7例7 x z y 2 2 2 222 22 222 22 xzy zzy 联立联立 zxy 2 2 2 2 得消 得消 0 2 0 2 2222 y zzy 又由又由得 得 z 2 2 2 2 zzxDxz xz D xz zxyySdd12 22 Dxz 所截的有限部分的面积被圆锥面求圆柱面 所截的有限部分的面积被圆锥面求圆柱面 2222222222 2 2 xzyzzy o 2 2zzy 其中 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7例7 x z y 2 Dxz x zz zS z z d 2 1 d2 2 0 2 22 2 0 d 2 2 4z z 16 zx2 2 2 222 22 222 22 xzy zzy 联立联立 zxy 2 2 2 2 得消 得消 0 2 0 2 2222 y zzy 又由又由得 得 z 2 2 2zzy 所截的有限部分的面积被圆锥面求圆柱面 所截的有限部分的面积被圆锥面求圆柱面 2222222222 2 2 xzyzzy 2 2 2 zzxDxz o zx2 其中 其中 例7例7 xz D xz zxyySdd12 22 a a x z y 0 222 ayx 222 azx 设圆柱面为设圆柱面为 的面积 被另一柱面所割出部分 求一柱面直交 圆柱的底半径为两相同正圆柱的轴互相 的面积 被另一柱面所割出部分 求一柱面直交 圆柱的底半径为两相同正圆柱的轴互相a例8例8 考虑第一卦限考虑第一卦限 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 D 22 xaz a a x z y 0 2222 8 8 D yx xa a Sdd 2 8a 22 xay 2222 022 022 8 8 xa y xa a d 0 0 a xd a a x o y D 22 22 1 xa a zz yx 222 ayx 222 azx 设圆柱面为设圆柱面为 的面积 被另一柱面所割出部分 求一柱面直交 圆柱的底半径为两相同正圆柱的轴互相 的面积 被另一柱面所割出部分 求一柱面直交 圆柱的底半径为两相同正圆柱的轴互相a例8例8 若曲面若曲面S具有参数方程具有参数方程 vuzz vuyy vuxx Dvu 补充 补充 其中其中 D 为一有界闭曲域 为一有界闭曲域 vuxx vuyy vuzz 在 在 D 上具有连续的一阶偏导数 则 上具有连续的一阶偏导数 则 S的面积为 的面积为 dudv vu yx vu xz vu zy A D 222 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 9例 9 求半径为 求半径为 a的球的表面积 的球的表面积 解解1球面的参数方程为球面的参数方程为 cos sinsin cossin az ay ax 20 0 sin 2 222 a yxxzzy Q ddaA D sin 2 dad 0 2 2 0 sin 2 4 a 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法2 方法2 利用直角坐标方程 较繁 利用直角坐标方程 较繁 设有一平面薄片 占有 设有一平面薄片 占有 xoy面上的闭区域面上的闭区域D 在点 在点 yx处的面密度为处的面密度为 yx 假定 假定 yx 在在D上连续 求平面薄片的质心坐标上连续 求平面薄片的质心坐标 yx 三 质心三 质心 方法 方法 元素法元素法 1 平面薄片的质心1 平面薄片的质心 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 d yx x y 0 任意分割区域任意分割区域D 考察具代表性的小区域 考察具代表性的小区域 d yx 为其中任一点 为其中任一点 d的质量为 的质量为 dyxdm d 对 对y轴的静力矩为轴的静力矩为 dyxx 因此整个薄 因此整个薄板板 对对y轴的静力矩为 轴的静力矩为 D y dyxxM D D y dyx dyxx m M x D Dx dyx dyxy m M y 同理 整个薄板对同理 整个薄板对x轴的静力矩为 轴的静力矩为 D x dyxyM 则质心坐标为 则质心坐标为 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 常数时当 常数时当 yx 则得则得形心形心坐标 坐标 dd A yxx x D dd A yxy y D 的面积为 的面积为DyxA D dd 4 例10 例10 求位于两圆求位于两圆 sin2 sin4 和 之间均匀薄片的质心 和 之间均匀薄片的质心 2 D 解 解 利用对称性可知利用对称性可知 0 x而而 D yxy A ydd 1 D ddsin 3 1 2 d sin4 sin2 2 dsin 9 56 0 4 0 dsin 3 1 o y x C 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 9 56 dsin2 9 56 2 0 4 3 7 4 3 2 1 2 例 11例 11 设平面薄板由设平面薄板由 cos1 sin tay ttax 20 t 与与x轴围成 它的面密度轴围成 它的面密度1 求质心坐标 求质心坐标 解解先求区域先求区域 D 的面积的面积 A 20 tQ ax 20 a dxxyA 2 0 2 0 sin cos1 ttadta 2 0 22 cos1 dtta 3 2 a D a 2a xy 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以重心在 所以重心在 ax 上 上 即即 ax D ydxdy A y 1 0 2 0 1 xya ydydx A a dxxy a 2 0 2 2 6 1 2 0 3 cos1 6 dtt a 6 5a 所求质心坐标为所求质心坐标为 6 5 a a 由于区域关于直线 由于区域关于直线 ax 对称 对称 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 D a 2a xy dxdydzzyx dxdydzzyxx x 设空间物体 设空间物体 的体密度为的体密度为 zyx 则 物体的质心坐标为 则 物体的质心坐标为 dxdydzzyx dxdydzzyxz z dxdydzzyx dxdydzzyxy y 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 空间物体的质心2 空间物体的质心 常数时当常数时当 zyx 则得则得形心形心坐标 坐标 ddd V zyxx x ddd V zyxy y V zyxz z ddd 的体积为 的体积为 zyxVddd 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 z 0 心质的 所围立体与平面求由抛物面心质的 所围立体与平面求由抛物面 0 1 22 zyxz y x z o 0 0 yx 则 则 zyx 心为质设 心为质设 柱面坐标柱面坐标 2 1 z 1 z Vddd 2 1 0 2 0 1 0 ddd 2 zz 3 1 3 1 0 0 心为质故 心为质故 ddd 2 zyxz z 2 1 0 2 0 1 0 ddd z 2 用哪种坐标 用哪种坐标 例12例12 1 1 zyxz V z ddd 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 z 0 心质的求均匀半球体心质的求均匀半球体 0 2222 zazyx y x z o 0 0 yx 则 则 zyx 心为质设 心为质设 1 1 zyxz V z ddd 球面坐标球面坐标 a 3 3 2 a V z a 8 3 8 3 0 0a 心为质故 心为质故 用哪种坐标 用哪种坐标 r a 例13例13 a r r r V 0 2 2 0 2 0 dsincosdd 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 V zyxz z ddd 例14 例14 一个炼钢炉为旋转体形 剖面壁线一个炼钢炉为旋转体形 剖面壁线 的方程为的方程为 30 3 9 22 zzzx 内储有高为 内储有高为 h 的均质钢液 利用对称性可知质心在 的均质钢液 利用对称性可知质心在 z 轴上 轴上 0 yx 故其坐标为 自重 求它的质心 故其坐标为 自重 求它的质心 ox z h 若炉若炉 不计炉体的不计炉体的 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 解 炉壁方程为 炉壁方程为 30 3 9 222 zzzyx h zzz 0 22 d 3 9 z D h yxzzddd 0 zyxdzdd 5 1 2 3 3 9 23 hhh 2 2 54090 43060 hh hh hz ox z h 4 1 2 2 9 9 22 hhh 机动 目录 上页 下页 返回 结束 采用柱坐标 则炉壁方程为采用柱坐标 则炉壁方程为 3 9 22 zz zyxVddd h zzz 0 2d 3 9 z D h yxzddd 0 因此因此 30 3 9 222 的单位质量质点的引力 的单位质量质点的引力 利用对称性知引力分量利用对称性知引力分量0 yx FF z F R R zazGd v azyx az Gd 2 3 222 R R zazGd 22 0 2 3 22 2 0 d d zR az 点点 z Dazyx yx 2 3 222 dd 0 M a z D 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 解 设球的体密度为设球的体密度为 R R zazd z F G2 22 2 11 azaRza 22 0 2 3 22 2 0 d d zR az R R zazGd G2 R R az a 1 22 2daazR 2 a M G R2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 4 3 R M 为球的质量为球的质量 aaR 11 22 x y z o R 例20 例20 设面密度为设面密度为 半径为 半径为R的圆形薄片 求它对位于点 的圆形薄片 求它对位于点 解 解 由对称性知引力由对称性知引力 z Fd d aG 222 Ryx 0 0 0 0 aaM D z aGF aG aG2 处的单位质量质点的引力 处的单位质量质点的引力 2 d d G d a R 0 2 0 d a0 M 0 z 0 0 z FF 2 3 222 d ayx 2 3 222 d ayx 2 3 22 d a 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 几何应用 几何应用 曲顶柱体的体积 平面图形的面积 立体的体积 曲面的面积 曲顶柱体的体积 平面图形的面积 立体的体积 曲面的面积 物理应用 物理应用 重心 转动