第七章：立体几何.doc

五年高考真题分类汇编：立体几何一、填空题1（2013安徽高考理）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)当0CQ时，S为四边形；当CQ时，S为等腰梯形；当CQ时，S与C1D1的交点R满足 C1R；当CQ1时，S为六边形；当CQ1时，S的面积为.【解析】本题考查空间点、线、面的位置关系，平行转化及考生的计算能力对于，如图1，因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，当CQ时，PQ，这时过A，P，Q三点的截面与正方体表面交于点D1，APD1Q，且PQAD1，截面S为等腰梯形，当0CQ时，过A，P，Q三点的截面与正方体表面的交点在棱DD1上，截面S为四边形，故正确；对于，如图2，延长QR交DD1的延长线于点N，连接AN交A1D1于点M，连接MC1.取AD的中点G，作GHPQ交DD1于点H，可得，GHAN，且GHAN，设CQt，则DN2t，ND12t1，当t时，可得C1R，故正确，当t1时，S为五边形，故错误，当t1时，M为A1D1的中点，S为菱形APC1M，AN，APPC1，C1N，S的面积菱形APC1M的面积2SC1MN2，故正确【答案】2.（2013北京高考理）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上点P到直线CC1的距离的最小值为_【解析】本题考查空间几何体、点到直线的距离等基础知识，意在考查等价转化的数学思想和考生的空间想象能力点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P，显然点P到直线CC1的距离的最小值为PC的长度的最小值当PCDE时，PC的长度最小，此时PC.【答案】3（2013大纲卷高考理）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60，则球O的表面积等于_【解析】本题考查立体几何问题，考查球体的有关性质设点A为圆O和圆K公共弦的中点，则在RtOAK中，OAK为圆O和圆K所在的平面所成的二面角的一个平面角，即OAK60.由OK，可得OA，设球的半径为R，则()22R2，解得R2，因此球的表面积为4R216.4（2013江苏高考文）如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_.【解析】本题考查多面体的体积，意在考查学生的化归能力及运算能力设三棱柱A1B1C1ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1ShShV2，即V1V2124.【答案】1245.（2013安徽高考文）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)当0CQ时，S为四边形；当CQ时，S为等腰梯形；当CQ时，S与C1D1的交点R满足C1R；当CQ1时，S为六边形；当CQ1时，S的面积为.【解析】本题主要考查空间几何体中的点、线、面的位置关系以及有关正方体的截面计算问题，意在考查考生的空间想象能力和推理论证能力对于，当0CQ时，过点A在面ADD1A1内作PQ的平行线交线段DD1于一点，故截面S为四边形；对于，当CQ时，同的作法可知，此时的截面为APQD1，且D1QAP，故该截面为等腰梯形；对于，当CQ时，过点A在面ADD1A1内作PQ的平行线交线段D1A1于点M，且MD1，然后再过点M在面A1B1C1D1内作AP的平行线交C1D1于点R，且满足C1R，此时的截面是五边形APQRM；对于，由可知，当CQ0，可解得tan 22.51，因此OC(1)h.在RtOCF中，cosCOF，故cosCODcos(2COF)2cos2COF12()211712 .37.（2013北京高考理）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别为CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明：本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，意在考查考生的空间想象能力和推理论证能力(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形所以BECD，ADCD，由(1)知PA底面ABCD，所以PACD，所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF，所以CDEF.所以CD平面BEF.所以平面BEF平面PCD.38.（2013重庆高考文）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PA2，BCCD2，ACBACD.(1)求证：BD平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF7FC，求三棱锥PBDF的体积解：本题主要考查空间直线、平面的位置关系等基础知识，考查考生的空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力(1)证明：因为BCCD，所以BCD为等腰三角形又ACBACD，故BDAC.因为PA底面ABCD，所以PABD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD平面PAC.(2)三棱锥PBCD的底面BCD的面积SBCDBCCDsinBCD22sin .由PA底面ABCD，得VPBCDSBCDPA22.由PF7FC，得三棱锥FBCD的高为PA，故VFBCDSBCDPA2.所以VPBDFVPBCDVFBCD2. 39.（2013江苏高考文）如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.证明：本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推理论证能力(1)因为ASAB，AFSB，垂足为F，所以F是SB的中点又因为E是SA的中点，所以EFAB.因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEGE，所以平面EFG平面ABC.(2)因为平面SAB平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC.因为BC平面SBC，所以AFBC.又因为ABBC，AFABA，AF，AB平面SAB，所以BC平面SAB.因为SA平面SAB，所以BCSA.163.（2013安徽高考文）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，已知PBPD2，PA.(1)证明：PCBD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥PBCE的体积解：本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力(1) 证明：连接AC，交BD于O点，连接PO.因为底面ABCD是菱形，所以ACBD，BODO.由PBPD知，POBD.再由POACO知，BD面APC，又PC平面PAC，因此BDPC.(2)因为E是PA的中点，所以VPBCEVCPEBVCPABVBAPC.由PBPDABAD2知，ABDPBD.因为BAD60，所以POAO，AC2，BO1.又PA，PO2AO2PA2，即POAC，故SAPCPOAC3.由(1)知，BO平面APC，因此VPBCEVBAPCBOSAPC.40.（2013山东高考文）如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点(1)求证：CE平面PAD；(2)求证：平面EFG平面EMN.证明：本题主要考查空间直线与平面、平面与平面间的位置关系，考查推理论证能力和空间想象能力(1)法一：取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EHAB，EHAB.又ABCD，CDAB，所以EHCD，EHCD，因此四边形DCEH是平行四边形所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD，因此CE平面PAD.法二：连接CF.因为F为AB的中点，所以AFAB.又CDAB，所以AFCD.又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形因此CFAD.又CF平面PAD，所以CF平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又EF平面PAD，所以EF平面PAD.因为CFEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又ABPA，所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNCD.又ABCD，所以MNAB，因此MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.41.（2013大纲卷高考文）如图，四棱锥PABCD中，ABCBAD90，BC2AD，PAB和PAD都是边长为2的等边三角形(1)证明： PBCD；(2)求点A到平面PCD的距离解：本题主要考查空间直线、平面的垂直和平行的判定定理与性质定理、点到平面的距离；考查空间想象能力、逻辑推理能力、识图能力；考查转化思想(1)证明：取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形过P作PO平面ABCD，垂足为O.连接OA，OB，OD，OE.由PAB和PAD都是等边三角形知PAPBPD，所以OAOBOD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OEBD，从而PBOE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OECD.因此，PBCD.(2)取PD的中点F，连接OF，则OFPB.由(1)知，PBCD，故OFCD.又ODBD，OP ，故POD为等腰三角形，因此OFPD.又PDCDD，所以OF平面PCD.因为AECD，CD平面PCD，AE平面PCD，所以AE平面PCD.因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而OFPB1，所以A到平面PCD的距离为1.42.（2013福建高考文）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60.(1)当正视方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥PABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为PA的中点，求证：DM平面PBC；(3)求三棱锥DPBC的体积解：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想法一：(1)在梯形ABCD中，过点C作CEAB，垂足为E.由已知得，四边形ADCE为矩形，AECD3，在RtBEC中，由BC5，CE4，依勾股定理得BE3，从而AB6.又由PD平面ABCD得，PDAD，从而在RtPDA中，由AD4，PAD60，得PD4.正视图如图所示：(2) 证明：取PB中点N，连接MN，CN.在PAB中，M是PA中点，MNAB，MNAB3.又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四边形MNCD为平行四边形，DMCN.DM平面PBC，CN平面PBC，DM平面PBC.(3)VDPBCVPDBCSDBCPD，又SDBC6，PD4，所以VDPBC8.法二：(1)同法一(3) 证明：取AB的中点E，连接ME，DE.在梯形ABCD中，BECD，且BECD，四边形BCDE为平行四边形，DEBC.DE平面PBC，BC平面PBC，DE平面PBC.在PAB中，MEPB，ME平面PBC，PB平面PBC，ME平面PBC.DEMEE，平面DME平面PBC.DM平面DME，DM平面PBC.(3)同法一43.（2013新课标高考文）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点(1)证明：BC1平面A1CD；(2)设AA1ACCB2，AB2，求三棱锥CA1DE的体积解：本题主要考查直三棱柱的概念、空间直线与平面的位置关系、棱锥体积的计算，意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力(1) 证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连接DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.由已知ACCB，D为AB的中点，所以CDAB.又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，AB2得ACB90，CD，A1D，DE，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D.所以VCA1DE1.44.（2013湖南高考文）如图在直棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC，AA13，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动(1)证明：ADC1E；(2)当异面直线AC，C1E 所成的角为60时，求三棱锥C1A1B1E的体积解：本题主要考查线线垂直、异面直线所成的角与几何体的体积求解，意在考查考生的转化能力和空间想象能力(1)证明：因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，而AD平面ABC，所以ADBB1.由，得AD平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，所以ADC1E.(2)因为ACA1C1，所以A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，由题设，A1C1E60.因为B1A1C1BAC90，所以A1C1A1B1，又AA1A1C1，从而A1C1平面A1ABB1，于是A1C1A1E.故C1E2，又B1C12，所以B1E2.从而V三棱锥C1A1B1ESA1B1EA1C12.45.（2013浙江高考文）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABBC2，ADCD，PA，ABC120.G为线段PC上的点(1)证明：BD平面APC；(2)若G是PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值；(3)若G满足PC平面BGD，求的值解：本题主要考查空间点、线、面的位置关系，线面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力(1)证明：设点O为AC，BD的交点由ABBC，ADCD，得BD是线段AC的中垂线所以O为AC的中点，BDAC.又因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.又ACPAA，所以BD平面APC.(2)连接OG.由(1)可知OD平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以OGD是DG与平面APC所成的角由题意得OGPA.在ABC中，AC2，所以OCAC.在直角OCD中，OD2.在直角OGD中，tanOGD.所以DG与平面APC所成的角的正切值为.(3)连接OG.因为PC平面BGD，OG平面BGD，所以PCOG.在直角PAC中，得PC.所以GC.从而PG，所以.46（2013新课标高考文）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的体积解：本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力(1) 证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OCOA1.又A1C，则A1C2OC2OA，故OA1OC.因为OCABO，所以OA1平面ABC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面积SABC，故三棱柱ABCA1B1C1的体积VSABCOA13.47.（2013天津高考文）如图，三棱柱ABCA1B1C1中， 侧棱A1A底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点(1)证明：EF平面A1CD；(2)证明：平面A1CD平面A1ABB1；(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值解：本题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力(1)证明：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，且ACA1C1，连接ED，在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC且DEAC，又F为A1C1的中点，可得A1FDE，且A1FDE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EFDA1，又EF平面A1CD，DA1平面A1CD，所以EF平面A1CD.(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CDAB，又侧棱A1A底面ABC，CD平面ABC，所以AA1CD，又AA1ABA，因此CD平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD平面A1ABB1.(3)在平面A1ABB1内，过点B作BGA1D交直线A1D于点G，连接CG.由于平面A1CD平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，故BG平面A1CD.由此得BCG为直线BC与平面A1CD所成的角设棱长为a，可得A1D，则A1ADBGD，易得BG，在RtBGC中，sinBCG.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.48.（2013湖北高考文）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2d1.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2d2，C1C2d3，且d1d2d3.过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中(1)证明：中截面DEFG是梯形；(2)在ABC中，记BCa，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1A2B2C2的体积V)时，可用近似公式V估S中h来估算已知V(d1d2d3)S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明解：本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力(1)证明：依题意A1A2平面ABC，B1B2平面ABC，C1C2平面ABC，所以A1A2B1B2C1C2.又A1A2d1，B1B2d2，C1C2d3，且d1d2d3.因此四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形由AA2平面MEFN，AA2平面AA2B2B，且平面AA2B2B平面MEFNME，可得AA2ME，即A1A2DE.同理可证A1A2FG，所以DEFG.又M，N分别为AB，AC的中点，则D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中点，即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线因此DE(A1A2B1B2)(d1d2)，FG(A1A2C1C2)(d1d3)，而d1d2d3，故DEFG，所以中截面DEFG是梯形(2)V估V.证明如下：由A1A2平面ABC，MN平面ABC，可得A1A2MN.而EMA1A2，所以EMMN，同理可得FNMN.由MN是ABC的中位线，可得MNBCa，即为梯形DEFG的高，因此S中S梯形DEFG(2d1d2d3)，即V估S中h(2d1d2d3)又Sah，所以V(d1d2d3)S(d1d2d3)于是VV估(d1d2d3)(2d1d2d3)(d2d1)(d3d1)由d1d20，d3d10，故V估V.49.（2013陕西高考文）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心， A1O底面ABCD，ABAA1.(1)证明：平面 A1BD平面CD1B1；(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积解：本题主要考查面面平行的证明方法，考查体积的计算，重在考查考生应用空间位置关系和相关概念、定理解决问题的能力(1)证明：由题设知，BB1綊DD1，BB1D1D是平行四边形，BDB1D1.又BD平面CD1B1，BD平面CD1B1.A1D1綊B1C1綊BC，A1BCD1是平行四边形，A1BD1C.又A1B平面CD1B1，A1B平面CD1B1.又BDA1BB，平面A1BD平面CD1B1.(2)A1O平面ABCD，A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高又AOAC1，AA1，A1O1.又SABD1，VABDA1B1D1SABDA1O1.50.（2013江西高考文）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E为CD上一点，DE1，EC3.(1)证明：BE平面BB1C1C；(2)求点B1 到平面EA1C1 的距离解：本题主要考查直线与平面垂直、等体积法计算点到平面的距离等基础知识，意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力(1) 证明：过B作CD的垂线交CD于F，则BFAD，EFABDE1，FC2.在RtBFE中，BE.在RtCFB中，BC.在BEC中，因为BE2BC29EC2，故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1，所以BE平面BB1C1C.(2)三棱锥EA1B1C1的体积VAA1SA1B1C1.在RtA1D1C1中，A1C13.同理，EC13，A1E2.故SA1C1E3.设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1A1C1E的体积VdSA1C1Ed，从而d，d.51.（2013四川高考文）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2AA12，BAC120，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1QC1D的体积(锥体体积公式：VSh，其中S为底面面积，h为高)解：本题主要考查基本作图、线面的平行与垂直、棱锥的体积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力(1) 如图，在平面ABC内，过点P作直线lBC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l平面A1BC.证明：由已知，ABAC，D是BC的中点，所以，BCAD，则直线lAD.因为AA1平面ABC，所以AA1直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l平面ADD1A1.(2)过D作DEAC于E.因为AA1平面ABC，所以DEAA1.又因为AC，AA1在平面AA1C1C内，且AC与AA1相交，所以DE平面AA1C1C.由ABAC2，BAC120，有AD