第二十七讲圆的方程.doc

第二十七讲 圆的方程【基础回顾】一、基础知识：1、圆的标准方程和一般方程圆的标准方程圆的一般方程方程圆心半径注意：（1）圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆的几何性质：圆心和半径，而圆的一般方程突出了方程形式上的特点：和的系数相同且不等于0.没有这样的项.以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件.(2)求圆的一般方程需要三个条件，以便确定三个变量.2、点圆的位置关系（1）当时，则 ；（2）当时，则 ；（3）当时，则 .3、二元二次方程（1）当时，该方程表示以 为圆心，以 为半径的圆；（2）当时，该方程表示一个点 ；（3）当时，该方程 .4、过两不同点和的圆的方程是 .5、平面上到两个不同点的距离之比为的点的轨迹是 .二.基础训练1.方程表示圆的充要条件是 . 2.若方程表示圆，则实数的值为 . 3.以直线3x4y120夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为_4.过点三点的圆的方程是 . 5.过点，且圆心在直线上的圆方程是 . 6.设圆，若，则原点圆的位置关系为 .【典型例题】例1、根据下列条件，求圆的方程：(1)经过点A(6,5)、B(0,1)两点，并且圆心在直线3x10y90上；(2)经过P(2,4)、Q(3，1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6.例2、已知圆C同时满足下列三个条件：与y轴相切；在直线yx上截得弦长为2；圆心在直线x3y0上，求圆C的方程例3、已知点P(x，y)是圆(x2)2y21上任意一点(1)求P点到直线3x4y120的距离的最大值和最小值；(2)求x2y的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值例4、设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。（1） 求实数的取值范围；（2） 求圆的方程；（3） 问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论。【巩固练习】1.动圆的半径的取值范围是 . 2.已知点P(2,1)在圆C：上，点P关于直线的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为、半径为3. 已知点是圆上的一个动点，则的取值范围_4圆心在直线5x3y8上，且与两坐标轴相切的圆的标准方程为_5.已知点关于直线的对称点为,则圆关于直线对称的圆的方程为 . 6已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(a,2)，B(4，a)，C(a1,1)，则三角形ABC的外接圆的方程是_ 7.若直线axby1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是_8过点P(1,2)总可作两条直线与圆x2y2kx2yk2150相切，则k的取值范围是_9.已知A(2,0)，B(0,2)，C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC面积的最大值是_10. 若圆x2(y1)21上任意一点(x，y)都使不等式xym0恒成立，则实数m的取值范围是_11根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x3y10上；(2)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)；12. 已知实数x、y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值13.已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖试求圆的方程.若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程.14.已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且.(1)求直线的方程； 求圆的方程；设点在圆上，试问使的面积等于8的点共有几个？证明你的结论.【拓展提高】1.已知过点A(0,1)和B(4，a)，且与x 轴相切的圆只有一个，求a的值及此时圆的方程2.若，则的最大值 .【总结反思】参考答案基础训练1. 或 2. 3. (x2)22 4. 5. 6. 点在圆外典型例题例1解(1)AB的中垂线方程为3x2y150，由解得圆心为C(7，3)又|CB|.故所求圆的方程为(x7)2(y3)265.(2)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P、Q点的坐标分别代入得又令y0，得x2DxF0.设x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6有D24F36，由、解得D2，E4，F8，或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80，或x2y26x8y0.例2、解：设所求的圆C与直线yx交于A、B两点，过C作CDAB于点D.圆心C在直线x3y0上，设圆心为C(3a，a)，圆与y轴相切，R3|a|.而圆心C到直线xy0的距离CD|a|.又AB2，BD，在RtCBD中，R2(CD)2()2，9a22a27，a21，a1,3a3，圆心的坐标C为(3,1)或(3，1)，故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.例3、解：(1)圆心C(2,0)到直线3x4y120的距离为d.P点到直线3x4y120的距离的最大值为dr1，最小值为dr1.(2)设tx2y，则直线x2yt0与圆(x2)2y21有公共点，1.2t 2，tmax2，tmin2.故x2y的最大值为2，最小值为2.(3)设k，则直线kxyk20与圆(x2)2y21有公共点，1.k，kmax，kmin.（1）例4、（1）设所求圆的方程为。令得又时，从而。所以圆的方程为。（3）整理为，过曲线与的交点，即过定点与。巩固练习1. 2.（，）， 3. 4. (x4)2(y4)216或(x1)2(y1)21 5. 6. 7. 8. 9. 3 10. m111. 解(1)设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意列出方程组，解之得圆的标准方程是(x4)2(y3)225.(2)过切点且与xy10垂直的直线为y2x3，与y4x联立可求得圆心为(1，4)半径r2，所求圆的方程为(x1)2(y4)28.12. 解：(1)原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.13.解：(1)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是, 所以圆的方程是. (2)设直线的方程是:. 因为,所以圆心到直线的距离是, 即 解得:， 所以直线的方程是:. 14. 解：直线的斜率 ，中点坐标为 ， 直线方程为设圆心，则由在上得： 又直径,，又 由解得或 圆心 或 圆的方程为 或 ， 当面积为时 ，点到直线的距离为 .又圆心到直线的距离为，圆的半径 且 圆上共有两个点使 的面积为.拓展提高1.解由于点A(0,1)在x轴上方，故经过点A且与x轴相切的圆也在x轴上方设所求圆的方程为(xm)2(yn)2n2，其中圆心为(m，n) (n0)，半径为n.将A、B两点的坐标代入，得将2n1m2代入得(1a)m28m(a2a16)0由于所求圆只有一个，故关于m的方程的解只有一个(1)当a1时，化为8m160，解得m2，代入求得n，此时所求圆的方程为：(x2)22.(2)当a1时，方程是关于m的一元二次方程4a(a22a17)0，a22a17(a1)2160，a0，代入得m