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第三章 3 函数的连续性（第一讲）一、函数连续性的定义变量的增量 （从变到）可正可负设函数在点的某邻域内有定义（含点）。在点，自变量的增量为 相应有函数的增量 连续性：定义1 若称在点连续定义2 若称在点连续（满足3点，1在有定义，2存在，3 等于在区间上连续：在区间I上每点都连续如：在连续，在连续即有 注：连续即左连续：；右连续：结论：在连续左、右连续（讨论分段函数在分界点的连续性）如：例1：解： ， 当时，即时，在连续。间断点：的以下三种情况为在不连续1无定义；如在；在2不存在，（含和）3存在，称为的间断点第一类间断点：都存在可去间断点 存在，但（或不存在） 如及，在及跳跃间断点： 如 在 对可去间断点，若定义，则在连续。如：有，若定义可使在连续第二类间断点：与至少有一个不存在（含）无穷间断点 （或） 如 ，在是间断点 在是间断点振荡间断点如： 在 是振荡间断点； 在 是振荡间断点，函数值在1与1之间无限次振荡例2：设 讨论在的连续性（时时） 为跳跃间断点例3讨论 在点的连续性，（）解 当时，即在连续 当时，不连续例4求的值，使 在连续解：， ，当时 连续例5设 处处连续，求解 时，在连续，故在连续例6设 求a、b，使在连续解：即 时，分母 有即 例7设 求a、b使在连续。解： 有 即时，在连续（第二讲）二、初等函数的连续性1基本初等函数在其定义域内是连续的。如 一切初等函数在其定义区间内均为连续的。如2连续函数的运算：设在点连续，则 （当时），均在点连续。3利用连续性求极限 即求函数值 如： 讨论分段函数的连续性时，段点处要用左、右连续，在各段内若为初等函数则为连续的。4反函数的连续性：若在区间上单增（减）且连续，则反函数在上单增（减）且连续。如在单增，连续，则在单增连续 在单减连续，则在-1，1单减且连续5复合函数求极限定理1 设若，而在点连续，则有 （注：相当于代换 令 当时， ）例1：由复合 （在连续）例2：由复合 例3：证明当时证：令当时 例4设讨论的连续性解：时， 是无穷间断点当时是初等函数，故连续。例5：利用连续性求极限（1）求 解：原式（2） 解：原式（3）例6 设讨论的连续性解：无穷间断点，跳跃间断点 在上是连续的例7 设是连续函数，求常数，使得 在上连续解：存在 当即时，在连续，而当和时，为初等或连续函数，在连续三、闭区间上连续函数的性质定理2（最值定理）设在连续，则存在使,为最小值和最大值。（即对任意有）如：在上有 在上无 在上无零点：若存在使，称是的零点，或方程的根。定理3（零点定理）设在上连续，则至少存在一点，使得 定理4（介值定理）设在上连续，为介于与之间的任何数，则至少存在一点，使得 证：设 又由，知由零点定理，存在使得 ，即推论：必取得介于与之间的任何值。（即对任意，至少存在使）例8.证明方程至少有一
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