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第三章 扭 转1 基本概念及知识要点1.1 基本概念外力偶矩、扭矩、扭转切应力、相对扭转角、单位长度扭转角。以上概念是进行扭转强度计算及变形计算的基础，应准确掌握和理解这些基本概念。1.2 外力偶矩杆件所受外力偶的大小一般不直接给出，而已知轴传递的功率P（kW）和轴的转速n(r/min)，则轴所受的外力偶矩；若轴传递的功率P（Ps），则轴所受的外力偶矩；有时外力偶矩由力系简化确定。1.3 扭矩扭转变形时横截面上的内力称为扭矩，用截面法求解。扭矩的符号规定如下：按右手螺旋定则，把扭矩表示为矢量，扭矩矢量方向与横截面外法线方向一致时扭矩为正，反之为负。这一符号规定保证了计算扭矩时，不论截面法中取哪一侧分析，截面的扭矩符号一致。1.4 切应力互等定理在两个相互垂直的平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离两个平面的交线。1.5 剪切胡克定律当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力和切应变成正比，即 G称为剪切弹性模量（或称为切变模量），常用单位为 GPa。1.6 圆轴扭转时的应力和变形1圆轴扭转时横截面上产生切应力，切应力垂直于半径，呈线性分布，距圆心为处的切应力计算式为式中：横截面上的扭矩；截面对圆心的极惯性矩；所求应力处离圆心的距离。其中圆心处切应力为零，横截面的外边缘处切应力最大，其计算式为式中：称为抗扭截面系数。圆轴扭转时的强度条件为2极惯性矩和抗扭截面系数，对于实心圆截面，它们分别为 和 对于空心圆截面 和 式中：，是空心圆截面的内径和外径的比值。3圆轴扭转时的变形用相对扭转角表示，指轴的一个截面相对于另一个截面转过的角度，长度为l的等截面圆轴两端的相对扭转角为单位长度扭转角为圆轴扭转时的刚度条件为16 非圆截面杆的扭转非圆截面杆扭转时横截面不再保持为平面，出现翘曲现象，故圆轴扭转的理论不再适用，具体经验公式见教材，本部分为了解内容。图312 重点与难点及解析方法2.1 圆轴扭转时的强度计算及刚度计算圆轴扭转时，横截面上切应力位于该截面内，垂直于半径并沿半径线性分布，最大切应力在外表面处，各点均处于纯剪切应力状态。用两截面之间的相对扭转角来表示扭转变形的程度，据此可建立圆轴扭转的强度条件和刚度条件，这是本章的重点内容，应熟练掌握。解析方法：1.强度计算和刚度计算包括三个方面：校核、设计截面尺寸及确定许用载荷。以设计圆轴截面尺寸为例，应同时考虑强度条件和刚度条件，可以先按强度条件设计截面尺寸，然后校核刚度条件是否满足；也可以先按刚度条件设计截面尺寸，然后校核强度条件是否满足。或者，同时按强度和刚度条件设计截面尺寸，最后选两种情形下所得尺寸中之较大者。一般情况下，对于圆轴其刚度条件更为重要。2. 在强度和刚度计算中，必须根据扭矩图判断何处扭矩最大，同时还要根据轴的直径和材料性能判断何处截面最弱，或刚度最小。将二者加以综合考虑，尽可能找到最危险位置进行计算。当有几个可能危险位置时，应同时进行计算，最后加以比较。在强度条件中的最大切应力max及刚度条件中的最大的单位长度扭转角max，分别为整个轴内与的最大值。3.圆轴的扭转变形量是相对扭转角，刚度条件用单位长度扭转角表示，计算时应注意这两概念的差别，还应注意刚度条件中单位长度扭转角的单位是/m。空心圆轴扭转的强度条件中，抗扭截面系数。2.2切应力互等定理在两个相互垂直平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离两个平面的交线。这是本章的难点内容，注意理解并能熟练应用。2.3简单扭转静不定问题此类问题与拉压静不定问题求解方法相同，列出静力平衡方程、变形几何关系及物理关系联立求解。解析方法：关键是列变形几何关系，一般为某一截面的扭转角（或相对扭转角）等于零。3 典型问题解析3.1圆轴扭转时的强度计算及刚度计算例题3.1：传动轴如图3-2（a）所示，主动轮A输入功率马力，从动轮B、C、D输出功率分别为马力，马力，轴的转速为。试绘轴的扭矩图。MeAMeBMeBMeBMeCMeCMeDMeD图32解：根据外力偶矩公式计算各轮上的外力偶矩因各截面上的扭矩不相等，将轴分为BC、CA、AD三段。分别用截面法计算各段内的扭矩。在BC段内，截面II上的扭矩为，如图（b）所示。由平衡方程负号说明截面上的实际扭矩与假定的方向相反。在BC段内各截面上的扭矩不变，所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在CA段内，由图（c）得 在AD段内，由图（d）得MeBMeDMeAMeC把各截面上的扭矩沿轴线变化的情况用图（e）表示出来，即为扭矩图。从图中可得，最大扭矩发生在CA段内，。图33讨论：对同一根轴，若把主动轮A放置在轴的一端，例如放在右端，则轴的扭矩图如图3-3所示，这时轴的最大扭矩是。可见，传动轴上主动轮和从动轮放置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。两者相比，显然图（e）所示布局比较合理。解题指导：扭矩图一般以横轴表示杆件横截面位置，纵轴表示扭矩大小。并规定：任一横截面上的扭矩，其扭矩矢量与横截面外法线方向一致者为正，反之为负。传动轴的主动轮和从动轮的配置位置与轴各段的扭矩分配有关，在配置各轮位置时应注意，尽量提高轴的承载能力。例题3.2：图34（a）所示圆轴的长度为2l，l500 mm，直径d150 mm。B、C两截面处承受外力偶分别为Me110kNm，Me28kNm。已知材料的剪切弹性模量G80 GPa。求：1试作轴的扭矩图； 2求轴的最大切应力，并指出其所在位置； 3求C截面对A截面的相对扭转角。解：1画扭矩图；根据上例中所述之方法可画出扭矩图如图34（b）所示。从图中可以看出，最大扭矩发生在BC段的各个截面上，其数值为8k Nm（注意：正负号只说明扭矩的方向）。图34 2求解最大切应力；最大切应力发生在BC段各截面的外边缘上，如图34（c）所示。其值为3计算相对扭转角；在AB和BC中扭矩沿长度方向无变化，因此两个端截面（A和B，B和C）的相对扭转角为。但二者是反向的。于是C截面相对于A截面的相对扭转角为负号表示相对扭转角的方向与TBC的方向一致。解题指导：计算相对扭转角时，需要根据扭矩分段计算，有时还须考虑抗扭刚度。计算结果的正负号反映了扭转角的转向。例题3.3：图35所示传动机构中，AB轴的转速n1120转分，从B轮上输入功率P20千瓦，此功率的一半通过锥形齿轮传给垂直轴C，另一半传给水平轴H。若锥齿轮A和D的齿数分别为36和12。各轴的直径分别为d160 mm，d225 mm，d340 mm。轴的许用切应力90 MPa。试对各轴进行强度校核。解：1首先计算各轴所承受的扭矩；C轴H轴图35 各轴所传递的功率分别为各轴的转速分别为n1=n3=120转/分则各轴所受的外力偶矩分别为根据截面法，各轴的扭矩均与作用于轴上的外力偶矩相等。2强度校核；AB轴C轴H轴所以各轴的强度都是满足的。例题3.4：图36如图3-6所示，钻探机钻杆的外径D=70mm，内径d=50mm，功率P=10kW，转速n=150r/min，钻杆钻土深度达h =50m，材料的切变模量G=80GPa，许用扭转切应力t=40MPa，假设土壤对钻杆的阻力沿杆长度均匀分布。试求：1） 土壤对钻杆单位长度上的阻力矩m；2） 作钻杆的扭矩图；3） 校核钻杆的强度；4） 钻杆B截面的扭转角。解：1计算钻杆单位长度上受到土壤的阻力矩钻杆上所承受的总外力偶矩为因为土壤对钻杆的阻力矩沿杆长方向均匀分布，所以土壤对钻杆单位长度上的扭力矩为T图37 2作钻杆的扭矩图；因为自B至A外力矩均匀分布，因此距B端x远处任意截面上的扭矩为由此，可以作出钻杆之扭矩图如图37所示。3校核钻杆的强度；由扭矩图可知，钻杆内最大扭矩，于是杆内的最大切应力所以钻杆的强度是满足的。4计算B截面的扭转角根据将代入上式，积分得到 解题指导：当轴上扭矩为线性分布时，计算相对扭转角可先计算dx微段内的微扭转角d，将各微扭转角沿长度方向积分即得到间距为l的两截面的相对扭转角。例题3.5：一厚度为，长度为的薄板，卷成直径为的圆环，并承受力偶矩。试求：（1）板边自由的情况下（图a），开口薄壁圆环的切应力与扭转角；（2）将板边焊在一起后（图b），闭口薄壁圆环的切应力与扭转角。图38解：1.开口薄壁圆环的切应力与扭转角在板边自由的情况下，可把环形展直，看作狭长矩形。于是，由矩形截面杆的扭转公式，得最大切应力对于薄壁杆件，查表可得相对扭转角查表可得，所以2.闭口薄壁圆环的切应力与扭转角。薄壁圆环内的切应力为相对扭转角对于薄壁圆环，其极惯性矩解题指导：开口薄壁圆环与闭口薄壁圆环比较：最大切应力相对扭转角即开口薄壁圆环的切应力和扭转角比闭口薄壁圆环的大得多，因此在使用上是不利的。例题3.6：一内径d100mm的空心薄壁圆轴，如图39所示。已知圆轴承受扭矩T5kN.m，许用切应力80MPa，试确定空心圆轴的壁厚t 。解：1. 用薄壁圆筒扭转公式计算；由于壁厚很薄，假设横截面上的切应力均匀分布，由薄壁圆筒的切应力公式知Ddt图39式中R（d+t）/2为平均半径。代入强度条件得所以解之得 t3.70mm2. 用空心圆轴扭转切应力公式计算。圆轴扭转切应力强度条件为式中 ，Dd+2t所以代入数据，解之得D=107.66mm解题指导：由本例可以看出，对于薄壁空心圆轴，用薄壁圆筒扭转切应力近似公式和圆轴扭转切应力公式计算的结果是非常接近的。3.2简单扭转静不定问题例题3.7：20N.m380N.m220N.mMeCAMeBD1250500700(a)(b)图310图310(a)所示等截面实心圆轴，已知外力偶矩MeB=400N.m, MeC=600N.m，轴材料的G=80GPa，=40MPa，=0.25。/m。试设计轴的直径。解：设A、D两处的约束力偶为、列平衡方程为（1）其中有两个未知约束力偶，故为一次静不定问题。因A、D两端为固定端，可写出变形协调方程为（2）物理方程为 (3)以上三式联立解得MA=20N.m, MD=220N.m，由此作出轴的扭矩如图310（b）所示。轴上的最大扭矩 强度条件刚度条件圆轴直径取解题指导：求解静不定问题的关键是列出补充方程，即变形协调方程。例题3.8：两个长度相等的钢管套在一起。外管之外径与内径分别为D1100mm，d190 mm；内管之外径与内径分别为D290 mm，d280 mm。当内管承受扭矩T2k Nm作用时，将两管的端部焊在一起，然后去掉扭矩。问：此时管内将产生什么样的应力，画出组合管横截面上的应力分布图，并计算最大应力的数值，说明其作用位置。图311 内管受扭前位置； 内管受扭、焊接后位置； 卸载后位置解:当内管承受扭矩T时，它的两个端截面要产生相对扭转角，若假设一端不动，另一端截面则转过角。如果内外管不焊在一起，当T除去时，则亦因弹性变形而返回零。当二者焊在一起后，再除去扭矩T，角也要返回一些，但因外管的约束，它不能返回零，而处在某个位置，如图311（a）所示。这时不仅内管上仍有扭转角，外管也因受内管的作用而产生相反方向扭转角。则内、外管截面上产生大小相等、方向相反的扭矩Ti和To。因为在弹性范围内加载，切应力依然沿半径线性分布。由此可作出组合管截面上的切应力分布图，如图311（b）所示。据以上分析，这也是一静不定问题。其平衡方程为TiTo (a)Ti与To分别为内管和外管截面上的扭矩。由图（a）可得到内外管变形关系为 （b）其中、均取绝对值，即， ， （c）将（a）、（c）代人（b）并消去G、l后，得到上式化简为其中代入上式，得内外管所受之扭矩相等，内、外管内的最大切应力分别为例题3.9：一根套接的轴（紧配合或粘结联接）传递一外力偶m，如图312（a）所示。试分别画出两轴的扭矩图，说明外力偶是如何由1轴传至2轴的。图312（a）解：对1、2轴，在A、B间任取一小微段Dl，由于两轴之间无滑动，微段两端的相对扭转角相等，即静力关系：联立解得：故可画出两轴的扭矩图分别为图312（b）所示，请读者思考外力偶是怎么传递的？（参考图312（c）图312（c）图312（b）4 自我测试扭 转1.电动机传动轴横截面上扭矩与传动轴的（ ）成正比。（A）传递功率P； （B）转速n；（C）直径D； （D）剪切弹性模量G。正确答案是 。2.圆轴横截面上某点剪切力r的大小与该点到圆心的距离r成正比，方向垂直于过该点的半径。这一结论是根据（ ）推知的。（A） 变形几何关系，物理关系和平衡关系；（B） 变形几何关系和物理关系；（C） 物理关系；（D） 变形几何关系。正确答案是 。3.一根空心轴的内、外径分别为d、D。当D2d时，其抗扭截面模量为（ ）。（A） 7/16pd3； （B）15/32pd3； （C）15/32pd4； （D）7/16pd4。正确答案是 。4.设受扭圆轴中的最大切应力为，则最大正应力（ ）。（A） 出现在横截面上，其值为；（B） 出现在450斜截面上，其值为2；（C） 出现在横截面上，其值为2；（D） 出现在450斜截面上，其值为。 正确答案是 。5.铸铁试件扭转破坏是（ ）。（A）沿横截面拉断； （B）沿横截面剪断；（C）沿450螺旋面拉断； （D）沿450螺旋面剪断。正确答案是 。6.非圆截面杆约束扭转时，横截面上（ ）。（A）只有切应力，无正应力； （B）只有正应力，无切应力；（C）既有正应力，也有切应力； （D）既无正应力，也无切应力；正确答案是 。7. 非圆截面杆自由扭转时，横截面上（ ）。（A）只有切应力，无正应力； （B）只有正应力，无切应力；（C）既有正应力，也有切应力； （D）既无正应力，也无切应力；正确答案是 。8. 设直径为d、D的两个实心圆截面，其惯性矩分别为IP（d）和IP（D）、抗扭截面模量分别为Wt（d）和Wt（D）。则内、外径分别为d、D的空心圆截面的极惯性矩IP和抗扭截面模量Wt分别为（ ）。（A） IPIP（D）IP（d），WtWt（D）Wt（d）；（B）