高三数学 圆锥曲线的概念与性质、存在性问题与曲线中的证明期末复习测试卷 文.doc

圆锥曲线的概念与性质、存在性问题与曲线中的证明(40分钟)一、选择题1.抛物线y=x24的焦点坐标是() a.0,116b.116,0c.(1,0)d.(0,1)2.设双曲线y29-x2a2=1(a0)的渐近线方程为3x4y=0,则双曲线的离心率为()a.54b.53c.74d.73.已知椭圆x2a2+y22=1(a0)的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则该椭圆的离心率是()a.32b.233c.22d.634.(2013天津模拟)已知抛物线y2=43x的准线与双曲线x2a2-y2b2=1两条渐近线分别交于a,b两点,且|ab|=2,则双曲线的离心率e为()a.2b.43c.2d.2335.(2013重庆模拟)已知点p是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)和圆x2+y2=a2+b2的一个交点,f1,f2是双曲线的两个焦点,pf2f1=2pf1f2,则双曲线的离心率为()a.3+1b.3+12c.2d.126.下列四个命题中不正确的是()a.若动点p与定点a(-4,0),b(4,0)连线pa,pb的斜率之积为定值49,则动点p的轨迹为双曲线的一部分b.设m,nr,常数a0,定义运算“”:mn=(m+n)2-(m-n)2,若x0,则动点p(x, )的轨迹是抛物线的一部分c.已知两圆a:(x+1)2+y2=1,圆b:(x-1)2+y2=25,动圆m与圆a外切,与圆b内切,则动圆的圆心m的轨迹是椭圆d.已知a(7,0),b(-7,0),c(2,-12),椭圆过a,b两点且以c为其一个焦点,则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线二、填空题7.(2013广州模拟)已知双曲线x2-ky2=1的一个焦点是(5,0),则其渐近线方程为.8.f1,f2是双曲线x2-y2m=1(m0)的两个焦点,过点f2作与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为a,满足|af2|=|f1f2|,则m的值为.9.(2013山东高考改编)抛物线c1:y=12px2(p0)的焦点与双曲线c2:x23-y2=1的右焦点的连线交c1于第一象限的点m.若c1在点m处的切线平行于c2的一条渐近线,则p=.三、解答题10.已知圆m:(x-2)2+y2=73,若椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点为圆m的圆心,离心率为22.(1)求椭圆c的方程.(2)已知直线l:y=kx,若直线l与椭圆c分别交于a,b两点,与圆m分别交于g,h两点(其中点g在线段ab上),且|ag|=|bh|,求k的值.11.(2013北京高考)直线y=kx+m(m0)与椭圆w:x24+y2=1相交于a,c两点,o是坐标原点.(1)当点b的坐标为(0,1),且四边形oabc为菱形时,求ac的长.(2)当点b在w上且不是w的顶点时,证明:四边形oabc不可能为菱形.12.(2013成都模拟)如图,已知椭圆x24+y23=1的左焦点为f,过点f的直线交椭圆于a,b两点,线段ab的中点为g,ab的中垂线与x轴和y轴分别交于d,e两点.(1)若点g的横坐标为-14,求直线ab的斜率.(2)记gfd的面积为s1,oed(o为原点)的面积为s2.试问:是否存在直线ab,使得s1=s2?说明理由.答案解析1.【解析】选d.因为抛物线y=x24,即x2=4y,所以2p=4,p=2,焦点坐标为(0,1).2.【解析】选b.由已知得:3a=34,则a=4,则c2=9+a2=25,得c=5,所以e=53.【误区警示】本题易忽视双曲线的焦点在y轴上而误选.3.【解析】选d.由已知得椭圆的一个焦点为(2,0),所以c=2.又a2-2=4,所以a=6,所以e=26=63.4.【解析】选d.由已知y2=43x得其准线方程为x=-3,而双曲线x2a2-y2b2=1的两条渐近线方程为y=bax,得a-3,3ab,b-3,-3ab,则|ab|=23ab=2,所以有ba=33,即c2-a2a2=33,亦即:e2-1=33,结合e1,解得:e=233.5.【解析】选a.如图:由已知f1f2正好是圆的直径,所以f1pf2=2,pf1f2=6,所以由双曲线定义得2ccos6-2csin6=2a,所以e=ca=132-12=3+1.6.【解析】选d.a中轨迹是双曲线去掉与x轴交点的部分,b中的抛物线取x轴上方的(包含x轴)部分,c中符合椭圆定义是正确的,d中应为双曲线一支.故选d.【方法总结】求动点轨迹方程的常用方法1.直接法:如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,我们只需把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤,也不需要特殊的技巧,所以称之为直接法.2.定义法:若动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义,则可根据定义直接求出动点的轨迹方程.3.相关点法:有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹的方法叫做相关点法或坐标代换法.7.【解析】双曲线的方程可变为x2-y21k=1,又其一个焦点为(5,0),所以k0,且1k+1=5,所以k=14,所以双曲线方程为x2-y24=1,故其渐近线方程为x2-y24=0,即y=2x.答案:y=2x8.【解析】由|af2|=|f1f2|,可知b2a=2c.又a=1,b=m,c=m+1,所以有m=2m+1,即m2-4m=4,m2-4m+4=8,(m-2)2=8,解得m=222.又m0,所以m=2+22.答案:2+229.【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为y=33x.抛物线的焦点为f0,p2,双曲线的右焦点为f2(2,0).y=1px,由题意知在mx0,x022p处的切线斜率为33,即1px0=33,所以x0=33p,点f0,p2,f2(2,0),m33p,p6共线,所以p2-00-2=p6-p233p-0,即p=433.答案:43310.【解析】(1)设椭圆的焦距为2c,因为a=2,ca=22,所以c=1,所以b=1,所以椭圆c:x22+y2=1.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),由直线l与椭圆c交于两点a,b,则y=kx,x2+2y2-2=0,所以(1+2k2)x2-2=0,则x1+x2=0,x1x2=-21+2k2,所以|ab|=(1+k2)81+2k2=8(1+k2)1+2k2,点m(2,0)到直线l的距离d=|2k|1+k2,则|gh|=273-2k21+k2,显然,若点h也在线段ab上,则由对称性可知,直线y=kx就是y轴,矛盾,因为|ag|=|bh|,所以|ab|=|gh|.所以8(1+k2)1+2k2=473-2k21+k2,得k2=1,解得k=1.11.【解题提示】(1)把线段ob的垂直平分线方程与椭圆方程联立,求出点a,c的坐标,再求ac的长.(2)用反证法.假设oabc为菱形,则只需证明若oa=oc,则a点与c点的横坐标相等或互为相反数,从而与已知矛盾.【解析】(1)线段ob的垂直平分线为y=12,因此a,c点的坐标为(3,12),于是ac的长为23.(2)只需证明若oa=oc,则a点与c点的横坐标相等或互为相反数.设oa=oc=r(r1),则a,c为圆x2+y2=r2与椭圆w:x24+y2=1的交点.3x24=r2-1,x=233r2-1,所以a点与c点的横坐标互为相反数或相等,此时b点为顶点.因此四边形oabc不可能是菱形.12.【解析】(1)依题意,直线ab的斜率存在,设其方程为y=k(x+1),将其代入x24+y23=1,整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),所以x1+x2=-8k24k2+3,故点g的横坐标为x1+x22=-4k24k2+3.依题意,得-4k24k2+3=-14,解得k=12.(2)假设存在直线ab,使得s1=s2,显然直线ab不能与x,y轴垂直.由(1)可得g-4k24k2+3,3