高三数学精品复习17 抛物线及其性质.doc

2014届高三数学精品复习之抛物线及其性质1不要把抛物线的标准方程和二次函数的一般形式混为一谈；抛物线的焦点位置取决于哪个变量是一次的及其系数的正负；抛物线标准方程中的“”表示焦准距。举例1 抛物线的准线方程为，则的值为（a） （b） （c） （d）解析：抛物线的标准方程为：，其准线方程为：y= -,a=，故选b。举例2若椭圆(ab0)的左、右焦点分别为f1、f2，线段f1f2被抛物线y2=2bx的焦点分成53的两段，则此椭圆的离心率为 ： (a) (b) (c) (d)解析：抛物线y2=2bx的焦点为f（，0），f将线段f1f2分成53的两段，（+c）：（c -）=53c=2be=,选d。巩固1点m(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离等于6,那么抛物线的方程是( ) (a)y=12x2 (b)y=x2或y=-x2 (c)y=-36x2 (d)y=12x2或y=-36x2巩固2 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为a b c d2.涉及到抛物线上的点到焦点（准线）的距离问题常用定义；有时，抛物线上的点到与准线平行的直线的距离需转化为到准线的距离。举例1已知a（3，1），抛物线上一点p（x,y），则|pa|+y的最小值为 。解析：抛物线的准线为：y= -1，焦点f（0，1），记p在直线y= -1上的射影为q，则y=|pq|-1=|pf|-1，|pa|+y=|pa|+|pf|-1，问题转化为：求|pa|+|pf|的最小值，易见：|pa|+|pf|af|=3，当且既当f、p、a共线时等号成立，故：|pa|+y的最小值为2。xyf1f2mpoq举例2已知椭圆e的离心率为e，两焦点为f1，f2，抛物线c以f1为顶点，f2为焦点，p为两曲线的一个公共点，若=e，则e的值为：a b c d解析：记抛物线的准线交x轴于m，p在上的射影为q，则|f1m|=|f1f2|=2c，即的方程为x= -3c，|pf2|=|pq|，又=e，即=e，f1是椭圆的左焦点，|pq|为p到椭圆左准线的距离，即为椭圆的左准线，于是有：-3c= -e=，选a。巩固1 一动圆圆心在抛物线上，过点(0 , 1)且与定直线相切，则的方程为（ ） a.b.c.d.巩固2 椭圆c1：的左准线为，左、右焦点分别为f1，f2，抛物线c2的准线也为，焦点为f2，记c1与c2的一个交点为p，则= （ ）a b1 c2 d与a,b的取值有关3过抛物线y2=2px的焦点直线与抛物线y2=2px交于a(x1,y1)、b(x2,y2)两点，记住并会证明：，|ab|=(其中为弦ab的倾角，=900时的弦ab即为抛物线的通经)，证明该结论时为避免讨论斜率不存在情形，可设直线方程为：x=my+(其中m为ab的斜率的倒数)；抛物线焦点弦问题常用定义，如：以焦点弦为直径的圆与准线相切。举例1抛物线y2=2px上弦长为a（a2p）的弦的中点到y轴的距离的最小值为： 。解析：抛物线的准线的方程为：x= -,焦点f（，0），记弦的两端点为a、b，ab的中点为m，它们在上的射影分别是a1，b1，m1；于是有：|af|=|aa1|，|bf|=|bb1|，m到y轴的距离d=|mm1|-=(|aa1|+|bb1|）-=(|af|+|bf|）-|ab|-=,当且仅当a，b，f共线时等号成立。注：过焦点的弦最短是通经，长为2p，当a2p时，a，b，f不可能共线。举例2 给定抛物线c：y24x，f是c的焦点，过点f的直线l与c相交于a、b两点设l的斜率为1，则与夹角为 ；解析：抛物线的焦点为f(1,0)，直线的方程为：x=y+1；将其代入抛物线方程得：y2-4y-4=0设a(x1,y1),b(x2,y2)，则有y1+y2=4,y1y2= -4，又x1=y12, x2=y22,x1 x2=(y1 y2)2=1.=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2= -3.=,cos=故与夹角为-arccos.注：在研究形如y2=2px的抛物线与直线的有关问题时，设直线方程为x=my+b的形式，不仅可以简化计算，有时还可以避免对直线斜率是否存在的讨论。巩固1ab是抛物线的一条焦点弦，|ab|=4，则ab中点c的横坐标是（ ）a2bcd巩固2过抛物线的焦点的直线与抛物线交于a、b两点，且oab（o为坐标原点）的面积为，则m6+m4= 4直线与圆锥曲线的公共点问题一般用方程组的解研究。直线与曲线有几个公共点，方程组就有几组解；直线与圆锥曲线相切体现为：在解方程组的过程中，“消元”后得到的一元二次方程有两个相等的实根，即=0；抛物线的切线还可以用导数研究（视抛物线方程为二次函数）。举例1设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点q，若过点q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是：（ ）a-， b2，2c1，1d4，4解析：q（-2，0），显然直线 斜率存在，记为k，则的方程为：y=k(x+2),代入抛物线方程得：k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,当k=0时，方程有解；当k0时，=64(1-k2)0即-1k0或00 ,x1+x2=k , x1x2= -b ，又y1=x12，y2=x22y1y2=b2；而 x1x2+ y1y2=0，得：-b+ b2=0且b0，b=1，代入验证，满足；故y1+y2=k(x1+x2)+2=k2+2；设aob的重心为g(x,y)，则x= ,y= ,由两式消去参数k得：g的轨迹方程为。xyf1f2cabo注：上述求轨迹的方法称为“参数法”，一般先设法将动点坐标用“参数”表示，再消参数。举例2过椭圆的右焦点f2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为b，椭圆上不同的两点a(x1,y1),c(x2,y2)满足条件：|f2a|、|f2b|、|f2c|成等差数列，则弦ac的中垂线在y轴上的截距的范围是 。解析：对|f2a|+|f2c|=使用焦半径公式得：5-x1+5-x2=x1+x2=8.此后，可以设ac的中垂线方程，代入椭圆方程，使用韦达定理；也可以用“点差”：记ac中点m（4，y0）, 将a、c两点的坐标代入椭圆方程后作差得：，,于是有：ac的中垂线的方程为：，当x=0时：=-，此即ac的中垂线在y轴上的截距，注意到：m（4，y0）在椭圆“内”，得-,-。巩固1已知抛物线y2=4x,过点p(4,0)的直线与抛物线相交于a(x1,y1),b(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 .巩固2过抛物线上一定点p（