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文档简介

高考数学专题数学思想方法3换元法及待定系数法解数学问题时，通过一个或几个新变量代替原来的变量，使得代换后的问题中仅含这些新变量的方法称之为换元法。用这种方法解题的目的是变量研究，其实质是移问题至新对象的知识背景中去研究，达到化难为易，化繁为简的目的。待定系数法的实质是方程的思想，把待定的未知数与已知数等同看待列式即得方程。第一讲 换元法例1、已知，求的最值。分析：请看下面解法： ， 得 的最大值为21，无最小值。思考：上面解法是否正确？正确解法：解：由题意得：故可设 ， 当时，有最大值 ； 当时，有最小值 ；例2、已知，求的最值； 解：可化为： 即 设 当 时，有最大值25；当 时，在最小值 ；例3、已知，求的值。分析 此题条件中，的含义是，显然，按此递推公式求出，计算量较大，仔细观察条件中，的形式与正切的倍角公式相近。由此可得解法。解：设 ， 例4、在曲线：上求一点，使它到直线的距离取最小值。解： 设 ， 则 又设则点在曲线上，到直线的距离为 ， ， 当时，有最小值2 ；由及，得 当点坐标为 时， 到直线的距离最小，最小值为2 ；例5、已知集合，求集合；解：令， 则可设， ，关于的二次方程有实根的充要条件是又 解得；， ， ， 原方程为 所求集合 练 习1、已知，那么的值域是 ；2、设实数满足，则的取值范围是 ；3、设，求函数的最小值；4、设，求证：，；5、已知，且，求的最大值与最小值；第二讲 待定系数法例1、已知方程有一个根是解这个方程；分析 根据实系数方程虚根成对原理，必有另一个根是，故方程等价于 ，其中待定，求出后就可求同另二个根。解： 设 令得, 令得； ,解得：， 原方程的根为。例2、已知一个共100项的等比数列的前项的和， 若，求所有适合等式的值的和；分析 中含有两个字母，直觉告诉我们，去确定之值，是解题中重要的环节。解： 又 是等比数列， ，又由知， ， ，又 ， 由得： ， ， 例3、曲线：的图象与曲线：的图象关于点对称，求的值；解：设是上任意一点，是关于对称的上的点，则有 ， ，即 与应为同一方程，即 比较系数得。例4、设为常数，且方程有等根，求之值；若，求使成立的值；解：由得 , 即 ，又 ，故 ，因此 或 方程有等根 ，故 ； ，又 ，且 ，因此，将与代入得。练 习1、已知无穷等比数列前项和为，则所有项和等于 A、 B、 1 C、 D、 任意实数2、满足 500的的最大正整数是 A、 4 B、 5 C、 6 D、 73、在直角坐标系内有两点、，点在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则的值为 A、 B、 C、 1 D、 不能确定4、如果恒等式成立，则 ； ；5、若方程的图象是两条直线，则 ；6、函数的最大值为，最小值为，则的周期是 ；7、已知函数的最大值
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