微积分和圆周率.doc

微积分和圆周率本人精心整理的文档微积分和圆周率PB08207041 池昌标 微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的微积分最重要的思想就是用微元与无限逼近,通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行 微积分学是微分学和积分学的总称 它是一种数学思想无限细分就是微分无限求和就是积分无限就是极限极限的思想是微积分的基础它是用一种运动的思想看待问题比如子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念微积分的基本内容微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等作为微分学基础的极限理论来说早在古代以有比较清楚的论述比如我国的庄周所著的庄子一书的天下篇中记有一尺之棰日取其半万世不竭三国时期的刘徽在他的割圆术中提到割之弥细所失弥小割之又割以至于不可割则与圆周和体而无所失矣这些都是朴素的、也是很典型的极限概念 圆周率就是圆的周长和同一圆的直径的比这个比值是一个常数现在通用希腊字母来表示圆周率是一个永远除不尽的无穷小数它不能用分数、有限小数或循环小数完全准确地表示出来由于现代数学的进步已计算出了小数点后两千多位数字的圆周率 圆周率的应用很广泛尤其是在天文、历法方面凡牵涉到圆的一切问题都要使用圆周率来推算西汉末年的刘歆曾经采用过的圆周率是3.547东汉的张衡也算出圆周率为3.1622这些数值比起=3当然有了很大的进步但是还远远不够精密到了三国末年数学家刘徽创造了用割圆术来求圆周率的方法圆周率的研究才获得了重大的进展 用割圆术来求圆周率的方法大致是这样：先作一个圆再在圆内作一个内接正六边形假设这圆的直径是2那末半径就等于1内接正六边形的一边一定等于半径所以也等于1；它的周长就等于6如果把内接正六边形的周长6当作圆的周长用直径2去除得到周长与直径的比=6/2=3这就是古代=3的数值但是这个数值是不正确的我们可以清楚地看出内接正六边形的周长远远小于圆周的周长 如果我们把内接正六边形的边数加倍改为内接正十二边形再用适当方法求出它的周长那么我们就可以看出这个周长比内按正六边形的周长更接近圆的周长这个内接正十二边形的面积也更接近圆面积从这里就可以得到这样一个结论：圆内所做的内接正多边形的边数越多它各边相加的总长度（周长）和圆周周长之间的差额就越小从理论上来讲如果内接正多边形的边数增加到无限多时那时正多边形的周界就会同圆周密切重合在一起从此计算出来的内接无限正多边形的面积也就和圆面积相等了不过事实上我们不可能把内接正多边形的边数增加到无限多而使这无限正多边形的周界同圆周重合只能有限度地增加内接正多边形的边数使它的周界和圆周接近重合所以用增加圆的内接正多边形边数的办法求圆周率得数永远稍小于的真实数值刘徽就是根据这个道理从圆内接正六边形开始逐次加倍地增加边数一直计算到内接正九十六边形为止求得了圆周率是3.141O24把这个数化为分数就是157/50 刘徽所求得的圆周率后来被称为徽率他这种计算方法实际上已具备了近代数学中的极限概念这是我国古代关于圆周率的研究的一个光辉成就 祖冲之在推求圆周率方面又获得了超越前人的重大成就祖冲之把一丈化为一亿忽以此为直径求圆周率他计算的结果共得到两个数：一个是过剩的近似值为3.1415927；一个是不足的近似值为3.1415926圆周率真值正好在这两个数之间除了刘徽的割圆术外还没有更好的方法祖冲之很可能就是采用了这种方法因为采用刘徽的方法把圆的内接正多边形的边数增加到24576边时便恰好可以得出祖冲之所求得的结果 这两个数可以列成不等式如：3.1415926（*）（真实的圆周率）3.1415927（盈）这表明圆周率应在这两个数之间按照当时计算都用分数的习惯祖冲之还采用了两个分数值的圆周率一个是355/119（约等于3.1415927）这一个数比较精密所以