第22届高年级日本算术奥林匹克初赛试题讲解.pdf

学而思教研部学而思教研部 李唯瑒李唯瑒 第22届高年级日本算术奥林匹克初赛试题 1 请在下面的每个方框中填入一个数字 使得乘法竖式成立 分析 分析 观察发现 由于百位上观察发现 由于百位上 6 1 所以在作加法时一定会进位 于是 所以在作加法时一定会进位 于是3C 于是有 于是有 36003699 2 12 3 16991600 A BAB B 当当 B 1 时 时 2 12 3A A 无解无解 当当 B 2 时 时 4 24 6A A 无解无解 当当 B 3 时 时 6 36 9A A 无解无解 当当 B 4 时 时 8 49 2A A 9 当当5B 时 时 10A A 无解无解 于是于是 A 9 B 4 20139 49411 于是原式为 于是原式为411 4920139 2 图中的天平 左右两个托盘的重量不相等 有五个小球 A B C D E 重量分别为 1 克 2 克 3 克 4 克 5 克 不一定按顺序 按照 的方法放到这架天平两端 都使得天平平衡 学而思教研部学而思教研部 李唯瑒李唯瑒 请分别求出 A B C D E 的重量 分析 分析 设左设左 右右k k可能为负 可能为负 由三个天平可列得方程组 由三个天平可列得方程组 ABkCDE BDkAC BEkAD 由由 得得 2DCE 由 的左边加 的右边等于 的右边加 的左边 由 的左边加 的右边等于 的右边加 的左边 得 得 222 ACECAE 于是可知于是可知 C 为偶数 即为为偶数 即为 2 或或 4 又由又由2DCE 于是 于是 E 也为偶数 于是也为偶数 于是2243DD 于是于是 A B 为为 1 和和 5 代入 得 代入 得 1 52 3 43kk 代入 得 代入 得 336 33 BACBAC BEABEA 由下式可知由下式可知 A B 于是 于是 A 为为 5 B 为为 1 代入上式 得 代入上式 得 C 为为 2 于是 于是 E 为为 4 综上 综上 A B C D E 分别为分别为 5 1 2 3 4 3 有五张卡片 分别写有数字6 1 6 1 6 把它们排成一行 共能组成多少 个不同的五位数 其中6可以倒过来当作9 分析 分析 先把五张卡片排好 有先把五张卡片排好 有 2 5 10C 种排法 每种排法中 三张种排法 每种排法中 三张 6 都能倒过来当作都能倒过来当作 9 因此共有因此共有 3 10280 个不同的五位数 个不同的五位数 4 如图所示 已知AB AC ED AE BE CAB 120 AFC BED 90 请求出 x的度数 分析 分析 如下图 由于如下图 由于BGECGF 90BGEEBGCGFFCG 于是 于是 EBGFCG 又由又由 AB DE 将三角形 将三角形 ABE 旋转平移 使旋转平移 使 A B 与与 D E 重合重合 学而思教研部学而思教研部 李唯瑒李唯瑒 G H D E A BC F 接下来 将接下来 将 AE EH HD 延延 AD 翻折翻折 G J I H D E A BC F 由于由于 DH HJ 22 2 60JDHFDHFDGEDHEBGx 于是三角形于是三角形 DHJ 是正三角形是正三角形 于是于是 AE EH HJ JI IA 又又1202EAIx 1802 601202IJHEHJEHDJHDxx 于是 于是 IJHEHJEAI 由由 IA AE EH HJ EAIEHJ 于是三角形于是三角形 EAI 与三角形与三角形 EHJ 全等全等 于是于是 EI EJ 于是于是EIJEJI 又又EIAEJH 所以 所以 AIJHJI 同理 同理 AEHEHJ 于是于是IJHEHJHEAEAIAIJ 所以所以 AEHJI 是正五边形是正五边形 所以 所以 1081202IJHEHJHEAEAIAIJx 于是 于是 6x 5 将两位数AB A是十位数字 B是个位数字 进行如下操作 操作 将两位数AB换成十位数字A的平方与个位数字B之和 即AAB 例如 将65进行一次操作 得到6 6 5 41 再进行一次操作 得到4 4 1 17 这样操作下去 直到得到一位数为止 有一些连续的两位数 它们经过操作后能够得到同一个一位数 请找出四对这样 学而思教研部学而思教研部 李唯瑒李唯瑒 的连续两位数 分析 分析 当当9B 时 连续的两位数为时 连续的两位数为 1 AB A B 操作以后 变为操作以后 变为 1AAB AAB 两数仍然连续 两数仍然连续 当当9B 时 连续的两位数为时 连续的两位数为9 1 0AA 操作以后 变为操作以后 变为9 1 1 AAAA 要求结果相等 则要求结果相等 则9 1 1 4AAAAA 于是 于是 49 50 操作以后会相同 操作以后会相同 而而 2 4970 于是 于是 70 操作以后会变为操作以后会变为 49 由上面讨论的第一种情况可知 由上面讨论的第一种情况可知 71 操作以后会变为操作以后会变为 51 于是 于是 70 71 操作以后会相同 操作以后会相同 由由 2 7086 同理可知 同理可知 86 87 操作以后会相同 操作以后会相同 由由 2 8695 同理可知 同理可知 95 96 操作以后会相同 操作以后会相同 综上 综上 49 50 70 71 86 87 95 96 为符合题意的四组数 为符合题意的四组数 6 把大小相同的64个透明的小正方体箱子堆成一个4 4 4的大正方体 在若干 个小正方体里面放入半透明的红玻璃球 从外面可以看到 图中是从上面 前面 侧面看的时候 能够看到的装有玻璃球的小箱数目 例如 箭头指向的 3 表示阴影部分的4个小正方体中恰有3个里面装有玻璃球 没有标 数字的方格表示这个方格内的数字可以是0 4中的任意值 那么 在这64个小箱里面 共有多少个装有玻璃球 分析 分析 我们发现 上面的我们发现 上面的 8 个数表示了正方体中间个数表示了正方体中间 32 个小正方体中玻璃球的数量个小正方体中玻璃球的数量 前面中间两行的前面中间两行的 2 3 3 2 表示了左边中间表示了左边中间 8 个和右边中间个和右边中间 8 个小正方体中玻璃个小正方体中玻璃 球的数量球的数量 此时还有四个角落所对应的此时还有四个角落所对应的 16 个小正方体的中的玻璃球数量未知个小正方体的中的玻璃球数量未知 发现右面的发现右面的 8 个数字包含了这个数字包含了这 16 个小正方体 但会有个小正方体 但会有 16 个小正方体重复个小正方体重复 而重复的部分恰好是前面上下两行的而重复的部分恰好是前面上下两行的 0 1 3 1 四个数字所对应的小正方体四个数字所对应的小正方体 因此 玻璃球总数为 因此 玻璃球总数为 232 1 32 1 1 23 3220 1 324 1 2 0 1 3 135 7 在下面的两个减法算式中 A B C D E F表示1 9中的数字 相同的字 母表示相同的数字 不同的字母表示不同的数字 学而思教研部学而思教研部 李唯瑒李唯瑒 那么 A B C D E F分别代表哪个数字 分析 分析 观观察右边的式子 由百位易知察右边的式子 由百位易知 E C 于是在个位的减法上会向前借位 于是在个位的减法上会向前借位 所以十位上所以十位上 F F 的结果为的结果为 9 即 即 E 为为 9 于是 由百位易知于是 由百位易知 C 为为 4 由个位知 由个位知 F 为为 5 此时还剩下此时还剩下 1 2 3 6 7 8 六个数字六个数字 观察左边的式子观察左边的式子 由千位 知由千位 知 A D A B 于是于是 A 至少为至少为 3 若若 A 为为 3 由个位可知 由个位可知 D 为为 7 与 与 A D 矛盾 舍去矛盾 舍去 若若 A 为为 6 由个位可知 由个位可知 D 为为 0 与题设矛盾 舍去 与题设矛盾 舍去 若若 A 为为 7 由个位可知 由个位可知 D 为为 1 由十位知 由十位知 B 为为 6 经检验 经检验7641 14676174 成 成 立立 若若 A 为为 8 由个 由个位可知位可知 D 为为 2 由十位知 由十位知 B 为为 5 与 与 F 为为 5 矛盾 舍去矛盾 舍去 综上 综上 A B C D E F 的值分别为的值分别为 7 6 4 1 9 5 8 在3 3的方格表的9个小方格中按照规则分别填入1 9中的一个数字 规则 同一行的方格中左边的数字比右边的大 同一列的方格中上边的数字比下 边的大 那么 符合规则的填数方法共有多少种 分析 分析 由规则 由规则 1 与与 9 的位置可以确定如下 的位置可以确定如下 此时此时 8 有有 2 个位置可填 由九宫格的对称性 可知无论两种填法的方法数一样多 个位置可填 由九宫格的对称性 可知无论两种填法的方法数一样多 因此讨论一种即可因此讨论一种即可 学而思教研部学而思教研部 李唯瑒李唯瑒 一 若一 若 A 为为 7 此时此时 B 一定为一定为 6 1 C 为为 5 若 若 D 为为 4 3 2 只有只有 1 种填法 若种填法 若 E 为为 4 3 2 有有 2 种填法 共种填法 共 3 种种 2 E 为为 5 则 则 C 一定为一定为 4 此时 此时 3 2 有有 2 种填法种填法 二 若二 若 B 为为 7 1 A 为为 6 若若 C 为为 5 当 当 D 为为 4 时 时 3 2 只有只有 1 种填法 当种填法 当 E 为为 4 时 时 3 2 有有 2 种填法 种填法 若若 E 为为 5 则 则 C 一定为一定为 4 此时 此时 3 2 有有 2 种填法种填法 共共 5 种种 2 C 为为 6 若若 A 为为 5 当 当 D 为为 4 时 时 3 2 只有只有 1 种填法 当种填法 当 E 为为 4 时 时 3 2 有有 2 种填法 种填法 若若 E 为为 5 当 当 A 为为 4 时 时 3 2 有有 2 种填法 当种填法 当 F 为为 4 时 时 3 2 有有 1 种填法 种填法 共共 6 种种 3 E 为为 6 若若 A 为为 5 则 则 C 一定为一定为 4 此时 此时 3 2 有有 2 种填法种填法 若若 C 为为 5 当 当 A 为为 4 时 时 3 2 有有 2 种填法 当种填法 当 F 为为 4 时 时 3 2 有有 1 种填法 种填法 共共 5 种种 综上 共有综上 共有2 5565 42 种填法种填法 9 若干支足球队进行单循环赛 即每两支队之间比赛一场 如果胜方的净胜球数不小于2 则胜方得3分 败方得0分 如果胜方的净胜球数为1 则胜方得2分 败方得1分 没有平局 如果共有12支球队参赛 某支球队6胜5败 请求出这支球队的得分的最大值和 最小值 已知在比赛结束后 某支球队A的获胜场数是单独最多 得分却是单独最少 另一方面 球队B的获胜场数是单独最少 得分却是单独最多 那么 进行单循 环赛的球队至少有多少支 分析 分析 1 最大值为 最大值为 6 3 523 最小值为 最小值为 6 2012 2 显然 显然 2 支球队一定不行支球队一定不行 1 若有 若有 3 支球队 支球队 则共比则共比 3 场 场 A 胜场单独最多 则只能为胜场单独最多 则只能为 2 场 即场 即 A 全胜 至全胜 至 少少 4 分 此时分 此时 B 有一负 得分至多为有一负 得分至多为 4 分 不可能超过分 不可能超过 A 不行 不行 2 若有 若有 4 支球队 则共比支球队 则共比 6 场 场 A 胜场单独最多 则至少为胜场单独最多 则至少为 3 场 若为场 若为 2 场 则场 则 4 支球队胜场总和至多为支球队胜场总和至多为 2 1 1 1 5 小于 小于 6 场 矛盾 即场 矛盾 即 A 至少至少 3 胜胜 0 负 至负 至 少少 6 分分 B 胜场单独最少 则至多为胜场单独最少 则至多为 0 场 若为场 若为 1 场 则场 则 4 支球队胜场总和至少为支球队胜场总和至少为 2 2 2 1 7 大于 大于 6 场 矛盾 即场 矛盾 即 B 至多至多 0 胜胜 3 负 至多负 至多 3 分 分 学而思教研部学而思教研部 李唯瑒李唯瑒 B 不可能超过不可能超过 A 不行 不行 3 若有 若有 5 支球队 则共比支球队 则共比 10 场 场 A 胜场单独最多 则至少为胜场单独最多 则至少为 3 场 即场 即 A 至少至少 3 胜胜 1 负 至少负 至少 6 分 分 B 胜场单独最少 则至多为胜场单独最少 则至多为 1 场 即场 即 B 至多至多 1 胜胜 3 负 至多负 至多 6 分 分 B 不可能超过不可能超过 A 不行 不行 4 若有 若有 6 支球队 则共比支球队 则共比 15 场 场 A 胜场单独最多 则至少为胜场单独最多 则至少为 4 场 即场 即 A 至少至少 4 胜胜 1 负 至少负 至少 8 分 分 B 胜场单独最少 则至多为胜场单独最少 则至多为 1 场 即场 即 B 至多至多 1 胜胜 4 负 至多负 至多 7 分 分 B 不可能超过不可能超过 A 不行 不行 5 若有若有 7 支球队 则共比支球队 则共比 21 场 场 A 胜场单独最多 则至少为胜场单独最多 则至少为 4 场 即场 即 A 至少至少 4 胜胜 2 负 至少负 至少 8 分 分 B 胜场单独最少 则至多为胜场单独最少 则至多为 2 场 即场 即 B 至多至多 2 胜胜 4 负 至多负 至多 10 分 分 此时 让此时 让 C D E F G 都为都为 3 胜胜 3 负 都得负 都得 9 分即可分即可 下面开始构造 下面开始构造 A 大比分负于大比分负于 B C 小胜 小胜 D E F G 4 胜胜 2 负得负得 8 分分 B 大胜大胜 A C 小比分负于 小比分负于 D E F G 2 胜胜 4 负得负得 10 分分 C 大胜大胜 A 大比分负于 大比分负于 B 小胜 小胜 D E 小比分负于 小比分负于 F G 3 胜胜 3 负得负得 9 分分 D 小比分负于小比分负于 A C E 小胜 小胜 B F G 3 胜胜 3 负得负得 9 分分 E 小比分负于小比分负于 A C F 小胜 小胜 B D G 3 胜胜