高考数学一轮专题复习 高效测试21 正弦定理、余弦定理应用举例 新人教A版.doc

高效测试21：正弦定理、余弦定理应用举例一、选择题1某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为()a.b2c.或2d3解析：如图所示，设此人从a出发，则abx，bc3，ac，abc30，由正弦定理，得cab60或120，当cab60时，acb90，ab2；当cab120时，acb30，ab，故选c.答案：c2一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向，另一灯塔在船的南偏西75方向，则这只船的速度是每小时()a5海里 b5海里c10海里 d10海里解析：如图，依题意有bac60，bad75，所以cadcda15，从而cdca10，在直角三角形abc中，可得ab5，于是这只船的速度是10(海里/小时)答案：c3如图所示，已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离都等于a km，灯塔a在观察站c的北偏东20，灯塔b在观察站c的南偏东40，则灯塔a与灯塔b的距离为()aa kmb.a kmc.a kmd2a km解析：利用余弦定理解abc.易知acb120，在abc中，由余弦定理得ab2ac2bc22acbccos1202a22a23a2，aba.答案：b4有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改为10，则斜坡长为()a1千米 b2sin10千米c2cos10千米 dcos20千米答案：c5如图，一货轮航行到m处，测得灯塔s在货轮的北偏东15，与灯塔相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又测得它在货轮的东北方向，则货轮的速度为()a20()海里/小时b20()海里/小时c20()海里/小时d20()海里/小时答案：b6(2013重庆冲刺)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点a测得水柱顶端的仰角为45，沿点a向北偏东30前进100 m到达点b，在b点的测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()a50 mb100 mc120 md150 m答案：a二、填空题7(2013潍坊质检)已知a船在灯塔c北偏东80处，且a船到灯塔c的距离为2 km，b船在灯塔c北偏西40处，a、b两船间的距离为3 km，则b船到灯塔c的距离为_km答案：18如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形aob，c是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于ao的小路cd.已知某人从o沿od走到d用了2分钟，从d沿着dc走到c用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该形的半径为_米答案：509(2013沧州联考)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为50秒，升旗手应以_(米/秒)的速度匀速升旗答案：0.6三、解答题10甲船在a处观察到乙船在它的北偏东60方向的b处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船，此时乙船行驶了多少海里？解析：如图，设甲船取北偏东角去追赶乙，在c点处追上，若乙船行驶的速度是v，则甲船行驶的速度是v，由于甲、乙两船到c的时间相等都为t，则bcvt，acvt，abc120.由余弦定理可知ac2ab2bc22abbccos120，即3v2t2a2v2t2vat，2v2t2vata20，t1，t2(舍去)，bca，cab30，60cab30，甲船应取北偏东30的方向去追乙船，在乙船行驶a海里处相遇11如图，某住宅小区的平面图呈扇形aoc，小区的两个出入口设置在点a及点c处，小区里有两条笔直的小路ad、dc，且拐弯处的转角为120，已知某人从c沿cd走到d用了10分钟，从d沿da走到了a用了6分钟若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径oa的长(精确到1米)解析：方法一：设该扇形的半径为r米由题意，得cd500(米)，da300(米)，cdo60.在cdo中，cd2od22cdodcos60oc2，即5002(r300)22500(r300)r2，解得r445(米)答：该扇形的半径oa的长约为445米方法二：连结ac，作ohac，交ac于h.由题意，得cd500(米)，ad300(米)，cda120.在acd中，ac2cd2ad22cdadcos1205002300225003007002.ac700(米)，coscad.在直角hao中，ah350(米)，coshao，oa445(米)答：该扇形的半径oa的长约为445米12某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口o北偏西30且与该港口相距20海里的a处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由解析：(1)设小艇与轮船在b处相遇，相遇时小艇的航行距离为s海里如图所示，在aob中应用余弦定理得，s.故当t时，smin10，v30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)由题意可得：(vt)2202(30t)222030tcos(9030)，化简得：v29004002675.由于0t，即2，所以当2时，v取得最小值10