对数学史与数学教育的思考1.pdf

第 15 卷第 3 期 数 学 教 育 学 报 Vol 15 No 3 2006 年 8 月 JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION Aug 2006 收稿日期 2006 02 27 作者简介 张楠 1968 女 辽宁铁岭人 博士生 主要从事数学教育研究 宋乃庆教授为本文通讯作者 对数学史与数学教育的思考对数学史与数学教育的思考 张 楠 1 罗增儒2 1 西南大学 数学财经学院 重庆 400715 2 陕西师范大学 陕西 西安 710062 摘要 数学史料在数学教育中的作用可以概括为以下几方面 数学史料对理解数学发展的作用 数学史料对学生掌握数 学思想的作用 数学史料对开发学生数学思维的作用 数学史在课堂教学中的作用 数学史教育应遵循以下 4 原则 科学性 实用性 趣味性 广泛性 关键词 数学史 数学教育 教学 中图分类号 G421 文献标识码 A 文章编号 1004 9894 2006 03 0072 04 法国伟大的数学家亨利 庞加莱曾说 如果我们想要 预测数学的未来 那么适当的途径是研究这们学科的历史和 现状 1 在教学中 尽管我们反复强调学习知识的意义 但是如果没有适当的历史叙述 那么这些知识的来龙去脉对 于学生来说仍然是感到费解的 对于学习数学的学生来说 一些课程所介绍的通常是一些似乎没有什么关系的数学片 段 而历史可以提供整个课程的概貌 不仅使课程的内容互 相联系 而且使它们跟数学思想的主干也联系起来 因此数 学教学中 应在传授数学知识的同时 把一些重要的数学史 料介绍给学生 使学生掌握数学发展的基本规律 了解数学 的基本思想 同时 学生还可以看到数学发展的曲折 数学 家们所经历的艰苦漫长的道路 数学史中那些能够深深感动 学生 惊心动魄 引人入胜的例子不胜枚举 从而调动学生 学习数学的积极性和创造性 使学生不仅获得真知灼见 还 将获得顽强学习的勇气 进而塑造完善的人格 1 数学史料在数学教育中的作用 1 1 数学史料对理解数学发展的作用 1 数学发展到今天 已经延伸出上百个分支 但它毕 竟是一个整体 并且有它自己的重大问题和目标 如果一些 分支专题对于数学的心脏无所贡献 它们就不会开花结果 一些被分裂的学科就面临着这种危险 如由于在工业技术上 的极大应用 哈密顿四元法曾传播很广 风行一时 但不久 后 四元法就不再使用了 如同 Hilbert 说的 数学是一个 有机体 它的生命力的一个必要条件是所有各部分的不可分 离的结合 2 2 数学课程所介绍的似乎是一些没有什么关系的数学 片段 历史可以提供整个课程的概貌 不仅使课程的内容互 相联系 而且使它们和数学思想的主干也联系起来 数学史 既可以展示数学发展的总体过程 又详加介绍各学科的具体 发展过程 把握数学这一发展过程可使学生视野开阔 深刻 理解数学的本质 以便在今后的教学中能高瞻远瞩 把握数 学这一发展过程 还可以使学生加深对所学知识的理解 正 如无理数是由于度量问题而产生的 它的发现导致几何学在 一定时期内独立于算术孤立发展 求极大 极小问题 求曲 线长等问题的研究 直接促使牛顿 莱布尼兹发明微积分 微 积分产生后 出现了许多分支 如常微分方程 偏微分方程 分析学中的 病态 函数给勒贝格以启发 后来勒贝格创立 了测度论 著名数学家康托因研究分析学问题而发明朴素集 合论 朴素集合论又包含悖论 因此 集合论应运而生 深 刻地理解数学史的内容 才能了解数学发展的基本进程 3 对于学生来说 通常的数学课程直接给出一个系统 的逻辑叙述 使人们产生这样的印象 数学家们几乎理所当 然地从定理到定理 数学家们能克服任何困难 并且这些课 程完全经过锤炼 己成定局 学生被湮没在成串的定理中 特别是当他们刚开始学习这些课程的时候 历史却形成对 比 它教导我们 一个科目的发展是由汇集不同方面的成果 点滴积累而成的 我们也知道 常常需要几十年 甚至几百 年的努力才能迈出有意义的几步 不但这些科目并非天衣无 缝 就是那些已经取得的成就 也常常只是一个开始 许多 缺陷有待填补 或者真正重要的扩展还有待创造 今天的小 学生都知道阿拉伯数字为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 而这些抽象的数是从人们长期的计数实践中产生的 至于它 的记法 又是经过漫长的历史演变的 今天的人们会解一元 三 四次方程 而在古代中世纪人们仅会一元一次方程 一 元二次方程的求解情况 直到文艺复兴时期人们才掌握一元 三次 四次方程的求解情况 正是由于塔尔塔利亚和菲奥尔 在1835年2月22日那场别开生面的数学比赛推动了一元三 次方程的解法 也正是由于这场比赛 深深地吸引了意大利 米兰的一位数学家卡尔丹诺 他使一元三次方程的解法更为 完善 而卡尔丹诺的学生费拉里根据三次方程的求根公式 启发了对四次方程的研究 四次以上的方程是否有一般的代 数方法 从 16 世纪的后半叶到 19 世纪初的二百多年 无数 数学家和数学爱好者 耗尽了心血 绞尽了脑汁 仍然一无 所得 法国数学大师拉格朗日千辛万苦利用对称多项式理 论 置换理论 预解式理论导出了适用二次 三次 四次方 程的根式解法 但对五次以上的方程仍然束手无策 1824 1826 年挪威数学家阿贝尔证明了一般五次方程不可能有 第 3 期 张 楠等 对数学史与数学教育的思考 73 根式解 并由此导出了可变群论 即阿贝尔群的理论 1828 年法国年轻数学家伽罗华证明了五次以上代数方程有根式 解的充要条件 由此产生了伽罗华理论 由此可见 今天看 似简单的问题 历史上留下了多少数学家艰辛跋涉的足 迹 数学事业每前进一步 都要付出多么崇高的劳动 希尔 伯特要大家回答的 23 个问题 近一百年过去了仍未完全解 决 1976 年 在美国伊里诺斯大学的国际数学会议上数学 家们提出了二百多个问题和猜想 到现在已解决的很少 数 学大厦基础上的裂缝 从 1902 年的 罗素悖论 历经八十 多年仍未完全弥合 数学的发展并非一帆风顺 4 课本中的字斟句酌 未能表现创作过程中的斗争 挫折 以及数学家所经历的艰苦漫长的道路 通过学习数学 史 学生一旦认识到这一点 他将不仅获得真知灼见 还将 获得顽强学习的勇气 因为看到数学家如何跌跤 如何在迷 雾中摸索前进 如何一点一滴地得到他们的成果 这样对于 自己在学习中遇到的挫折就不会感到颓丧 我们都知道 17 世纪最伟大的法国数学家费马提出的 费马大定理 不 存在正整数 x y z n 使得 xn yn zn 当 n 2 时 从那 时起 许多卓越的数学家在此问题上付出了数不清的艰辛努 力 1779 年欧拉给出了一个 n 3 的证明 不久 欧拉又出 色地证明了 n 4 的情况 大约 1825 年 勒让德和狄利克雷 独立地对 n 5 给出了证明 拉梅于 1839 年对于 n 7 证明 了此定理 德国数学家库默尔对此问题的研究做了有意义的 推进 1843 年提出了 库默尔理想数 为费马关系式的不 可解性导出了一个条件 1908 年 德国数学家佛尔夫斯克 尔给哥廷根科学院留下 10 万马克 作为这个 定理 的第 一个证明的完全奖金 三百多年过去了 直到 1995 年由英 国的数学家怀尔斯成功地证明了这个定理 被称为 20 世 纪最辉煌的数学成果 由此可见 多少数学家经历了艰苦 漫长的道路 才取得了最后的成功 数学的发展很少有风平浪静的时候 每前进一步 都充 满斗争和挫折 特别在重大突破的关键时刻 不仅会遇到世 俗观念的阻碍 还会遇到数学界传统观念的排挤 数学家本 人也会犯错误 天文学家兼数学家伽里略 被罗马教皇夺去 了生命 解析几何的创始人笛卡尔受到教会的残酷迫害 第 一个发现无理数的希伯斯被毕达哥拉斯的忠实信徒们抛进 了大海 其它如牛顿 莱布尼茨创建的微积分学 罗巴切夫 斯基创建的非欧几何 康托创建的集合论 当初都曾受到攻 击 著名的数学家柯西在论证函数项级数收敛性时曾犯过错 误 优秀的数学家哈密顿也曾为 四色问题 冥思苦想 13 年而不得其果 但是数学家们并没有被困难 挫折 诽谤所 吓倒 而是充满勇气 充满创造 披荆斩棘 克服种种困难 推动数学的车轮滚滚向前 5 通过对数学史的学习 可以使学生更好地感知和理 解数学美 提高他们的审美情趣 陶冶情操 从而更热爱数 学这门学科 执迷于对数学的探索 数学美指的是数学具有 简洁性 对称性 和谐性和奇异性 德国数学家弗希纳做过 一次别出心裁的试验 他召开了一次 矩形展览会 会上 展出了他精心制作的各种矩形 并要求参观者投票选择各自 认为最美的矩形 结果矩形的长与宽之比为 0 618 的矩形被 认为是最美的矩形 0 618 黄金比值 这一神秘的数 字 蕴涵着奇异的数学美 这一美的密码一经被人类掌握 立即成为服务于人类的法宝 艺术家们则用它创造出更加令 人神往的艺术珍品 设计家利用它设计出巧夺天工的建筑 科学家们则在科学的海洋尽情地欢奏 0 618 这一美的旋 律 此外像对数螺线 裴波那契数列 哥德巴赫猜想 费马 最后定理 四色问题 多阶幻方等给人以美的欢乐 醉心的 向往 6 通过学习数学史可以使学生更好地回顾往昔 展望 未来 20 世纪上半叶的数学成果既然可以超过 19 世纪的几 倍 近三十年所出现的数学分支又可超过 18 世纪的总和 可 以预料 随着新世纪的到来 数学事业将会更神速的发展 数 学分支越细 越有利于数学家在某一方向上深入发展 数学 信息的繁密 更能帮助数学家了解自己研究方向上的概 况 避免无效的劳动 随着计算机的飞速发展 使数学家逐 步摆脱了沉重的计算负担 人工智能的不断开发 将协助数 学家进行部分劳动 面对美好的数学前景 增强了学生的使 命感和目标感 吸引着更多的学生献身于这一艰苦而又伟大 的事业 1 2 数学史料对学生掌握数学思想的作用 数学思想是人们对数学认识的反映 它又直接支配着数 学的实践活动 任何数学事实的理解 数学概念的掌握 数 学方法的运用 数学理论的建立 无一不是数学思想的体 现 因此可以说 数学思想是对数学概念 方法和理论的本 质认识 通过学习数学史 可以知道各种具体的数学思想的 产生和发展 它与数学主干思想有何联系 它对数学发展的 影响 作用和地位 数学中有许多数学思想 如 当美索不 达米亚的牧人第一次使用小石子来表示羊只时 就意味着符 号抽象的产生 而当他们第一次试图使用什么记号将羊只的 总数记录下来时 就意味着符号思想的出现 这是人类认识 史上巨大飞跃的开端 符号思想的实质就是通过建立某种对 应 实现从感性到理性认识的转换 对于学生来说掌握了这 种对应关系 才能理解所使用符号的意义 才能进入形式化 的数学领域 此外 对数思想 坐标思想 微积分思想 方 程思想 函数思想等都会使学生学习知识事半功倍 1 3 数学史料对开发学生数学思维的作用 1 思维是人脑对客观事物的本质属性和规律的关系的 概括与间接的反映 数学思维是一种思维 它是人们的数学 认识活动 是人们从事数学活动 一般指研究数学 学习数 学 应用数学和讲授数学的活动 中的理性认识过程 是人 们形成数学思维形式 数学概念 数学命题 数学推理和数 学理论的思维过程 74 数 学 教 育 学 报 第 15 卷 数学史料富有典型性和教育意义 领略数学家们的创造 性思维过程 有助于学生深刻地理解教材 领会教材的实质 从而可以增强学生驾驭教材的能力 这一点是战胜题海战术 的有力武器 现在的学生只知道做题 而对题的深层结构和 思想实质不做思考 当他们面对一个全新的问题时便往往束 手无策 而学习前人在面对未知领域所用的思想方法 对我 们解决问题很有裨益 如公元 1847 年 一位完全靠自学成 材的数学家布尔 1815 1864 深刻地研究了命题的演算 规律 创造了一种崭新的代数系统 这种代数系统 把逻辑 思维的规律 归结为代数演算的过程从而使逻辑关系的判断 与推理 复杂命题的变换与简化 终于找到了巧妙而有效的 数值途径 类似这样的数学史知识 能使学生认识到在探索 数学问题时应冲破思维的局限 从而发展学生的数学思维 2 数学史中记载了许多数学家发明 发现的生动过程 向学生介绍这些过程 有助于学生理解掌握创造的方法 技 巧 从而增强其创造力 如公元 263 年 刘徽在 九章算术 的注释中提出了计算圆周长的 割圆 思想 刘徽本人精辟 的论述 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体 而无所失矣 刘徽用 割圆 思想不仅计 算出了 的近似值 而且还提供了一种研究数学的方法 这 种方法相当于今天的 求极限 数学家们的这些数学方法 和思想能开阔学生的视野 发展学生的思维 1 4 数学史在课堂教学中的作用 1 活跃课堂气氛 增加学习兴趣 提高教学效果 课堂教学中穿插一些相关的数学史知识 可以激发起学 生的好奇心 使学生更好地领会所学的知识 调动学生学习 的积极性 如在讲无穷递缩等比数列的和时 可以从 芝诺 悖论 讲起 芝诺断言 古希腊的英雄阿基里斯与龟赛跑 将永远追不上乌龟 这时学生感到不可思议 然后再进一步 展开驳倒这个悖论 芝诺的理由是 假定阿基里斯现在 A 处 乌龟现在 T 处 为了赶上乌龟 阿基里斯必须先跑到乌 龟的出发点 T 处 当他到达 T 点时 龟已前进 T1点 当他 到达 T1点时 乌龟又已前进到 T2点 如此等等 阿基里斯 是永远追不上乌龟的 这时用具体的数据进一步驳倒这个悖 论 设阿基里斯的速度是乌龟的十倍 龟在前面100米 当 阿基里斯跑了100米时 龟已前进的10米 当阿基里斯再 追10米时 龟又前进了1米 阿再追1米 龟又前进了1 10 米 于是阿基里斯追上乌龟所跑的路程 S 100 10 1 事 实 上 这 是 一 个 无 穷 递 缩 等 比 数 列 的 和 等 于 10 1 1 1000 S 米 可见 形式上是永远进行下去 实际上是 限制了阿基里斯的路程 一旦超过这个限制 阿基里斯就超 过乌龟 这样学生留下了深刻的印象 又提高了教学效率 2 使学生体验数学发现的乐趣 激发学生的求知欲和 创造欲 在历史上大概没有比 对数 的发现 更能使人意识到 数学发现的意义和对人类文明的贡献 今天 我们用电子计 算机很容易求对数 而这在400年前简直是无法想象的 公 元 1594年 纳皮尔 1550 1617 开始精心编制可供实用 的对数表 在经历了7 300个日日夜夜之后 一本厚达200 页的8位对数表终于诞生了 后经别人更加完善 解决了星 体的轨道计算 船只的位置确定 大地的形貌测绘 船舶的 结构设计等一系列课题 正如法国数学家拉普拉斯所说 如果一个人的生命是拿他一生中的工作多少来衡量的话 那么对数的发明 等于延长了人类的寿命 类似这样的例 子在教学中讲一讲 能使学生深深感受到数学发现的重要 激起学生对数学的热爱 更激起了学生的求知欲和创造欲 2 数学史教育的建议 数学史教育应遵循以下4个原则 科学性 实用性 趣 味性 广泛性 1 科学性是第一位的原则 教师向学生传授的数学史 知识必须是正确的 我们应该尊重历史 尊重事实 既不可 随意编造 也不能无端拔高 更不可艺术加工 把数学史当 作故事 随意虚构 特别是在讲授中国的数学史时 实事求 是更能激发民族自尊心和爱国主义热情 2 实用性是指所讲的数学史对学生的数学学习及将来 工作有直接帮助作用 限于时间 授课安排 应有所侧重 例如初等数学中的数的起源与记法 无理数的导入与确立 圆周率 勾股定理 笛卡尔对直角坐标系的贡献等 高等数 学中的微积分概念的发展 函数概念的演变 非欧几何的创 立 不仅史料丰富 而且内容精彩 非常适合于课堂教学 对学生理解所学的知识有很大的帮助 3 趣味性指课堂教学要有趣味 题材的典型 情节的 生动 发展的曲折 数学史上惊心动魄 引人入胜的例子不 胜枚举 恰当选材 能使课堂教学娓娓动听 讲授时要合理 地运用语言 全身心地投入 语调同情节配合 知识与趣味 共生 应避免照本宣科或哗众取宠 要寓教于乐 以教为本 4 广泛性是指选取的数学史知识要不分年代 国家 数 学是几千年来全人类不断探索 历尽千辛万苦共同取得的财 富 在整个数学科学发展长河中 数学是在人类社会变革推 动之下 各国数学家相互交流 共同探索的结果 因此在进 行数学史教学时要注意选择不同时期 不同国度的史料 不 能仅局限于中国的数学史 这样才能全面地 准确地展示数 学史的全貌 3 数学史教育中应注意的问题 1 教师应有广博的数学史知识以及政治 经济 文化 历史 地理等多方面的知识 不能将数学史知识生搬硬套地 应用到数学教育中 这样讲起来才能得心应手 将课讲活讲 透 教师应加强数学史知识的学习和多学科知识的充实 丰 富自己的阅历 第3期 张 楠等 对数学史与数学教育的思考 75 2 数学史知识是穿插在授课内容中的 不能喧宾夺主 应以完成授课计划为主 在授课过程中自然引出 不应过分 渲染 忽视了正常的教学内容 正确把握好数学史和课堂教 学内容的主次 3 除课堂教学外 应为学生提供参考文献 引导学生 阅读课外读物 例如各种专题论述 人物介绍 学科进展等 开阔学生眼界 启发和引导学生进行正确阅读 继而进行自 学 使学生终生受益 4 数学史中教书育人的作用是其它数学课无法取代 的 这要求教师应有积极主动的态度 在理想 道德 情操 方面为学生树立榜样 提高学生的数学素质和思想素质 4 数学史教育改革的设想 中学的数学史教育亟待发展 数学史料亟待丰富 在目 前的教材中数学史料仅以序言 注解 正文简介的形式出现 已远远满足不了学生的需要 本文提出如下建议 1 制定教学计划 把数学史作为选修内容 明确要求 同数学知识同等重要 中小学教材应结合教材内容 又要适 合学生的不同年龄阶段增加数学史的内容 2 增加中学数学史料的内容 把它同数学知识有机地 结合起来 如中学数学中的几何图形的面积计算 在 九章 算术 中有记载 介绍给学生理解面积的计算很有价值 如 邪田 梯形 的面积的算法是 并两邪而半之 以乘正从 高 就是说 梯形面积 上底与下底之和的一半再乘高 3 教材中数学史知识不能仅限于中国数学史 世界上 一切重大的数学成就都应看成是人类的共同财富 应客观 公正地提供与教学内容相关的数学史知识 4 加强在职教师的数学史知识培训 鼓励教师自学 有条件的学校可以派教师到大学去进修 再带动其它教师 5 以多种渠道 多种方式渗透数学史 以阅读材料或附录的形式在章末出现 这在国外已 有成功的经验 它的优点既不打破原教材的格局 又能发挥 数学史料的作用 以选修课的形式出现 介绍世界数学史 使学生开 阔眼界 发挥学生的主观能动性 让学生主编数学板报 介 绍数学家的事迹 历史名题等 改变教材的版面设计 以学生喜闻乐见的形式出 现 现在的小学教材正向这种趋势过渡 这样增加了趣味性 寓教于乐 充分利用电脑 多媒体等现代化教学手段 制成多 媒体教学光盘 供教师 学生用 充分利用科普读物的传播功能 近年来优秀的