(免费)2013考研数学基础班概率与统计讲义--王福海416.doc

2013考研数学基础班概率与统计讲义主讲：王福海2012年4月 2013考研数学基础班概率与统计讲义目 录第一章 概率论的的基础知识1第二章 一维随机变量7第三章 二维随机变量14第四章 数字特征22第五章 大数定律与中心极限定理3133第一章 概率论的基本知识1 概率论的基本概念问题一、随机试验与随机事件：称一个试验为随机试验，如果（1）试验可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。（3）进行一次试验之前，不能确定哪一个结果会出现。我们是通过研究随机试验来研究随机现象的，为方便起见，将随机试验简称为试验，并用字母E或表示。在一次试验中可能出现，也可能不出现的结果称为随机事件，简称为事件，并用大写字母A，B，C等表示，为讨论需要，将每次试验一定发生的事件称为必然事件，记为，每次试验一定不发生的事件称为不可能事件，记为。随机试验中每一个最简单、最基本的结果称为基本事件或样本点，记为，每次试验最多只能发生一个基本事件，基本事件（或样本点）的全体称为样本空间（或基本事件空间），记为，即，随机事件A总是由若干个基本事件组成，即A是的子集，事件A发生等价于构成A的基本事件有一个发生。二、随机事件的关系及运算事件间关系与运算的文字叙述集合论中的表示法概率论中的含义事件A包含事件B（或事件B含于事件A）（或）事件B发生，则事件A一定发生事件A和B相等（或等价）A=B事件A发生，则B一定发生，反之亦然事件A和B之和（或并）或A+B两个事件A，B中，至少有一个事件发生事件A与B的积（或交）（简记为AB）事件发生，当且仅汉A与B同时发生事件A与B的差A-B事件A-B发生，当且仅仅当事件A发生，B不发生事件A的逆事件（或对立事件）事件发生，当且仅当事件A不发生事件A和B互不相容（或A与B互斥）事件A与B不可能同时发生注：1、若事件组中任意两个事件都相互互斥，则称之为互斥事件组。 2、在一次试验中，基本事件都是两两互斥的。三、事件的主要运算规律 1、2、3、若，则四、典型例题例1 设A，B，C为三个事件，试表示如下事件：A发生但B不发生：A与B至少有一个发生：A与B恰有一个发生：A、B、C均不发生：例2（88）若事件A，B，C满足等式，则（A） A=B (B) (C) (D) 若C与A、B不相容则A=B2 概率论的概念及性质，古典概型与几何概型一、概率的概念及性质 1、定义：事件A的概率是事件A在一次试验中发生的可能性大小的一个数。2、性质：如果事件A，B互不相容，则设A为任一随机事件，则设则， 设A，B为任意两个随机事件，则推广：二、古典概型与几何概型1、古典概率定义设随机试验E的样本空间，n为有限的正整数，且每个样本点出现的可能性相等，则事件出现的概率，即 2、几何概率设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点，若投中线段l上的点的数目与该段的长度成正比，而与该线段l在线段L上的相对位置无关，则点投中线段l的概率P为设平面图形g是平面图形G 的一部分，向图形G上任投一点，若投中图g上的点的数目与该图形面积成正比，而与该图形g在图G上的相对位置无关 ，则点投中图形g的概率P为设空间体U是空间体V的一部分，则向V投点投中U的概率P为3、计算古典概率时用到的一些中学的基本知识加法原理 设完成一件事有n类方法（只要选择其中一类方法即可完成这件事），若第一类方法有种，第二类方法有种，第n类方法有种，则完成这件事共有N=+种方法。乘法原理 设完成 一件事须有n个步骤（仅当n个步骤都完成，才能完成这件事），若第一步有种方法，第二步有种方法，第n步有种方法，则完成这件事共有N=种方法。排列 从n个不同元素中任取个按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素取m个元素的所有排列种数，记为从n个不同元素中全部取出的排列称为全排列，其排列的种数，记为。允许重复的排列 从n个不同元素中有放回地取m个按照一定顺序排列成一列，其排列的种数为个。组合 从n个不同元素中取出m个元素不管其顺序并成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，其组合总数记为：三、重点题型例1 已知则。例2（92）设A，B，C为随机事件，P（A）=P（B）=P（C）=，P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=，则A，B，C至少出现一个的概率为。例3（09）袋中有1个红球、2个白球、3个黑球，从中取两次，每次取1只（有放回），则取得一只红球、一只白球的概率为 。例4 把10本书随意的放在书架上，则其中指定的5本书放在一起的概率为 。例5（88）在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为。3 条件概率、乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式一、条件概率如果P(A)0，则在事件A已经发生的条件下，事件B发生的条件概率定义为注 条件概率也是一种概率，当P(A)0时，有1、；2、；3、当不相容时，；4、当P(A)0时，；5、若AB，则；6、；二、乘法公式三、全概率公式如果事件构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为并且，则对任一事件B，有。四、贝叶斯公式如果事件构成一个完备事件组，并且，则对任一事件A，有：注意：公式右边可这样记忆：分母为全概率公式，是n项之和，分子是分母中的某一项。五、事件的独立性定义1：A与B独立A与B互不影响P(AB)=P(A)P(B)P(B/A)=P(B)P(A/B)=P(A)与独立与B独立A与独立。定义2：若，则称A、B、C两两独立定义3：若A、B、C两两独立且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称A、B、C相互独立。六、重点题型（一）事件关系的判别问题主要针对独立、相容或不相容、对立三种关系：例1（87）若二事件A和B同时出现的概率P（AB）=0，则（A）A和B不相容（互斥）。（B）AB是不可能事件。（C）AB未必是不可能事件。（D）P（A）=0或P（B）=0例2（00）设A，B，C三个事件两两独立，则A，B，C相互独立的充分必要条件是（A）A与BC独立。（B）AB与AC独立。（C）AB与AC独立。（D）AB与AC独立。（二）利用条件概率、乘法定理、全概率公式等结论推导新的概率等式或不等式。例1 设A、B、C为三个事件，P(ABC)=0,0P(C)1，则有 （A）（B）（C）（D）例2（98）设A、B是两个随机事件，且0P(A)0, P(B | A)=P(B | )，则必有（A）P（A | B）= P(|B)（B）P（A | B）P(|B)（C）P（AB）= P(A)P（B）（D）P（AB）P(A)P（B）（三）利用条件概率等公式求相关的概率例1 设随机事件A，B及其和事件AB的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若表示B的对立事件，那么积事件A的概率P（A）=。例2 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为。例3 某光光仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为，若第一次落下未打破，第二次落下时打破的概率为，若前两次未打破，第三次落下时打破的概率为，求透镜落下三次而未打皮的概率。例4（96）设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A厂和B厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是A厂生产的概率是 。例5（98）袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率是。例6（08）设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。试求（1） 先取出的零件是一等品的概率p;（2） 在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q。第二章 一维随机变量1 分布律，分布函数，概率密度的概念及性质：一、 有关定义及主要结论：一维随机变量X的分布几何表示随机变量X的分布函数性质：（1）（2）（3）（4），即F(x)是右连续图2-1X为离散型X为连续型概率分布：分布律：XP性质：（1）（2）概率密度：性质：（1）（2）（3）（4）的连续点。（5）分布函数注：连续型随机变量的两个特性：1、设X为连续型随机变量，a为常数，则2、连续型随机变量的分布函数一定连续。二、重点题型及解题方法：例1设随机变量X的分布为，则系数 。例2 已知 为某随机变量X的密度函数，则 ，分布函数为 例3 （05）设连续型随机变量X的分布函数为F(x)则A=，P|X|，概率密度为 例4 设随机变量的分布律为：05 0 05 15 01 01 02()是X的分布函数，则 = ，() = 。例5 某射手参加射击比赛，共有4发子弹，命中率为P，各次独立射击，求命中目标为止时射击次数X的分布律。例6 在高为h的 ABC中任取一点P，P到底边AB的距离为X，求X的概率密度。2 关于利用已知分布 求概率的问题X0 1P1-p p一、几个重要的一维分布1、（0-1）分布：分布律为其中P为事件A出现的概率，0p1。2、贝努利试验与二项分布和几何分布如果每次试验只有两个结果A与，且在每次试验中A发生的概率都相等（即），将这种试验独立重复n次，则称这种试验为n重贝努利试验。在n重贝努利试验中，以X表示n次试验中事件A发生的次数，则事件A恰好发生k次的概率为其中p为事件A在每次试验中出现的概率，q为不出现的概率，q=1-p，称随机变量X服从二项分布，通常记为。进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p=q，将试验进行到一次成功为止，以X表示所需的试验次数，则X的分布律为： （k=1，2，），称X服从参数为p的几何分布。注0-1分布即二项分布在n=1的情形。进行一次试验，若试验的成功率为p(0p1)，则在一次试验中成功次数X服从参数为p的0-1分布：二项分布描述n重伯努利试验，若每次试验成功率为p(0p0是常数），则对任意常数C必有（A）E（X-C）2=EX2-C2（B）E（X-C）2=E（X-）2（C）E（X-C）2E(X-)2（D）E（X-C）2E（X-）2例4（97）设随机变量Y服从参数为=1的指数分布，随机变量求：（1）（X1，X2）的联合概率分布；（2）E（X1+X2）。例5（99）设是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知的分布律为（1） 写出二维随机变量（X，Y）的分布律；（2） 求EX。例6设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。一周五个工作日，若无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；若发生两次故障，获利润0元；若发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内的利润期望。例7某设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30。设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求E（X）和D（X）。例8（94）设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（，1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T（单元：元）与销售零件的内径X有如下关系。问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？二、利用随机变量函数的数字特征公式计算（一）一维随机变量函数的数字特征公式：1、设X的分布律，则的数学期望；2、设X的概率密度为，则的数学期望 （二）二维随机变量函数的数字特征公式：1、若的概率密度为，则；特别，；2、若为离散型随机变量，则先求的分布律，再求Z的数学特征。例1 已知X的分布律为，则= 。例2已知随机变量（X，Y）的联合密度为试求：（1）； （2）。例3（02）假设随机变量U在区间-2，2上服从均匀分布，随机变量试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D（X+Y）。例4（06）设随机变量X和Y同分布，X的概率密度为（1） 已知事件；（2） 求的数学期望。三、利用几种重要分布的数学期望与方差的结论计算 几种重要分布的数学期望与方差分布分布律或概率密度数学期望方差1（01） 分布， 2二项分布， 3泊松分布, 4正态分布5均匀分布6指数分布, 为参数）7几何分布,重点题型：例1设随机变量X服从参数为1的指数分布，则。例2 已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，且胡机变量Z=3X-2，则EZ=。例3（95）设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则=。例4（02）设随机变量X的概率密度为对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求的数学期望。例5设随机变量XN（-3，1），YN（2，1），且X与Y相互独立。若Z=X-2Y+7，则Z。例6 假设有十只同种电器元件，其中有两只废品。装配仪器时，从这批元件中任取一只，若是废品，则扔掉重新任取一只；若仍是废品，则扔掉再取一只。试求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差。2 协方差与相关系数一、定义及性质协方差性质：（1）；（2）；（3）；（4）相关系数 性质：（1）， （2）若相互独立，则；（3）与以概率1线性相关，即常数且，使二、几个常用结论1、，特别当X与Y独立时，；2、3、X与Y独立即X与Y不相关，但反过来不正确。4、若服从二维正态分布，则X与Y独立与Y不相关。三、重点题型例1 设随机变量（X，Y）在圆域上服从联合均匀分布。（1） 求（X，Y）的相关系数（2） 问X和Y是否独立？例2（02）设随机变量X和Y的联合概率分布为概率 YX-101010.070.080.180.320.150.20则X和Y的关系数=。例3设随机变量X和Y独立同分布，记（A）不独立。（B）独立。（C）相关系数不为零。（D）相关系数为零。例4（03） 设随机变量X和Y的相关系数为0.5, EX=EY=0, EX2=E