高考数学一轮必备 6.5《数列的综合应用》考情分析学案(1).doc

6.5数列的综合应用考情分析1考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题2考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力基础知识1等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前项的关系(2)结果都必须是同一个常数； (3)数列都可由a1，d或a1，q确定等比数列(1)强调从第二项起每一项与前项的比； (2)a1与q均不为零； (3)等比中项有两个值2.解答数列应用题的步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到原实际问题中3数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，还是sn与sn1之间的递推关系注意事项1.数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解 2.(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注3. (1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)(2)数列与不等式结合时需注意放缩(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想巩固提高题型一等差数列与等比数列的综合应用【例1】已知等差数列an的前n项和为sn，s936，s13104，等比数列bn中，b5a5，b7a7，则b6的值为()a4 b4c4 d无法确定解析：依题意得，s99a536b5a54，s1313a7104b7a78，所以b64.答案：a【变式1】 数列an的前n项和记为sn，a11，an12sn1(n1)(1)求an的通项公式；(2)等差数列bn的各项为正，其前n项和为tn，且t315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，求tn.解(1)由an12sn1，可得an2sn11(n2)，两式相减得an1an2an，则an13an(n2)又a22s113，a23a1.故an是首项为1，公比为3的等比数列，an3n1.(2)设bn的公差为d，由t315，b1b2b315，可得b25，故可设b15d，b35d，又a11，a23，a39，由题意可得(5d1)(5d9)(53)2，解得d12，d210.等差数列bn的各项为正，d0，d2，b13，tn3n2n22n.题型二数列与函数的综合应用【例2】已知等比数列an的公比q3，前3项和s3.(1)求数列an的通项公式；(2)若函数f(x)asin(2x)(a0,0)在x处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式解(1)由q3，s3得，解得a1.所以an3n13n2.(2)由(1)可知an3n2，所以a33.因为函数f(x)的最大值为3，所以a3；因为当x时f(x)取得最大值，所以sin1.又0，故.所以函数f(x)的解析式为f(x)3sin.【变式2】比数列an的前n项和为sn，已知对任意的nn*，点(n，sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn(nn*)，求数列bn的前n项和tn.解(1)由题意，snbnr，当n2时，sn1bn1r，所以ansnsn1bn1(b1)，由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)由(1)知，nn*，an(b1)bn12n1，所以bn.tn，tn，两式相减得tn，tn.题型三数列与不等式的综合应用【例3】在等比数列an中，an0(nn*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2an，求数列bn的前n项和sn；(3)是否存在kn*，使得k对任意nn*恒成立，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由解(1)a1a52a3a5a2a825，a2a3a5a25，(a3a5)225，又an0，a3a55，又a3与a5的等比中项为2，a3a54，而q(0,1)，a3a5，a34，a51，q， a116，an16n125n.(2)bnlog2an5n，bn1bn1，b1log2a1log216log2244，bn是以b14为首项，1为公差的等差数列，sn.(3)由(2)知sn，.当n8时，0；当n9时，0；当n9时，0.当n8或9时，18最大故存在kn*，使得k对任意nn*恒成立，k的最小值为19.【变式3】已知单调递增的等比数列an满足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanlogan，snb1b2bn，求使snn2n150成立的正整数n的最小值(1)解设等比数列an的首项为a1，公比为q.依题意，有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，可得a38，a2a420，所以解之得或又数列an单调递增，所以q2，a12，数列an的通项公式为an2n.(2)因为bn2nlog2nn2n，所以sn(12222n2n)，2sn122223(n1)2nn2n1，两式相减，得sn222232nn2n12n12n2n1.要使snn2n150，即2n1250，即2n152.易知：当n4时，2n1253252；当n5时，2n1266452.故使snn2n150成立的正整数n的最小值为5. 重难点突破【例4】某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元该企业2008年年底分红后的资金为1000万元(1)求该企业2012年年底分红后的资金；(2)求该企业到哪一年年底分红后的资金超过32500万元解：设an为(2008n)年年底分红后的资金，其中nn*，则a1210005001500，a2215005002500，an2an1500(n2)an5002(an1500)(n2)，即数列an500是首项为a15001000，公比为2的等比数列an50010002n1，an10002n1500.(1)a410002415008500，该企业2012年年底分红后的资金为8500万元(2)由an32500，即2n132，得n6，该企业2015年年底分红后的资金超过32500万元巩固提高1设an是各项为正数的无穷数列，ai是边长为ai，ai1的矩形的面积(i1,2，)，则an为等比数列的充要条件为()aan是等比数列ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比数列ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同解析：aiaiai1，若an为等比数列，则为常数，即，.a1，a3，a5，a2n1，和a2，a4，a2n，成等比数列，且公比相等反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q，则q，从而an为等比数列答案：d2.在等比数列an中，若a4，a8是方程x24x30的两根，则a6的值是()a. b. c. d. 3答案：b解析：由题意知，a4a84，a4a83.a40，a80，a60.又aa4a83，a6.3.已知等差数列an的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则()a. 2b. 3c. 5d. 6答案：b解析：a2，a4，a8成等比数列，aa2a8，即(a13d)2(a1d)(a17d)，a1d，3.4.正项等比数列an中，存在两项am，an(m，nn*)使得4a1，且a7a62a5，则的最小值是()a. b. 1c. d. 答案：b解析：根据题意，a7a62a5，q2q2，解得q1或q2.an0，q0，q2.由4a1，即aqmn216a得mn6