导数考点分析.pdf

2012年第37期周刊 道材料题的几道材料不是随便放在一起的 它们之间一定有 着内在的联系 把这个内在的联系找到 本题的中心也就出来 了 开放性的问题根据中心去回答就容易得分 比如 三则材 料 一是列宁新经济政策 二是罗斯福新政 三是邓小平改革 开放 开放性问题 三人的共同品质有哪些 这三则材料之所 以放在一起是因为三个国家都是大国 不因循守旧 开拓创 新 摆脱了困境 走向了新时代 所以三个人共同品质回答都 具有改革创新精神就会得高分 二是根据前后问题来判断如 何回答 如前面几问问的都是思想解放的内容 最后问对我国 建设有何借鉴 就应该从思想解放对经济发展的作用来回答 再如前几问问中国错失工业革命的良机 最后问根据今天经 济全球化的背景谈谈你的感受 那就应该回答是抓住机遇迎 接挑战 上面所说的做题的注意事项应该在平时的练习中多加训 练 形成良好习惯 这样会对提高成绩有很大的帮助 对于历 史学科来说 分数差距不会太大 多得一分就会有一分的竞争 优势 当然 如果记不住历史的基本史实 上面所说的注意事 项就等于是空中楼阁 一 考纲内容 1 导数在函数中的应用 1 了解函数单调性和导数的关系 能利用倒数研究函数 的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过 三次 2 了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数一般不超 过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函 数一般不超过三次 3 利用导数求函数在某点处的切线斜率及切线的方程问题 2 生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题 二 热点题型分析 题型一 求函数的极值 最值类型 1 f x x 3 3x2 2在区间 1 1 上的最大值是2 题型二 利用导数几何意义求切线方程类型 2 求下列直线的方程 1 曲线y x 3 x2 1在P 1 1 处的切线 2 曲线y x2过点 P 3 5 的切线 解 1 点P 1 1 在曲线y x 3 x2 1 上 y 3x 2 2x k y x 1 3 2 1 所以切线方程为y 1 x 1 即 x y 2 0 2 显然点P 3 5 不在曲线上 所以可设切点为A x0 y0 则y0 x 2 0 又函数的导数为y 2x 所以过A x0 y0 点的切线的 斜率为k y x x0 2x 2 0 又切线过A x0 y0 P 3 5 点 所以有2x0 y0 5 x0 3 由 联立方程组得 x0 1 y0 1或 x0 5 y0 2 5 即切点为 1 1 时 切线斜率为k1 2x0 2 当切点为 5 25 时 切线斜率为k2 2x0 10 所以所求的切线有两条 方程分别为y 1 2 x 1 或 y 25 10 x 5 即y 2x 1或y 10 x 25 题型三 利用导数研究函数的单调性 求极值 最值 1 已知三次函数f x x 3 ax2 bx c在x 1和x 1时取极值 且f 2 4 1 求函数y f x 的表达式 2 求函数y f x 的单调区间和极值 3 若函数g x f x m 4m m 0 在区间 m 3 n 上的值 域为 4 16 试求m n应满足的条件 解 1 f x 3x 2 2ax b 由题意得1 1是3x 2 2ax b 0的两个根 解得a 0 b 3 再由f 2 4可得c 2 f x x 3 3x 2 2 f x 3x 2 3 3 x 1 x 1 当x 1 时 f x 0 当 x 1 时 f x 0 当 1 x 1 时 f x 0 当 x 1 时 f x 0 当x 1 时 f x 0 函数f x 在区间 1 上是增函数 在区间 1 1 上 是减函数 在区间 1 上是增函数 函数f x 的极大值是f 1 0 极小值是f 1 4 3 函数g x 的图像是由f x 的图像向右平移m个单位 向上平移4m个单位得到的 所以函数f x 在区间 3 n m 上 的值域为 4 4m 16 4m m 0 而f 3 20 4 4m 20 即 m 4 于是 函数f x 在区间 3 n 4 上的值域为 20 0 令f x 0得x 1或x 2 由f x 的单调性知 1 n 4 2 即3 n 6 综上所述 m n应满足的条件是 m 4 且 3 n 6 2 设函数f x x x a x b 1 若 f x 的图像与直线5x y 8 0相切 切点横坐标为2 且f x 在 x 1处取极值 求实数a b的值 2 当 b 1时 试证明 不论a取何实数 函数f x 总有两个 不同的极值点 解 1 f x 3x 2 2 a b x ab 由题意f 2 5 f 1 0 代入上式 解之得 a 1 b 1 2 当 b 1时 令f x 0 得方程3x 2 2 a 1 x a 0 因 4 a 2 a 1 0 故方程有两个不同实根x 1 x2 不妨设x1 x2 由 f x 3 x x1 x x2 可判断f x 的符号 如下 当x x1 时 f x 0 当 x1 x x2 时 f x 0 当 x x2 时 f x 0 因此x1是极大值点 x2是极小值点 当b 1时 不论a取何实 数 函数f x 总有两个不同的极值点 题型四 利用导数研究函数的图像 1 图1是f x 的导函数 f x 的图像如下图所示 则f x 的 图像只可能是 D 图1ABCD 导数考点分析 漯河市高级中学 河南 漯河462000 赵正文 题型研究 7 周刊2012年第37期 2 函数y 1 3 x 3 4x 1的图像为 A ABCD 题型五 利用单调性 极值 最值情况 求参数取值范围 已知函数f x x3 ax2 bx c在x 2 3 与x 1时都取得极 值 1 求 a b的值与函数f x 的单调区间 2 若对x 1 2 不等式f x c2恒成立 求c的取值范围 解 1 f x x3 ax2 bx c f x 3x2 2ax b 由f 2 3 12 9 4 3 a b 0 f 1 3 2a b得a 1 2 b 2 f x 3x2 x 2 3x 2 x 1 函数f x 的单调区间如下 表 所以函数f x 的递增区间是 2 3 与 1 递减区 间是 2 3 1 2 f x x3 1 2 x2 2x c x 1 2 当x 2 3 时 f x 22 27 c为极大值 而f 2 2 c 则 f 2 2 c为最大值 要使f x c2 x 1 2 恒成立 只需c2 f 2 2 c 解得 c 1或c 2 题型六 利用导数研究方程的根 已知平面向量 a 3 姨 1 b 1 2 3 姨 2 1 若存在不同时为零的实数k和t 使 x a t 2 3 b y k a t b x y 试求函数关系式k f t 2 据 1 的结论 讨论关于t的方程f t k 0的解的情 况 解 1 x y x y 0即 a t 2 3 b k a t b 0 整理后得 k a 2 t k t 2 3 a b t 2 3 b 2 0 a b 0 a 2 4 b 2 1 上式化为 4k t t 2 3 0 即 k 1 4 t t 2 3 2 讨论方程 1 4 t t 2 3 k 0的解的情况 可以看做曲线f t 1 4 t t 2 3 与直线y k的交点个数 于是f t 3 4 t 2 1 3 4 t 1 t 1 令f t 0 解得t1 1 t2 1 当t变化时 f t f t 的变化情 况如下表 当t 1 时 f t 有极大值 f t 极大值 1 2 当t 1 时 f t 有极小值 f t 极小值 1 2 函数f t 1 4 t t 2 3 的图像如图2所示 可观察出 1 当 k 1 2 或t 1 2 时 方程f t k 0有且只有一解 2 当 k 1 2 或k 1 2 时 方程f t k 0有两解 3 当 1 2 k 1 2 时 方程f t k 0有三解 题型七 导数与不等式的综合 1 设a 0 函数f x x 3 ax 在 1 上是单调函数 1 求实数a的取值范围 2 设 x0 1 f x 1 且 f f x0 x0 求证 f x0 x0 解 1 y f x 3x 2 a 若 f x 在 1 上是单调递减函 数 则需y 0 即 a 3x 2 这样的实数a不存在 故f x 在 1 上不可能是单调递减函数 若f x 在 1 上是单调递增函数 则a 3x 2 由于x 1 故3x 2 3 从而0 a 3 2 方法1 可知f x 在 1 上只能为单调增函数 若 1 x0 f x0 则f x0 f f x0 x0矛盾 若1 f x0 x0 则 f f x0 f x0 即x0 f x0 矛盾 故只有f x0 x0成立 方法2 设 f x0 u则f u x0 x 3 0 ax0 u u 3 au x 0 两式相 减得 x 3 0 u 3 a x 0 u u x0 x0 u x 2 0 x0u u 2 1 a 0 x0 1 u 1 x 2 0 x0u u 2 3 又 0 a 3 x 2 0 x0u u 2 1 a 0 2 已知a为实数 函数f x x 2 3 2 x a 1 若函数f x 的图像上有与x轴平行的切线 求a的取值 范围 2 若 f 1 0 求函数f x 的单调区间 证明对任意的x1 x2 1 0 不等式 f x1 f x2 5 16 恒成立 解 f x x 3 ax2 3 2 x 3 2 a f x 3x 2 2ax 3 2 函数f x 的图像有与x轴平行的切线 f x 0有实数解 4a 2 4 3 3 2 0 a 2 9 2 所以a的取值范围是 3 2 2 姨 3 2 2 姨 f 1 0 3 2a 3 2 0 a 9 4 f x 3x 2 9 2 x 3 2 3 x 1 2 x 1 由f x 0 x 1或x 1 2 由 f x 0 1 x 1 2 f x 的单调递增区间是 1 1 2 单调减区 间为 1 1 2 易知f x 的最大值为f 1 25 8 f x 的极小值为f 1 2 49 16 又 f 0 27 8 f x 在 1 0 上的最大值M 27 8 最小值m 49 16 对任意x1 x2 1 0 恒有 f x1 f x2 M m 27 8 49 16 书书书 极大值 极小值 书书书 极大值 极小值 图2 题型研究 8 2012年第37期周刊 5 16 题型八 导数在实际中的应用 1 在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方 形 再把它的边沿虚线折起 如图 做 成一个无盖的方底箱子 箱底的边长 是多少时 箱底的容积最大 最大容积 是多少 解法一 设箱底边长为xcm 则箱 高h 60 x 2 cm 得箱子容积 V x x 2h 60 x 2 x3 2 0 x 60 V x 60 x 3x 2 2 0 x 60 令V x 60 x 3x 2 2 0 解得x 0 舍去 x 40 并求得V 40 16000 由题意可知 当x过小 接近0 或过大 接近60 时 箱子容 积很小 因此 16000是最大值 答 当x 40cm时 箱子容积最大 最大容积是16000cm 3 2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时 它的高与底与半径 应怎样选取 才能使所用的材料最省 解 设圆柱的高为h 底半径为R 则表面积 S 2 Rh 2 R 2 由V R 2h 得 h V R 2 则 S R 2 R V R 2 2 R 2 2V R 2 R 2 令S R 2V R 2 4 R 0 解得R V 2 3 姨 从而h V R 2 V V 2 3 姨 2 4V 3 姨 2 V 3 姨 即h 2R 因为S R 只有一个极值 所以它是最小值 答 当罐的高与底直径相等时 所用材料最省 变式 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时 它的高 与底面半径应怎样选取 才能使所用材料最省 提示 S 2 Rh 2 R 2圯h S 2 R 2 2 R 圯V R S 2 R 2 2 R R 2 1 2 S 2 R 2 R 1 2 SR R 3 V R 0圯S 6 R 2圯6 R2 2 Rh 2 R2圯h 2R 题型九 导数与向量的结合 1 设平面向量 圯 a 3 姨 2 1 2 圯 b 1 2 3 姨 2 若存在不 同时为零的两个实数s t及实数k 使 圯 x 圯 a t 2 k 圯 b 圯 y s 圯 a t 圯 b 且 圯 x 圯 y 1 求函数关系式S f t 2 若函数S f t 在 1 上是单调函数 求k的取值范 围 解 1 圯 a 3 姨 2 1 2 圯 b 1 2 3 姨 2 圯 a 圯 b 1 圯 a 圯 b 0 又 圯 x 圯 y 圯 x 圯 y 0 得 圯 a t 2 k 圯 b s 圯 a t 圯 b 0 即 s 圯 a 2 t t 2 k 圯 b 2 t st 2 sk 圯 a 圯 b 0 s t 2 k t 0 故 s f t t 3 kt 2 f t 3t 2 k且f t 在 1 上是单调函数 则在 1 上有f t 0或f t 0 由f t 0圯3t 2 k 0圯k 3t2圯k 3t2 min圯k 3 由f t 0圯3t 2 k 0圯k 3t2 因为在 1 上 3t 2是增函数 所以不存在k 使 k 3t 2在 1 上恒成立 故k的取值范围是k 3 摘要 二次函数是初中数学的重点内容 它与许多知 识联系密切 因而成为各地中考命题的热点之一 其多数作为 压轴题形式出现 属于难度较大的题目 如何让学生掌握其解 题思路是数学中考复习中的重点和难点 关键词 二次函数综合题解