2013年考研数学基础班讲义.pdf

山大考研 服务电话 0533 8297678 8377789 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 1 of 25 第一章 极限与连续 第一章 极限与连续 1 函数 求一元函数的定义域 1 函数 求一元函数的定义域 1 2eeyx 2 3x 1 2 函数 的定义域为 求初等函数的表达式 求初等函数的表达式 2 4 1 1 x f xf xx 已知 求 x 求分段函数的表达式 求分段函数的表达式 2 2 0 0 2 0 0 xxxx g xf xg f x xxxx 设则 讨论函数的单调性 讨论函数的单调性 f xx yf x xf xx 设 在上有定义 且对任意 有 证明F在上单调增加 f yxy 一元函数周期性的讨论一元函数周期性的讨论 0 xcf xcf xf x 设对任何 存在常数使 证明是周期函数 2 数列的极限 有关数列极限存在性的判断 2 数列的极限 有关数列极限存在性的判断 0 1 n n NnNxa xa 对任意给定的 总存在正整数 当 时 恒有 2是 数列 收敛于 的 A 充分条件但非必要条件 B 必要条件但非充分条件 C 充分必要条件 D 即非充分条件又非必要条件 3 函数的极限 讨论函数极限的存在性 3 函数的极限 讨论函数极限的存在性 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 2 of 25 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 11 1 1 lim 0 lim 1 lim lim 2 1 1 xx xx xxf xg xg xxf x xx f xf xf x xx xa f xg x x 设对任意 总有且则 A 存在且等于零 B 存在但不一定为零 C 一定不存在 D 不一定存在 2 设试讨论 及 3 求函数 1 1 0 1 0 x x ax a x 当 时的左右极限 并说明 时的极限是否存在 4 无穷小与无穷大 有关无穷小与无穷大的定义 4 无穷小与无穷大 有关无穷小与无穷大的定义 lim0 1 nnnn n nnnn nnn n xyx y xyxy xyy x 设数列与满足则下列断言正确的是 A 若发散 则必发散 B 若无界 则必有界 C 若有界 则必为无穷小 D 若为无穷小 则也必为无穷小 5 极限运算法则 利用极限存在的充要条件求极限 5 极限运算法则 利用极限存在的充要条件求极限 1 0 e1 0 1 0 lim 1 1sin 0 x x x f xxf x xx x 设 求 利用分子或分母有理化求极限 利用分子或分母有理化求极限 2 lim 3 lim 100 nx nnnnxxx 1 极限 2 先求和 再求极限 先求和 再求极限 2 1 0 1 limln 1 2 x n f xaaafff n n 设函数则 利用极限与无穷小的关系求极限 利用极限与无穷小的关系求极限 32 00 sin6 6 lim0 lim xx xxf xf x xx 若则为 先求积 再求极限 先求积 再求极限 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 3 of 25 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 242 lim 1 1 1 1 1 n n xxxxx 求 6 极限存在准则 两个重要极限 利用夹逼准则求极限 6 极限存在准则 两个重要极限 利用夹逼准则求极限 222 222 1lim 2 12 2lim 12 n n nnn nnnn n nnnnnnn 1 利用极限存在的准则证明 求 利用单调有界数列必有极限求极限 利用单调有界数列必有极限求极限 10 1 0 0 lim 2 nn n n a n xxax x 设其中求x 利用第一个重要极限求极限 利用第一个重要极限求极限 2 2 0 1 3sincos 352 1limsin 2lim 53 1 cos ln 1 xx xx x x xxxx 利用第二个重要极限求极限 利用第二个重要极限求极限 23 00 1lim 1 3 2 2012 lim x xx xx xx e 极限中参数的确定 极限中参数的确定 2 1lim 0 1 x x axbabab x 已知 其中 是常数 则 0 sin 2lim cos 5 ex x x xbab a 若 则 x 7 无穷小的比较 无穷小的比较 7 无穷小的比较 无穷小的比较 104 ln 1 e1tansin1 cos x x xxx 当时 下列个无穷小量中比其他3个更高阶的无穷小量是 A B C D 2 1 2 4 cos 20 1 1sin 30ee xxxn xaxxxa xxn 若时 与是等价无穷小 则 设时 与是同阶无穷小 则为 利用等价无穷小代换求极限 利用等价无穷小代换求极限 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 4 of 25 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 2 0 2ln 1 1lim sin 2lim 11 cos 3 3lim ln 12 ln 1 xx x x xx x xx x x 极限 求 幂指函数求极限 幂指函数求极限 2 1 0 1 1lim 2lim 1 ln 1 n x nx n x n 8 连续函数的运算与初等函数的连续性 有关连续的定义 8 连续函数的运算与初等函数的连续性 有关连续的定义 2 2 3 1 2lim 2 2 2 ln 9 x f x f xxf x f xxf x 设在连续 且存在 则 设 则的连续区间是 有关分段函数的连续性 有关分段函数的连续性 1 1 2 0 1 1 e 00 e0 2 311 ee11 x x axax x x f x x x f xxxxa x 讨论的连续性 讨论 0在处连续 求的值 2 1 sin 0 e1 3 0 ln 12 0 x x x x f xbxabf x x ax x 设函数当时 在内连续 证明函数为连续函数 证明函数为连续函数 0 f xxf xyf xf yxy f x 若在点连续 且对任意的 都成立 试证为上的连续函数 求函数的表达式并确定其连续性 求函数的表达式并确定其连续性 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 5 of 25 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 ln e lim 0 1 2 nn n x f xx n f xf x 已知 求 函数在定义域内是否连续 求函数的间断点并判断类型 求函数的间断点并判断类型 1 1 e1 0 1 0 1 x x f x xxf x xxf x 设函数则 A 都是的第一类间断点 B 都是的第二类间断点 0 1 0 1 xf xxf x xf xxf x C 是的第一类间断点是的第二类间断点 D 是的第二类间断点是的第一类间断点 9 闭区间上连续函数的性质 讨论函数的有界性 9 闭区间上连续函数的性质 讨论函数的有界性 f xa bxaf xf x a b 设函数在上连续 且时函数的极限存在 证明函数 在上有界 证明根的存在性 证明根的存在性 3 19103 2 xx f xa bf aa f bba b f 证明方程恰有个根 若在上连续 且证明 在内至少存在一点 使得 利用介值定理证明 利用介值定理证明 12 12 n n f xa baxxxba b f xf xf x f n 设在上连续 证明 在 内至少存在一个 使 第二章 导数与微分 第二章 导数与微分 1 导数的概念 利用导数定义求初等函数的导数 1 导数的概念 利用导数定义求初等函数的导数 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 6 of 25 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 2 1 1 2 0 2 3 1 2 0 xxnx f xx xxxnf f xxaxxxafa f xnnf 设 则 设 其中在连续 则 2012 设函数ee e其中 为正整数 则 分段函数讨论分段点处的可导性 分段函数讨论分段点处的可导性 3 2 1 2 1 1 1 3 1 0 1 e 0 00 2 0 1 e x x xx f xf xx xx x x f xxx x x 设则在处的 A左右导数都存在 B左导数存在 但右导数不存在 C 左导数不存在 但右导数存在 D左右导数不存在 2设函数 则函数在点处的导数为 根据导数定义 利用所给极限式子求导数 根据导数定义 利用所给极限式子求导数 0 2 2 0 1 1 lim 2 4 2 0lim1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 h h h f xxafa f ahf a f h f xx h ffff ffff 设函数在点可导 且求 设函数在处连续 且则 A 且存在B 且存在 C 且存在 D 且存在 利用导数定义求极限 利用导数定义求极限 0 00 00 00 0 00 00 0 1 1 lim 2 lim 0 0 0 3 3 lim 2 lim xx h h fxA f xxf xf x AAf xx f xhf x A h f xxfx f xahf x f 下列各题中均假定存在 按照导数定义 求出下列各题中的 值 设 且存在 设函数在点 处的导数存在 是常数 求极限 h h 利用导数定义求函数的表达式或导函数 利用导数定义求函数的表达式或导函数 1 1 0 0 1 2 2 0 f xfxaf xfba bf f xx yf xyf ff x xf yxy 若满足条件且常数 求 设在上有定义 对任意有 且存在 求 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 7 of 25 可导与连续之间的关系 可导与连续之间的关系 2 2 1 cos 0 1 0 0 1 1 cos 1 2 x x f xg xf xxx x g xx axbx f xf xxab xxx 设其中是有界函数 则在处 A 极限不存在 B 极限存在 但不连续 C 连续 但不可导 D 可导 2 设 在可导 则 利用导数定义讨论有关函数的连续性 间断点 利用导数定义讨论有关函数的连续性 间断点 sin 0 1 0 0 0 F 0 0 0 2F 0 0 0 0 00F 0 0 f xax x f xffbxx Ax xA f x x xf xxffxx fx 设函数有连续的导函数 且若函数 在处连续 则常数 设其中在处可导 则是的 A 连续点 B 第一类间断点 C 第二类间断点 D 连续点或间断点不能由此确定 x 利用导数定义计算切线斜率 利用导数定义计算切线斜率 0 1 1 lim1 1 1 2 x ffx f xyf xf x 设为可导函数 且满足条件则曲线在点 处的 切线斜率为 2 导数的基本公式与运算法则 利用求导公式及求导法则求具体函数的导数 2 导数的基本公式与运算法则 利用求导公式及求导法则求具体函数的导数 22 32 01 2 edy 1 e 2arctaneln e1d xx x xx x yxyy x 设则设则 利用求导公式和求导法则求抽象复合函数的导数 利用求导公式和求导法则求抽象复合函数的导数 2 0 1 32d 1 arctan 32d 2 e 1 1 1 2 1 x g x xy yffxx xx g xh xhgg 已知则 设函数可微 则 1 3 c f xaf xbfa b cabfx xx 设可导函数满足式中为常数 且 求 分段函数求导数 分段函数求导数 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 8 of 25 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 1cos 0 1 sin 0 0 1 0 2 1 ln 1 2 0 2 e 0 0 x x x f xxx x xf xx a bf x abx xfx x 讨论函数 在处的连续性和可导性 求出导函数 试确定常数的值 使函数 在处可导 并求出此时的 3 高阶导数 隐函数及参数方程求导 计算初等函数的二阶 三阶导数 3 高阶导数 隐函数及参数方程求导 计算初等函数的二阶 三阶导数 0 2 1 1ln 1 2 2 e 2 1 2 x f x x yy x f xxfxff 设则 设函数在的邻域内可导 且 则 求 n 阶导数的通项 求 n 阶导数的通项 44 1 1 1 2sincos n n x f xfx x yxxy 设则 设则 求隐函数的导数 求隐函数的导数 23 0 2 d 1 ln sin d d 2ecos d x xy y yy xxyx yx x y yxyx x 设函数由方程确定 则 设方程确定为 的函数 则 求隐函数的二阶导数 求隐函数的二阶导数 2 e610 0 y yy xxyx y 已知函数由方程确定 则 含有抽象函数的隐函数求二阶导数 含有抽象函数的隐函数求二阶导数 2 2 2 2 d 1 d d 2 ee1 d fyy y yf xyf x y yy xxff x 设函数其中 具有二阶导数 且其一阶导数不等于1 求 设函数有方程确定 其中 具有二阶导数 且求 使用对数求导法求导 使用对数求导法求导 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 9 of 25 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 1 1esin 2 x x x yxxy yxy 设求 设求 参数方程确定函数的求导 参数方程确定函数的求导 e sin2 0 1 e cos t t xt yt 曲线在点处的法线方程为 参数方程确定函数的二阶导数 参数方程确定函数的二阶导数 2 232 ln 1 d d xtt y yy x xytt 设函数由参数方程所确定 则 4 微分 求函数的微分 4 微分 求函数的微分 2 10 1 0 1 1 f uyf xxxx yf 设函数可导 当自变量在处取得增量时 相应的函数增量的线性主部为 则 第三章 微分中值定理与导数的应用 第三章 微分中值定理与导数的应用 1 微分中值定理 验证中值定理及其有关中值的计算 1 微分中值定理 验证中值定理及其有关中值的计算 2 2 5 1lnsin 66 1 10 2 11 1 01 yx xx f xx xx 罗尔定理对在上的正确性 验证函数在上是否满足拉格朗日定理 如满足 求出满足定理的中值 构造辅助函数利用罗尔定理证明等式的题目 构造辅助函数利用罗尔定理证明等式的题目 3 123123 13 1 0 1 0 1 0 F 0 1 F 0 2 0 f xffxx f x f xa bf xf xf xaxxx x xf b 设函数在上有三阶导数 且设 试证 在内存在一个 使 若函数在内具有二阶导数 且其中 证明 在 内至少存在一点 使 利用罗尔定理证明根的存在性 利用罗尔定理证明根的存在性 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 10 of 25 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 12 010 2 012 1 1 2 3 4 0 0 231 0 1 n n n n f xxxxxfx aaa a aaa n f xaa xa xa x 不用求出函数的导数 说明方程 有几个实根 并指出它们所在的区间 2 设 是满足 的实数 证明多项式 在内至少有一个零点 利用拉格朗日中值定理构造辅助函数证明 利用拉格朗日中值定理构造辅助函数证明 1 2 0 1 0 1 0 0 1 1 01 0 1 f xa ba ba b bf baf a ff ba f xff yf xc f cc f 设在区间上连续 在内可导证明 在内至少存在一点 使 假设函数在上连续 在内二阶可导 过点A与B的 直线与曲线相交于点C其中 证明 在内至少存在一点 使 0 利用拉格朗日中值定理证明等式 利用拉格朗日中值定理证明等式 arcsinarccos 11 2 xxx 证明恒等式 利用拉格朗日中值定理证明不等式 利用拉格朗日中值定理证明不等式 ln 0 abaab ab abb 证明不等式 利用柯西中值定理证明 利用柯西中值定理证明 21 12121212 0 ee 1 e xx x xxxxxxx 设证明 其中在与之间 2 洛必达法则 利用洛必达法则求 2 洛必达法则 利用洛必达法则求 0 0 型极限 型极限 32 0 2 sinlnsin 1lim 2lim 2 x x xxx xx 计算 计算 利用洛必达法则求 利用洛必达法则求 型极限 型极限 ln ln lim 0 a x xx a x 求 利用洛必达法则求 型极限 利用洛必达法则求 型极限 0 0 0 111 1limln lim sintan x x xx xxx 2 利用洛必达法则求型极限 利用洛必达法则求型极限 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 11 of 25 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 2 00 1111 lim 2lim tan1 e x xx x xxxx 1 求 求 利用洛必达法则讨论无穷小的比较 利用洛必达法则讨论无穷小的比较 tan 10ee xxn xx 设时 与是同阶无穷小 则为 A 1 B 2 C 3 D 4 33 2e 1 0 x n 1 23 xxx xxx 试确定常数 A B C的值 使得BCA 其中是当时比高阶的无穷小 x 利用洛必达法则讨论函数的连续性 利用洛必达法则讨论函数的连续性 2 sin2e1 0 0 ax x x f xa x ax 若 在上连续 则 3 泰勒公式 利用泰勒公式求极限 3 泰勒公式 利用泰勒公式求极限 2 2 0 ln 1 1lim2 x xaxbx x 设 则 55 1 0 20 1 2 22 abababab A B C D 2 2 4 00 coseln 1 lim 3lim e1 x x xx xxx xx 2 求 求 4 函数的单调性与曲线的凹凸性 4 函数的单调性与曲线的凹凸性 0 f xg xfx g xf x g x axb f x g bf b g xf x g af a g x f x g xf b g bf x g xf a g a 1 设 是恒大于零的可导函数 且 则当时 有 A B C D 12 12 22 12 ee 202 xx xx xx 设问和何者最大 为什么 3e ba baab 设 证明 利用单调性证明根的个数 利用单调性证明根的个数 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 12 of 25 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 32 1 2912 2468 20 ln 0 e af xxxxa x kf xxk 当取下列哪个值时 函数恰有两个不同的零点 A B C D 设常数 函数在内零点的个数为 求曲线的拐点 求曲线的拐点 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f xfxfxxf ff xff x ff x ff xff x 设函数满足关系式且则 A 是的极大值 B 是的极小值 C 点是的拐点 D 不是的极值 点也不是的拐点 利用曲线的凹凸性证明 利用曲线的凹凸性证明 2 ee e 2 x yxy xy 证明 当时 5 函数的极值与最大值 最小值 一元函数极值的判定 5 函数的极值与最大值 最小值 一元函数极值的判定 2 00 00 00 000 3 1 e 0 0 x yf xxxfxx fxfxx f xf xf xf x xf xyf x f xf xxf xyf x 1 已知函数对一切满足若 则 A 是的极大值B 是的极小值 C 是曲线的拐点 D 不是的极值 也不是曲线的拐点 2 2lim1 0 xa f xf a xa xa f xfaf x f xf x 则在点处 A 的导数存在 且 B 取得极大值 C 取得极小值 D 的导数不存在 00 00 22 3 240 0 0 42102420 yf xyyyf xfx xf xxf x xaxxaaa 设是方程的一个解 若且 试判定是否为的极值点 如果为的极值点 是极大值点 还是极小值点 已知二次方程有实根 试问为何值时 它是方程两根之积的极值点 并求极值 求函数的最大 小 值 求函数的最大 小 值 1 V t af taatt aat a rh 1 设在内的驻点为问为何值时 最小 并求出最小值 2 作半径为 的球的外切正圆锥 问此圆锥的高为何值时 其体积最小 并求出该最小值 6 函数图形的描绘 6 函数图形的描绘 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 13 of 25 求曲线的渐近线方程 求曲线的渐近线方程 4sin 52cos 1 20sin xx y xx xyx x 1 曲线的水平渐近线方程为 当时 曲线 A 有且仅有水平渐近线 B 有且仅有铅直渐近线 C 既有水平渐近线 又有铅直渐近线 D 既无水平渐近线 又无铅直渐近线 1 3ln e 0 yxx x 曲线的渐近线方程为 第四章 不定积分 第四章 不定积分 1 不定积分的概念与性质 利用原函数与不定积分的定义求解问题 1 不定积分的概念与性质 利用原函数与不定积分的定义求解问题 22 222222 1ee 1111 ee ee ee ee 2222 xx xxxxxxxx 下列函数中 不是的原函数的是 A B C D 2F d d F F F d F dd d xxG xx xG xxG xCxG xxxG x x 设 则下列结论中错误的是 A B C D 3 d d d d d d d fxxf xf xf xf xxf xf xxf x x 下列等式中正确的是 A B C D 利用不定积分的性质讨论 利用不定积分的性质讨论 11 1 de 2 e de x xx f xxxCf x f xxCf x 若则 如果等式 则函数 使用基本积分公式计算不定积分 使用基本积分公式计算不定积分 22 2 11 sin 1d 2d 1 1 cos2 xxx xx xxx 求积分曲线 求积分曲线 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 14 of 25 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 2 e 3 一曲线通过点且在任意一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数 求该积分曲线 2 换元积分法 使用第一换元积分法求不定积分 2 换元积分法 使用第一换元积分法求不定积分 1F e e d 1 2 darcsin d xx xf xfx x f xxxCx f x 设是的一个原函数 则 设求 22 4 ln 1 d 2 d 3 e e 1 0 xx fx x f xfxxx x fxff x 求下列不定积分 已知且则 使用第二换元积分法计算不定积分 使用第二换元积分法计算不定积分 32 3 dd 123 1 2 1 xx 4dxxx xxxx 求求求 3 分部积分法 使用分部积分公式求不定积分 3 分部积分法 使用分部积分公式求不定积分 3 2 22 2 lnln1 1ln 1 d 2d 3d ln 4arctand 5 arcsin d xxx xxxx xxx xxxx 求计算计 计算求 x 算 先作代换 再使用分部积分公式计算 先作代换 再使用分部积分公式计算 2 23 arcsin 1 ln 0 2 d e d x x fxx xf xxxx x 设求求 3 求 已知函数的原函数 使用分部积分公式计算 已知函数的原函数 使用分部积分公式计算 2 3 1 ln d sin 2 f xxxfxx x d f xx x 已知的一个原函数为则 已知是函数的一个原函数 求fxx 第五章 定积分 第五章 定积分 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 15 of 25 1 定积分的概念和性质 利用定积分的保号性比较定积分的大小 1 定积分的概念和性质 利用定积分的保号性比较定积分的大小 434234 222 2 222 44 12 00 sin 1Mcosd Nsincosd Psincosd 1 NPM MPN NMP PMN tan 2Id Id tan x x xxxxxxxx x xx xx xx 设则有 A B C D 设则 利用估值定理估计积分值 利用估值定理估计积分值 5 2 4 2 1 1 sin d 1sin2 d 22 xx x x x 4 4 估计积分的值 2 证明 利用定积分的结果与积分变量无关解题 利用定积分的结果与积分变量无关解题 11 2 2 00 1 1 1 d d 1 f xxf xxf xx x 若则 21 2 00 2 d2 d f xxxf xxf xxf x 已知试求 有关牛顿 莱布尼茨公式的使用条件 有关牛顿 莱布尼茨公式的使用条件 51e 1 2 2011 e dddd 1ln 1 x xx xxx xxx x 下列积分中可直接用牛顿 莱布尼茨公式计算的是 x A B C D 求分段函数的定积分 求分段函数的定积分 35 0 22 22 23 1sinsind 2 1 max d 2 min 2 d xxx x xxxx 计算 求下列定积分 求定积分表达式 求定积分表达式 2 0 1 1 01 2 d 0 2 1 1 12 3 x xx g xf uuf xg x xx 若 设其中则在区间内 若 A 无界 B 递减 C 不连续 D 连续 利用对称性计算定积分 利用对称性计算定积分 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 16 of 25 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 1 32222 2 1 2 11 2 11 1 sin cosd 1 d 2 3 ln d ed 254 x xxx xxxx xx xxxxx xx 2 4 2 微积分基本公式 变限函数的导数 2 微积分基本公式 变限函数的导数 2 ln 1 0 22 0 1 d dd 2 cos d sin d dd x x x x f xF xf ttF x xttxtt xx 设为连续函数 且则 3 有关变限函数性态的讨论 有关变限函数性态的讨论 1 1 1 2 d 0 x F xtxF x t 设则函数的单调减少区间是 2 0 1 22 00 2 2 e d 11 3 dd 11 0 arctan 2arctan 2 x t x x f xtt F xtt tt F xF xF xxF xx 求函数的最大值和最小值 设则 A B C D 由变限积分构成的隐函数求导数 由变限积分构成的隐函数求导数 2 23 2 d e dlnd 0 d yx t y ttxtx x 00 设求 由变限积分构成的参数方程求导数 由变限积分构成的参数方程求导数 2 2 2 22 1 cos dd 1 1 dd2coscosd 2 t xt yy t xxyttu u u 设求在的值 2 2 0 2 22 d d 0 d t xf uu y f uf u x yf t 2 设其中具有二阶导数 且 求 含变限积分的函数求极限 含变限积分的函数求极限 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 17 of 25 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 2 0 0 0 3 0 1 3sincos d 1lim 1 cos ln 1 d sin 2lim ln 1 d x x x xx b ttt t xtt axx abcc t t t 求极限 确定常数 的值 使 c0 1 2 00 1 3 0 0 d lim 0 2 x nnn n x F x f xfF xtf xttf xn 设函数 有导数 且 证明 由变限积分构成的函数进行无穷小比较 由变限积分构成的函数进行无穷小比较 2 23 000 0cosd tand sin d xxx xttt t 把时的无穷小量 排列起来 使排在后面的是前一个的高阶无穷小 则正确的排列次序是 A B C D tt 含有变限积分的函数讨论连续性 可导性 含有变限积分的函数讨论连续性 可导性 2 20 2 2 0 sin 0 1 cos 1 2 00 1 d 0 sin 2 1 cos 0 2 1 0 0 1 cos d 0 x x x x x f xxxa b t tx xx bt xx x f xxf xx ttx x 设 在处连续 求 设 试讨论在处 的连续性和可导性 使用定积分的换元法计算定积分 使用定积分的换元法计算定积分 2 2 1 2 4 4 11 11 e 22 1 1 d 1 1 2 11 2 d d 22 x x xx f xf xx x x f ttfxx x 设则 设则 ln 0 1 3e32e d 3 a xx xa 已知求的值 使用定积分的分部积分公式计算 使用定积分的分部积分公式计算 2 2 4 01 1d ln d 1 cos2 x xx x 求 2计算 xx 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 18 of 25 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 2 21 2 00 sin 3 d 1 4 2 2 0 d1 2 d 2 x f xxfxx x fff xxx fxx 设有一个原函数则 已知及则 被积函数中含有变上 下限的定积分的计算 被积函数中含有变上 下限的定积分的计算 2 2 01 1 2 darctan 1 1 d 2 x f xtfxttxff 设函数连续 且已知求xx 4 广义积分 有关无穷积分上广义积分的定义 4 广义积分 有关无穷积分上广义积分的定义 3eeee lnddd d lnln ln xxx x xxxxx x xx 下列广义积分收敛的是 A B C D 利用换元法计算无穷区间上广义积分 利用换元法计算无穷区间上广义积分 23 00 dd 1 2 3 48 1 ln xx xxxxx 2 e x 1 d a x a x 4 试确定积分在取什么值时收敛 取什么值时发散 利用分部积分公式计算无穷区间上的广义积分 利用分部积分公式计算无穷区间上的广义积分 22 10 arctane 1 d d 1 e x x xx xx x 计算 2计算 确定参数的取值 确定参数的取值 22 1lim 4ed 1 2lim e d xx ax a axt x xa xxa xa x tta x 已知求常数的值 设则常数 无界函数广义积分的计算 无界函数广义积分的计算 211 2 21102 1 11 d de d sinln 1 x 1 dxxx xx x 下列广义积分发散的是 A B C D x x 3 1 2 1 2220 2 dd 3 2 1 x xx xxxx 2 计算积分 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 19 of 25 5 定积分在几何上的应用 直角坐标系下利用定积分求平面图形的面积 5 定积分在几何上的应用 直角坐标系下利用定积分求平面图形的面积 123 12321331223 1 0 0 0 1 d 2 1 2 22 b a a bf xfxfx Sf xxSf b baSf af bba SSSSSSSSSSSS yxxyS 1 x 设在区间上令 则 A B C D 由曲线及所围图形的面积 32 32 yxxxxA 曲线与轴所围成的图形的面积 与平面图形面积有关的应用题 与平面图形面积有关的应用题 33 1 2 0 yxyx S 从点引两条直线与曲线相切 求此两条切线与曲线所围成 的图形的面积 00 00 2 0 ln 1 2 ya x ayxxy axy xS 已知曲线与曲线在点处有公共切线 求 常数及切点 两曲线与轴围成的平面图形的面积 绕坐标轴旋转所得旋转体体积的计算 绕坐标轴旋转所得旋转体体积的计算 00 00 2 1 0 ln 1 2 2 0 1 12 1 2 3 x ya x ayxxy axy xxV yxxAx A A x 已知曲线与曲线在点处有公共切线 求 常数及切点 两曲线与轴围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积 在曲线上某点处作一切线 使之与曲线以及轴所围成图形的面积 为试求 切点的坐标 切点的切线方程 由上述所围平面图形环绕轴旋转一周所成旋转体的体积 第六章 多元函数微分法及其应用 第六章 多元函数微分法及其应用 1 多元函数的基本概念 多元函数的定义域 1 多元函数的基本概念 多元函数的定义域 2 22 4 arcsin 2 ln 1 xy zx xy 求函数的定义域 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 20 of 25 求函数表达式 求函数表达式 1 1 12 zyfxyzxf y yyyy y 设且当时则 A B C D 2 求多元函数的极限 求多元函数的极限 0 0 0 0 sin 1lim 2lim 42 x yx y xyxy xxy 计算极限求 0 1sin 3 0 1arctan 1 lim 2 lim y x x y yy f x yxy xyx g xf x yg x 0 设 求 2 偏导数 利用一元函数的求导公式及求导法则求偏导数 2 偏导数 利用一元函数的求导公式及求导法则求偏导数 22 1 3 4 2 1 x f x yxyxy z zxy x 求函数在处的偏导数 设则 利用偏导数定义讨论具体点的偏导数 利用偏导数定义讨论具体点的偏导数 arctan 22 53 3 1 eln 1 0 2 0 0 y x x x f x yxyf f x yxyf 设求 设求 利用偏导数定义讨论分段函数的偏导数 利用偏导数定义讨论分段函数的偏导数 22 0 0 0 0 0 xy xy x y f x yfx yfx yxy x y 设求偏导数 多元函数偏导数存在与连续之间的关系 多元函数偏导数存在与连续之间的关系 22 0 0 0 0 0 0 0 xy x y xyf x y x y 二元函数在点处 A 连续 偏导数存在 B 连续 偏导数不存在 C 不连续 偏导数存在 D 不连续 偏导数不存在 求多元函数的高阶偏导数 求多元函数的高阶偏导数 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 21 of 25 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 2 22 2 22 1 1esin 2 2sin x xu u yx y zz zxaya yx 设则在点处的值为 验证函数满足波动方程 222 222 222 2 3 rrr rxyz xyzr 证明满足 3 全微分 计算多元函数的全微分 3 全微分 计算多元函数的全微分 1 0 22 22 1 2 1e 1 ln 1 d 2arcsin d 3 ln arctan d 1 4 0 4 1 2 d 2 x y v zxxyz z uu xy y Zuuxyvz x f ufzfxyz 设二元函数则 设则 已知求 设函数可微 且则在点处的全微分 求隐函数的全微分 求隐函数的全微分 222 1 e0 22 d z y x zf x yzyxxz xyzxyzzz x y z 设是由方程所确定的二元函数 求 由方程所确定的函数在点 处的全微分 d 1 0 1 讨论多元函数的可微 连续及偏导数存在之间的关系 讨论多元函数的可微 连续及偏导数存在之间的关系 2222 22 22 1 sin 0 0 0 1 2 3 4 xyxy xyzf x y xy 讨论函数在坐标原点处 是否连续 偏导数是否存在 是否可微 偏导数是否连续 4 多元复合函数的求导法则 利用一元函数求导法则求偏导数 4 多元复合函数的求导法则 利用一元函数求导法则求偏导数 2 1e 2 0 2 x xy dz zf xyyzx dx y zxyff uxzyz x 设 且当时 则 设可导 则 利用一元函数求导法则求二阶偏导数 利用一元函数求导法则求二阶偏导数 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 22 of 25 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 22 22 22 1 2 d x y x y yxg f ug x yfyfxy xyxy u x yxyxytt 设具有二阶连续导数 且求 设函数其中函数具有二阶导数 具有一阶导数 则必有 g 利用多元复合函数求导法则求偏导数 利用多元复合函数求导法则求偏导数 1 e cos e sin sin 2 ln uu zz zu v xv yv xy xyz zff yxx 设求 设函数其中是可微函数 则 利用多元复合函数求导法则求二阶偏导数 利用多元复合函数求导法则求二阶偏导数 22 22 22 22 22 1 1 2 ff f u vg x yf xyxy uv gg xy 设具有二阶连续偏导数 且满足又 求 5 隐函数的求导法则 求多元隐函数的偏导数 5 隐函数的求导法则 求多元隐函数的偏导数 23 1 e23 2 ln xz zz zz x yzy xy xzz zz x y zyy 设函数由方程确定 则 设是由方程所确定的函数 则 6 多元函数的极值及其求法 极值点的判定 6 多元函数的极值及其求法 极值点的判定 00 00 00 1 f x yxy f xyyy f xyyy 设可微函数在点取得最小值 则下列结论正确的是 A 在处的导数大于零 B 在处的导数等于零 00 00 222 0 0 0 0 lim1 x y f xyyy f xyyy f x yxy f x y xy C 在处的导数小于零 D 在处的导数不存在 2已知函数在点 的某个邻域内连续 且则 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 23 of 25 极值点的判定 极值点的判定 22 1 e 2 1 2 x zxyy 设则点是该函数的 A 驻点 但不是极值点 B 驻点 且是极小值点 C 驻点 且是极大值点 D 驻点 偏导数不存在的点 求多元函数的无条件极值 求多元函数的无条件极值 33 3 0 zaxyxy a 求函数的极值 求二元函数的最大 小 值 求二元函数的最大 小 值 2 a求表面面积为的最大长方体的体积 第七章 二重积分 第七章 二重积分 改变积分次序 改变积分次序 eln 10 111 422 1 0 4 1 d dd d d d 2d dd d x D D y yy f x yx yxf x yyxy f x yx y yf x yxyf x yx 将二重积分化为先对 后对的二次积分 则 交换积分次序 在直角坐标系下计算二重积分 在直角坐标系下计算二重积分 2 1d1 2 2d2 D D xyDyxyx xyDyxyx 计算 其中是由直线所围成的区域 计算 其中是由曲线与直线所围成的区域 0 1 222 3d d1 4 0 0 1 2 2 1 d d D D x y x yDxyyy DOABx x y 计算二重积分 其中是由双曲线及直线 所围成的平面区域 设是以点为顶点的三角形区域 求 1 在直角坐标系下求分段函数的二重积分 在直角坐标系下求分段函数的二重积分 2 1 d d 01 0 D yxx yDxy 计算其中 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德版权所有翻录必究 Page 24 of 25 山大考研 山大考研 山东大学中心校区知新楼 B811 883 61396 863 58102 01 20 0 d d D ax af xg xD If x g yxx y 若 设而表示全平面 则 其他 改变二重积分次序计算二重积分的值 改变二重积分次序计算二重积分的值 22 2 0 2 1 de d sin 2 d y x D xy y Dyxyx y 积分的值等于 计算 其中是由抛物线与直线所围成的区域 极坐标系下求二重积分 极坐标系下求二重积分 22 22 1 d d 2 d d D D xyx yDyx xa y Dx yxyxxx y 计算二重积分其中是由围成 设求 0 22 22 1 3 10 1 D xy Dx yxyxIx xy d dy 设区域 计算二重积分 利用对称性计算二重积分 利用对称性计算二重积分 1 1 1 222222 1 1 1 1 1 1 1 cossin d d 2 ln d01 d d41 d d d d4 d d D DDD DDD DxOyDD xyxyx y xxyxyx yxyx xyx yxyx yxy 设 是平面上以和为顶点的三角形区域 是 在第一象限的部分 则 下列四个不等式中不成立的是 A B C D 1 d d4 d d D x yxyx y y 222 3 0 0 d d D g xDx yxyaa g xg y Ix y g xg y 设为已知连续函数 在圆域上计算二重积分 其中 为正常数 山大考研淄博 考研数学基础班讲义 高等数学 张天德 Page 25 of 25 版权所有 翻录必究 第八章 常微分方程 第八章 常微分方程 可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程 2 2 0 22 1 1 0 ln 1 2 2 1 12e 3 dln2 2 e ln2eln2eln2eln2 y x xxxx yf xx yxxf x xy t f xf xftf x 已知曲线过点且其上任一点处的切线斜率为则 求方程的通解