浙江大学物理系本科《统计力学》讲义-chapter6.pdf

第六章 非平衡态统计物理非平衡态统计物理 非平衡态物理现象 动力学驰豫过程 例如 t 0 体系处于高温态 t 0 体系淬火到低温态 在这 一过程 体系的性质和物理量显然与时间相关 动力学输运过程 体系处于稳态 但存在 流动 如粒子流 电流和能量流等 这样的系统需要动力学方程描述 其他一些现象也纳入非平衡态物理研究范畴 例如 体系不断受 到外力打击 这些外力是宏观的 或者没法简单用 Hamiltonian 表达 等等 平衡态的动力学涨落也可以属非平衡态物理研究范畴 第一节玻尔兹曼方程第一节玻尔兹曼方程 全同粒子 近独立体系 粒子数不变 单粒子微观状态用 pr 描述 pr 张开的空间称 空间 平衡态平衡态 系统的微观状态可用分布函数描述 fprf 为单粒子能量 处于 vr 处的粒子数的密度分布 思考题 与正则系综理论的关系 例如 如何写出配分函数 非平衡态非平衡态 粒子数密度与时间 t 有关 tprf 关键 如何求 f 显然 如果 t 是微观时间 求解 tprf 的难度和解微观运动 方程差不多 所以 t 一般是某种介观时间或宏观时间 先试图写下 f 的运动方程 再讨论如何求解 如果粒子不受外力 没有粒子间的碰撞 我们有粒子流守恒方程 0 fv t f 如何来的 对V 积分 0 VV dVfvdV t f VS SdfvdVf t 左边 V 中单位时间粒子数的增加 右边 单位时间流入V 的粒子数 注意 Sd 的方向为向外的 至少在局部v 是常数 所以 v dS 是 从 dS 流入V 的粒子数 因为 dS dl ds v ds dt dV dt v V 另一方法 没有外力 p 至少在局部是常数 trfdttrftrdf dtt 时刻处于r 处的粒子 t时刻处于dtvr 的粒子 因为在dt内粒子移动dtvrd f f r tdtf r tdtf rvdt tf r tdt t f vv f r 如果粒子受外力 但互相不碰撞 dfrp tfrv dtpp dt tfrp t fff vp trp ff vF rp 如果粒子相互碰撞 c t f p f F r f v t f c t f 为由粒子碰撞引起的粒子数密度的变化 这便是玻尔兹曼方程 原则上可以求解近独立子系的所有非平衡 态动力学行为 假设 只有两体碰撞 边界条件不重要 外力只对单粒子运动起作用 不影响碰撞 不同相空间点的 f 没有关联 时间标度远大于分子碰撞时间 空间标度远大于分子尺度 二体碰撞 p 入射 pp p p 出射 pp p 能量守恒 动量守恒pppp 逆过程也类似 p 出射 pp p p 入射 pp p 能量守恒 动量守恒pppp 在r 处 t 时刻由pp 产生pp 的概率为 frptfrpt R ppppR 在 pr 处增加的粒子数为 pdpdpdRtprftprf 在 t 时刻 在 pr 处减小的粒子数为 pdpdpdRtprftprf pdpdpdRffff t f c tprfftprff tprfftprff 注意 这里我们假设 t 是介观时间 已略去分子碰撞细节 习题 假设 rU m P 2 2 计算出 c t f 中对pdpd 的积分 第二节第二节 玻尔兹曼方程的简单例子玻尔兹曼方程的简单例子 1 平衡态 平衡 prftprf 0 0 c t f t f 这似乎是充分条件 0 p f F r f m p 设 frpf r rU F rU m p 2 2 ffpf ppm ffUf F rr 0 f m p F f F m p 即 prff 为平衡态的解的形式 0 c t f 为了保证 f还必须受到限制 如 ef 等 思考题 为什么 因为 0fff f 2 没有碰撞 没有外力 0 0 F t f c 0 r f v t f 解为 ptvrtprf pr 为 t 0 时粒子数分布 例如 t 0 时 温度为 T 的气体凝聚于原点 即 2 3 2 2 2 pmT rpNmTer 归一化常数 思考题 为什么 rp 取这样的形式 注意 原点0 r 为宏观原点 微观粒子还在运动 2 2pmT e 是 Boltzmann 分布 计算 t 时刻的粒子数分布 trn 2 3 3 2 3 2 2 pmT n r tdp frp t d prv tp NmTd p erv t vmp 22 3 3 2 2 2 mrTt m NmTe t 因为对粒子系统 单粒子积分限可取为 dp 3 33 pmm r rtp mtt 粒子随时间扩散 经 t 时间后 r 处粒子由 t 0 时0r 动量为p 的粒子而来 第三节 单自由度的 Langevin 方程和 Fokker Planck 方程第三节 单自由度的 Langevin 方程和 Fokker Planck 方程 实数 xxSS Langevin 方程 t x xS dt tdx 02ttttt 高斯随机数 对固定t P 2 e 2 2 0 1 edZ ed Z t 这里的 t 通常也是介观时间 如果没有随机力 平衡态为 0 dx tS x dtx 即能量取极小值 如果存在随机力 体系会被推离能量极小 处于某种能量较高的平衡 态 例如 布朗运动 花粉在液体中的运动 0 ttv dt vd m 一维解 0 1 0 t ttt mm v tetdtve m 2 2 0 2 22 0 m tt edtdtevtv ttt m t t m 22 2 2 0 2 0 tt tt mm veedt m 如 22 2 1 001 tt mm vee m 2 2 0 t m 这便是随机行走 由于随机力的存在 Langevin 方程有他的复杂性 因为我们必须 考虑对随机力平均带来的奇异性 为了简单起见 我们对 时间分立化 在数值模拟中应用 较直观 tt t tt 2 tt tt t t 0 1 Z 2 1 2 1ln Z 4 t Langevin 方程 S x t x tx ttx tttt x 令 2 t t t tt ttt tx txS tx 2 方程的解 tx 是随机变量 在数值模拟中给定初始值 txx 0 还 不确定 与随机力有关 也就是说 在 t 时刻 x 遵从一个分布 Pxt 物理量 x 的平均值 xtdx Pxtx 时刻遵从的分布在是txtxP 问题 xt 的含义 答 必须对 t 之前的所有随机力做平均 2 2 2 2 1 tx tx tx tx tx tx txtx 2 2 2 2 2 1 2 ttt tx txS tx tx ttt tx txS tx tx 以及更早的随机力有关只与无关 与ttttx t tx txS tx tx tx tx tx 0 t 又 2 2 2tttx 2 2 xx S xt tx txP x txP x S xx xdx xx S x txPdx 2 2 2 2 还作用于分步积分 这里做分步积分时 假设0 tP 另一方面 t txP xdx t tx Fokker Planck 方程 0 t txP t x xS xx H txPH t txP FP FP 当 0 xPHFP 显然 xP xS e 思考题 试讨论 xS e 为平衡态的条件 多自由度的 Langevin 方程是单自由度的直接推广 Langevin 方程的适用范围不是很清楚 一般只能求解动力学驰 豫过程相关物理问题 以及平衡态问题 第四节第四节Ising 模型的模型的 Monte Carlo 模拟模拟 Langevin 方程既适用于理论研究 也可以应用于数值模拟 Langevin 方程既模拟动力学行为 也提供平衡态的正则分布 H e 但是 在平衡态研究方面 Langevin 方程有局限性 例如 t 引起 的误差难以控制 动力学变量必须是连续变量等 Monte Carlo 算法给出另一种动力学 一般认为 Monte Carlo 动 力学和 Langevin 动力学属于同一普适类 即两者的大范围长时间标 度的动力学性质是一致的 Monte Carlo 算法简单有效 但较难进行 理论研究 Ising model 1 1 i jii iji SShSSKHH Tk H称之为哈密顿量 代表能量 i S置于格点上 例如正方格点 h为外磁场 i S 对0 h 随机状态0 H 有序状态 HSi1 极小 当体系和大热源接触达到 平衡 时 遵从正则分布 H e 物理量的平均值 i S H e Z 1 i S H eZ 归一化常数 配分函数 对 Monte Carlo 模拟 H e Z 1 必须给予概率分布的意义 引入恰 当随机过程 产生一系列自旋构形 NN i N iii qeqe SSSS 10 当 qe N足够大时 NN i N i qeqe SS 1 遵从 H e Z 1 分布 N n nN ii qe S N S 1 1 例 LS L S i ii 2 1 格点尺度 关键 构造算法 各态历经 这是显然的 细致平衡 i i SH SH ii ii e e SSW SSW 这是充分条件 单自旋翻转法 每次只试图改变一个自旋的值 称迭代 顺序扫描法 按规则依次迭代点阵上所有自旋 Heat bath algorithm 选定 i S 取 1 1 i EE E i EE E ii S ee e S ee e SSW 注意 这一算法的跃迁概率与 i S的值无关 1 i SE 是的能量 1 i SE 是的能量 由于每次只迭代一个自旋 与 i S无关的自旋的能量不必计算 设0 h ij jiS SSKE i i S ij j SKE ij j SKE 各态历经是显然的 细致平衡 1 1 11 11 i i SH SH E E ii ii e e